近似模型在非均匀环肋圆柱耐压壳优化中的应用研究

王 建，庞永杰，程妍雪，杨卓懿，刘 伟

（哈尔滨工程大学 水下智能机器人技术国防科技重点实验室，哈尔滨150001）

1 引 言

耐压壳是潜水器的一个至关重要的构件，起着承受水压力，保障舱室内部各种仪器设备正常工作的作用，同时也为潜水器提供了重要的浮力储备。对于目前潜水器中常用的环肋圆柱耐压壳而言，相比于球壳等其他形式的耐压壳，环肋圆柱耐压壳具有加工难度低，利于舱室布置，屈服强度和稳定性比较容易满足等优点。但是，对于大多数环肋圆柱耐压壳而言，屈服强度要求比较容易满足，而稳定性则较难满足。为此设计者们通常使用较大厚度的壳板，以提高耐压壳的屈曲稳定性能，与此同时，这也导致结构强度的利用率下降和成本的上升。为此，近年来有不少的学者从耐压壳的自身结构形式和布局着手，研究如何提高环肋圆柱耐压壳的稳定性。如吕春雷[1]对多种型式的肋骨加强的耐压圆柱壳的稳定性进行了比较研究；朱邦俊[2]提出了半圆环形肋骨的型式以提高耐压壳的稳定性能；程妍雪[3-4]、Kukbin Kim[5]对肋骨等间距刚度非均匀的环肋耐压壳的结构强度性能进行了研究。环肋圆柱壳一阶失稳时，沿纵向呈现一个正弦半波，舱段中间处的径向失稳位移最大[3]。因此，改变原来的圆柱耐压壳的结构布局，采用不等刚度不等间距分布的肋骨形式，提升舱段中间位置的刚度，将有效地提高壳体的稳定性能。

传统优化的设计方式，根据分析结果，重复着修改模型、计算和分析的循环，不但将导致工作量的空前加大和难度增加，而且在某些算法上还容易使寻优结果陷入局部最优解[6]。在优化过程中引入近似模型（approximation model）技术则能有效地解决上述问题。近似模型考虑了拟合精度和拟合效率[7]，能代替计算庞大的仿真计算，并且还可避免优化过程中时常出现的数值噪声和错误。因此，本文在潜水器的圆柱耐压壳设计中，引入非均匀肋骨布置方案，并研究了近似模型技术在其优化设计过程中的应用。

2 非均匀环肋圆柱耐压壳

目前，大多数的外压圆柱壳的肋骨截面惯性矩沿圆柱壳的轴线方向是等距均匀分布的[3]。虽然，这样的结构布局有利于加工，降低加工工艺难度，但是从舱段总体稳定性考虑，这并不很合理。因为环肋耐压圆柱总体失稳时，纵向形成半个正弦波（除非舱段中央部分的肋骨刚度即肋骨截面的惯性矩相当大)，圆柱壳中央部分的径向失稳位移最大[3-4]。因此，环肋圆柱耐压壳的肋骨，若采用非均匀的布置形式，将有效地提高耐压壳的屈曲稳定性能，提高材料的利用率和降低壳体和潜水器的总体重量。

图1 非均匀环肋圆柱壳剖面图与三维立体图Fig.1 The profile and three-dimensional model of the non-uniform ring-frames pressure shell

本文所研究的非均匀环肋圆柱耐压壳，是指均匀材料的外肋耐压壳，其肋骨截面的惯性矩非均匀（即肋骨宽、肋骨高尺寸的不同），和肋骨间距的非均匀布置。图1为本文所讨论的非均匀环肋圆柱壳剖面图与三维立体图。

文献[1，4]研究了等间距刚度非均匀环肋圆柱壳的稳定性，并给出了此类环肋圆柱壳总体失稳临界压力公式[4]：

式中：L为两横舱壁的间距；m为壳体失稳时沿径向上形成的半波数，通常m=1；n为壳失稳时沿壳体周上形成的整波数，通常将n=2，3，4分别代入公式，取使临界压力最小的值。

由公式（1）可以计算等间距刚度非均匀环肋圆柱壳的稳定性能，并且可知合理地布置肋骨的刚度与间距可以有效地提高耐压壳的稳定性。但是对于非均匀环肋圆柱壳的屈服、屈曲性能计算分析依旧比较复杂。对于潜水器而言，特别是大潜深的潜水器，其耐压壳的半径与厚度比值远小于20，已属于中厚度壳体。故，本文依据《潜水系统与潜水器入级建造规范-1996》[8]，采用有限元分析软件ANSYS计算耐压壳的结构强度。选取SOLID45单元建立参数化各向同性耐压壳参数化有限元模型，加载外压静水压力，进行屈服屈曲强度分析。提取柱坐标系下，耐压壳相邻肋骨中点处壳板的周向应力σ1，肋骨处壳板的轴向应力σ2，肋骨应力σr，肋骨间壳板屈曲压力Pcr1，舱段整体总体屈曲压力Pcr2，作为非均匀环肋耐压壳的强度校核准则。

