内置式框架肋骨加强的长舱段舱段失稳临界压力理论计算方法研究

吴 梵，张 二，刘 勇

（1海军工程大学 舰船工程系，武汉 430033；2中船重工 第七一九研究所，武汉 430033）

1 引 言

随着环肋圆柱壳舱段长度的增加，舱壁对舱段内壳板的支撑作用减弱，环肋圆柱壳的舱段稳定性逐渐变差。对于舱段长度L与耐压壳半径R之比超过5的长舱段，舱段失稳临界压力是制约舱段结构设计的一个重点问题。工程上常通过设置框架肋骨来解决这一问题。有关学者[1-5]已对框架肋骨对舱段失稳临界压力的影响情况予以相应的分析研究，得出框架肋骨对长舱段理论失稳临界压力的影响规律，并对理论计算方法进行了一定的探讨，但对理论计算公式的适用范围和修正方法尚未作深入的分析研究，缺乏工程上简单适用的判断方法和修正手段。

本文从现有理论出发，推导出带有一根框架肋骨的长舱段框架肋骨临界刚度的理论计算公式；利用ANSYS有限元软件，建立有限元模型，得到带有一根框架肋骨的长舱段失稳临界压力的数值解；分析失稳临界压力理论值与有限元值之间的误差以及影响因素，并以有限元值为基准值，引入修正系数，修正失稳临界压力的理论计算公式，并提出框架肋骨临界刚度的计算方法。

2 带有一根框架肋骨舱段总体稳定性理论分析

框架肋骨的设置，对于肋间壳板局部稳定性的影响较小。随着框架肋骨刚度的增加，舱段失稳的波形也有所不同，大概分为以下几种[6]：

（1）当普通肋骨刚度超过其临界刚度，在均匀外压力作用下，肋骨间的壳板将首先失稳。此时普通肋骨作为壳板的刚性支撑，框架肋骨对肋间壳板失稳没有产生影响；

（2）当普通肋骨刚度小于其临界刚度，只有框架肋骨刚度超过临界刚度时，普通肋骨将连同壳板一起在横舱壁与框架肋骨之间失稳；

（3）当框架肋骨刚度小于其临界刚度时，框架肋骨将连同壳板和普通肋骨一起，发生失稳。

从以上分析可以看出，框架肋骨临界刚度的确定，对于舱段失稳的分析至关重要。下面从舱段失稳临界压力的理论计算公式出发，确定框架肋骨的临界刚度。

图1为带有一根框架肋骨的长舱段结构示意图。

图1 舱段结构示意图Fig.1 Cabin structure

2.1 框架肋骨临界刚度分析

若框架肋骨小于其临界刚度，则发生框架肋骨失稳，此时带有一根框架肋骨的环肋圆柱壳理论失稳临界压力的计算公式为[7]：

式中：m、n取值使得PE最小，D为壳板抗弯刚度，J为框架肋骨惯性矩，I为普通肋骨惯性矩，t为壳板厚度，a为框架肋骨距最近舱壁一端的距离，α=πR/L。（1）式中，第1、2、3项分别表示壳板抗弯、壳板抗压以及肋骨抗弯对舱段稳定性的贡献，第4项则表示框架肋骨超出普通肋骨惯性矩部分对舱段稳定性的贡献。

若框架肋骨刚度大于其临界刚度，则发生普通肋骨失稳，此时框架肋骨提供刚性支撑，起到舱壁的作用，框架肋骨右（或左）边较长舱段的理论失稳临界压力为：

式中：α=πR/（L-a）。

若框架肋骨刚度恰为其临界刚度，此时舱段的整体失稳既可能为普通肋骨失稳模式，也可能为框架肋骨失稳模式。令

则可求得框架肋骨临界刚度的表达式为：

式中：mr为使得PEr最小的纵向半波数；nr为使得PEr最小的周向半波数；mZ为使得PEz最小的纵向半波数；nZ为使得PEz最小的周向半波数；Rk为计及带板宽度为2l的框架肋骨中和轴的半径；αr=πR/