3 近似模型

20世纪70年代Schmit等人首次将近似模型的概念引入到结构优化设计中。近似模型技术采用数学模型的方法逼近一组输入变量与输出变量的方法，是试验设计、数理统计和最优化技术的综合应用[7]。在优化过程中使用近似模型，不但能代替计算量庞大的仿真计算，而且还能避免优化过程中时常出现的数值噪声和错误。故该方法能高效地完成优化任务，并节省大量的计算时间。目前常用的近似模型主要有二阶响应面近似模型（response surface model，RSM）和径向基（radial basis functions，RBF）网络近似模型，其原理如下。

3.1 响应面近似模型

响应面模型的基本思想是采用低阶的多项式对输入变量和输出变量回归分析，运用最小二乘法，构造出精度较高的，能显式表达近似函数关系。目标函数的响应值y与设计变量x之间的关系如下式所示[6]：

本文在优化中采用的响应面模型为二阶响应面模型，其形式如下[6]：

式中：xi为输入变量，n为输入变量的个数。a0，bi，cii和dij分别为常数项、一次项、二次项和交叉项的待定系数。

3.2 径向基（RBF）网络近似模型

神经网络是由许多神经元组成的一类适应系统，模拟了人脑的结构和功能，能表述分析复杂的非线性问题和关系。20世纪80年代，Hopfield首次成功地将神经网络运用于组合优化问题中[9]。径向基网络是诸多神经网络模型中最具有代表性的一种神经网络模型。

径向基网络是一种由输入层、隐含层和输出层构成的三层前向性网络。其基本思想是：以待测点与样本点之间的欧几里德距离为自变量，即假设代表一组输入变量为基函数，通过线性叠加的方式构成径向基网络模型。在RBF网络中，包括输入层到隐含层非线性变换和隐含层到输出层线性变换两个阶段，变换的参数包括基函数的中心和方差以及权值。径向基网络近似模型，无须任何数学假设，具有黑箱特点，其学习速度快，具有很强的逼近复杂非线性函数能力和极好的泛化能力[9]。

4 基于近似模型非均匀环肋耐压壳的优化方法

4.1 优化模型

本文讨论的非均匀加肋耐压壳为外肋矩形截面的耐压壳，其肋骨截面的宽度和高度尺寸均不同，和肋骨间的间距的非均匀，采用左右对称的结构布置形式。选取圆柱壳内径R，壳板厚度t，肋骨数N，相邻两肋骨间距Lr（i），每根肋骨的高Hr（i），宽 Br（i）（肋骨编号顺序，由中间向两端计数，左右对称，如图1所示），法兰高Hf，法兰宽Bf为设计变量。以圆柱耐压壳的重量W为目标函数。以柱坐标系下，耐压壳相邻肋骨中点处壳板的周向应力σ1，肋骨处壳板的轴向应力σ2，肋骨应力σr，肋骨间壳板屈曲压力Pcr1，舱段整体总体屈曲压力Pcr2的许用值为约束条件。该耐压壳的设计深度为D=1 000 m，内半径R=125 mm，舱长L=1 000 mm，重W=22.37 kg。优化模型的相关初始参数如表1所示，各设计变量的约束如表2所示。

表1 优化模型初始参数Tab.1 The initial particular of the model

表2 优化模型设计变量约束Tab.2 The bound of the model’s variables

4.2 基于近似模型优化方法

直接将近似模型加载入优化过程中是目前最常用的优化方式。首先在设计空间内运用试验设计方法安排一定量的仿真计算，对输入和输出变量进行分析判断，以仿真结果为依据建立近似模型。并将检验合格满足精度要求的近似模型加载到优化过程中，利用优化算法对设计变量、约束条件和目标函数的分析，通过近似模型的计算，不断循环迭代，最终获得全局最优解。本文在使用近似模型对非均匀环肋圆柱壳进行优化的流程如图2所示。

图2 基于近似模型非均匀环肋圆柱耐压壳优化流程图Fig.2 The flow of pressure shell optimization by use approximate model

5 近似模型对比分析及优化实例

5.1 近似模型对比分析

复相关系数R2常被用来衡量近似模型与样本点相符合的程度[9]。其定义如下：

式中：n为模型验证的样本数量，yi为真实相应值，为由近似模型得到的估计值，为真实相应值的均值。R2越接近于1，说明近似模型的可信度就越高。

在本文建立的非均匀加肋圆柱耐压壳的有限元分析程序中，设计参数相邻两肋骨间距Lr（i），每根肋骨的高Hr（i），宽 Br（i）是动态的数组，其维数随肋骨数变化而变化，故总的设计变量的数量也是变化的，根据研究对象的设计空间，本算例最多时共有23个设计参变量。借助iSIGHT软件集成ANASYS运用最优拉丁超立方设计（optimal latin hypercube design，Opt LHD）方法分别安排300次、600次、900次、1 200次试验设计，得到非均匀加肋耐压壳的各设计参数与重量、应力的样本响应值。并分别拟合得到耐压壳的二次多项式RSM近似模型、和RBF近似模型。为预测近似模型的可信度，本文在设计空间内随机抽取96个点，计算近似模型的复相关系数R2。表3为在各试验次数下所拟合得到的二次多项式RSM模型和RBF近似模型的复相关系数R2。

表3 近似模型的精度Tab.3 Precision of approximation model

由表3可知，两种近似模型对σ2的拟合的质量都不是很好，需要较多的试验次数才能得到比较满意的精度；在较低试验次数下，RBF模型的可信度明显高于二阶RSM模型。在300次试验设计时RBF模型的可信度除σ2之外，其他的响应值的可信度均大于0.9为可接受的范围，而二阶RSM模型的绝大部分响应值的可信度为0；随着试验设计的试验次数增加，近似模型的可信度也逐步的提高，其中1 200次试验设计下的近似模型质量最好。所以，当近似模型的可信度不满足要求是，可以从数量、变量水平、试验次数以及更换近似模型等方面考虑，以提高近似模型的可信度。

5.2 非均匀加肋耐压壳优化结果分析

借助iSIGHT软件分别将经1 200次试验设计得到的二阶RSM近似模型和RBF模型，结合多岛遗传算法[9，11]（multi-island genetic algorithm）按照图2的优化流程搭建构成非均匀环肋耐压壳优化策略。其中多岛遗传算法的参数设置如下:子群规模为15，子群个数15，总进化代数200，交叉概率pc为0.85，变异概率pm为0.01，岛间迁移率为0.01，迁移的间隔代数为5。通过分析目标函数和约束条件是否满足要求，不断地更新优化变量，从而形成新的设计点，通过近似模型进行计算，不断循环往复直至获得全局最优解。通过寻优迭代最终得到各个模型的最优方案，如表4和表5所示。

表4 优化后的耐压壳尺寸Tab.4 The particular of cylindrical pressure shell after optimization

表5 耐压壳优化结果Tab.5 The result of optimization

分析表4，表5的优化结果。对比各优化方案优化后的耐压壳屈服强度，稳定性和重量可知，无论是使用2阶RSM模型和RBF模型进行优化，其优化结果均与直接优化的结果相近。在优化过程中，使用近似模型优化方法只须在试验设计时调用1 200次ANSYS仿真计算，而若采用直接优化的方法则须调用45 000次ANSYS仿真计算，这大大减少了仿真计算的次数。可见，使用近似模型的优化方法能以少量的仿真计算，优化出令设计者满意的结果；由于RBF更能合理地拟合设计空间的样本点，更真实地反应优化目标的特性，故使用RBF近似模型的优化结果比使用二阶RSM近似模型的结果更为接近直接优化的优化结果。

图3为各优化方案优化后耐压壳一阶失稳模态图。对于均匀环肋耐压壳舱段失稳时，为一个半波，舱段中部的位移最大。而非均匀环肋耐压壳，通过合理对肋骨位置、刚度进行布置，使舱段中部的结构刚度加强，限定了失稳时中部的位移，从而提高舱段整体的稳定性。从失稳模态来看，经优化后非均匀环肋耐压壳的肋骨间壳板屈曲压力Pcr1均大于15 MPa，舱段整体总体屈曲压力Pcr2也均大于18 MPa。故所有的优化结果均满足1 000 m潜深对耐压壳的结构强度要求。结合表5可知，非均匀环肋圆柱耐压壳的优化结果与普通均匀环肋圆柱耐压壳的优化结果相比较，无论采用何种优化方式，非均匀环肋圆柱耐压壳优化后的重量均比普通耐压壳轻。这表明，非均匀环肋耐压壳是能在保证耐压壳体的屈服和屈曲强度的前提下，通过合理的布置肋骨截面尺寸和肋骨间距，能有效地提高壳体的结构性能，能最大限度地提高材料利用率，从而降低壳体的重量。

图3 环肋圆柱耐压壳优化后一阶失稳模态Fig.3 The deformation atlas of first order instability after optimization model

6 结 语

为提高潜水器圆柱耐压壳的稳定性，并提高材料的利用率，本文在潜水器的圆柱耐压壳设计中引入非均匀肋骨布置方案，并研究了近似模型技术在其优化设计过程中的应用。本文借助ISIGHT软件采用拉丁超立方方法进行试验设计构建出2阶RSM模型和RBF模型，搭建了近似模型直接优化策略的优化方式，并利用多岛遗传算法法进行优化实现了对非均匀环肋圆柱耐压壳的优化，得到了令人满意的优化设计结果。经研究得出如下结论：

（1）基于近似模型的优化分析方法，在优化中，运用最优拉丁超立方的试验设计方法，能在设计空间内，以少量仿真计算结果就能拟合出反映整个设计空间属性的近似分析模型。代替实际仿真计算对优化问题进行分析，很大程度的减少目标函数和约束函数评估的计算量，从而加快了设计进程与效率。

（2）二次多项式RSM和RBF两种近似模型构建的非均匀环肋圆柱耐压壳屈服和屈曲误差表明，RBF模型的拟合误差明显小于多项式响应面模型的误差。并且能在较少的数据中拟合出输入变量与输出量之间的复杂关系，故在优化中采用RBF近似模型得到的优化结果更为真实可靠。

（3）相比于普通圆柱耐压壳，非均匀加肋圆柱耐压壳，通过合理的布置肋骨截面尺寸和肋骨间距，更大限度地发挥肋骨的作用，能有效地提高耐压壳的屈服屈曲结构性能。故在耐压壳的设计中，采用非均匀的加肋形式，可最大限度地提高材料利用率，从而降低潜水器的重量。

[1]吕春雷,王晓天等.多种型式加强的耐压圆柱壳体的结构稳定性研究[J].船舶力学,2006,10(5):113-115.Lü Chunlei,Wang Xiaotian,et al.Study of bukling of cylindrical shell ring stiffened by manifold stiffeners under hydrostatic pressure[J].Journal of Ship Mechanics,2006,10(5):113-118.

[2]朱邦俊,万正权等.半圆环壳肋骨加强的耐压圆柱壳结构稳定性研究[J].船舶力学,2005,9(1):79-83.Zhu Bangjun,Wan Zhengquan,et al.On the buckling of cylindrical shell ring-stiffened by half-tubes under hydrostatic pressure[J].Journal of Ship Mechanics,2005,9(1):79-83.

[3]程妍雪.基于非均匀加肋理论的耐压壳优化设计[D].哈尔滨:哈尔滨工程大学,2012:6-10.

[4]程妍雪.非均匀环肋圆柱壳稳定性研究[C].第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集,2011:506-509.

[5]Kukbin Kim,Ulnyeon Kim,Jinsoo Park.A study on effects of initial deflection on ultimate strength of ring-stiffened cylindrical structure under external hydrostatic pressure[C]//The Thirteenth(2003)International Offshore and Polar Engineering Conference,May 25-30,2003.Honolulu,Hawaii,USA,2003:506-509.

[6]杨卓懿,庞永杰.响应面模型在耐压壳优化设计中的应用研究[J].哈尔滨工程大学学报,2010,36(6):689-692.

[7]Jin R,Chen W,Simpson T W.Comparative studies of metamodeling techniques under multiple criterta[J].Journal of Structures and Multidisciplinary Optimization,2001,23(1):1-13.

[8]中国船级社.潜水系统与潜水器入级与建造规范[S].北京:人民交通出版社,1996:32-42.

[9]赖宇阳.Isight参数化理论与实力详解[M].北京:航空航天出版社,2012:153-183.

[10]Shang gaofeng,Zhang aifeng,Wang zhengquan.Optimum design of cylindrical shells under external hydrostatic pressure[J].Journal of Ship Mechanics,2010,14(12):1384-1393.

[11]苟 鹏,崔维成.基于Kriging模型的深潜器多球交接耐压壳结构优化[J].船舶力学,2009,13(1):100-106.Gou Peng,Cui Weicheng.Structural optimization of multiple inter-secting spherical pressure hulls based on kringing model[J].Journal of Ship Mechanics,2009,13(1):100-106.