框架肋骨临界刚度的确定，对于判定带框架肋骨舱段的失稳模态具有重要意义，可为工程上框架肋骨的剖面设计起指导作用。

3 带有一根框架肋骨长舱段的有限元分析

框架肋骨对于长舱段稳定性的影响，通过理论分析可以得到较为客观的规律性结论，而通过有限元分析则可以得到更加全面、相对准确的规律性结果。本章通过特征值屈曲分析方法，计算舱段有限元模型的失稳临界压力，探讨框架肋骨临界刚度的作用机理，并对理论计算公式的准确性与适用性进行讨论。

3.1 模型建立

采用线弹性材料，弹性模量E=2.1×105MPa，泊松比μ=0.3。壳体与肋骨均采用ANSYS中的shell181单元，单元总量为97 560。右端边界条件约束x、y、z方向，而左端则只约束x、y方向，放松z方向。在壳板单元上施加计算压力Pc=6.75 MPa，在模型左端边界节点施加载荷为P=2.945 2 MN。采用参数化建模，具体参考数据如下：

所建有限元模型如图2所示。

图2 有限元模型Fig.2 The finite element model

3.2 框架肋骨位置变化对理论失稳临界压力的影响

采用ANSYS特征值屈曲分析方法进行稳定性计算。为检验理论公式的准确性以及适用范围，在建模时，将框架肋骨从图1跨中向两边移动，计算框架肋骨在舱段不同部位时舱段总体失稳临界压力。表1所列即为相应位置处的舱段失稳临界压力。

表1 框架肋骨有限元失稳临界压力随框架肋骨位置变化情况Tab.1 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its location

图3 框架肋骨有限元失稳临界压力随框架肋骨位置变化情况Fig.3 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its location

由表1可见，在框架肋骨截面尺寸不变的情况下，舱段总体失稳临界压力随框架肋骨在舱段内位置的变化而变化；框架肋骨位置越靠近舱段中点，框架肋骨对舱段总体稳定性的贡献越大，舱段总体失稳临界压力越大；当框架肋骨位于舱段正中时，舱段失稳临界压力达到最大。

3.3 框架肋骨刚度变化对理论失稳临界压力的影响

改变框架肋骨刚度，舱段失稳的模式有可能发生改变，失稳临界压力随着框架肋骨惯性矩的改变而改变。下表所列为所建模型中，为避免首先发生肋间壳板失稳，将壳板厚度调整为t/R=0.01，框架肋骨位于舱段正中不动。随着框架肋骨刚度的改变，舱段理论失稳临界压力的变化情况如表2所示。

表2 框架肋骨失稳临界压力随其刚度变化情况Tab.2 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its rigidity

图4 框架肋骨失稳临界压力与失稳模式随其刚度变化情况Fig.4 Critical buckling pressure of all-round frame vary with its rigidity

从图4可以看出，随着框架肋骨刚度的增加，舱段的纵向失稳波数，由1增加到2，表明框架肋骨随着自身刚度的增加，所起的支撑作用逐渐加强；舱段失稳临界压力随着框架肋骨刚度的增加而增加，当框架肋骨达到一定程度即临界刚度后，舱段失稳临界压力基本不再随框架肋骨刚度的增加而增加；当框架肋骨的刚度超过其临界刚度时，框架肋骨在舱段总体失稳中起到舱壁作用，此时舱段纵向总体失稳波数从框架肋骨失稳时的1变为框架肋骨不失稳时的2。

4 带有一根框架肋骨的长舱段理论计算结果与有限元结果误差分析

对于带有一根框架肋骨的长舱段，其失稳临界压力理论计算公式的精确度，对于环肋圆柱壳设计的安全性具有重要的影响。本文以有限元计算的结果为参照数据，分析理论计算结果与有限元值之间误差的影响因素，并引入修正系数，对理论计算公式进行修正，以得到相对精确的理论计算公式。

对于带有一根框架肋骨的长舱段，理论计算公式有（1）、（2）两个，经过大量有限元模型计算可知，框架肋骨未起到分舱作用的所有模型其一阶失稳模态纵向失稳波数均为1，框架肋骨起到分舱作用的所有模型其一阶失稳模态纵向失稳波数均为2，此时框架肋骨一侧的纵向失稳波数也为1。由此可知（1）式中 m=1，（2）式中 m=1。因此公式（1）、（2）可表达为：

4.1 框架肋骨位置对于误差的影响

舱段有限元模型基本尺寸同3.1节，调整普通肋骨刚度为I=7.7e8 mm4，框架肋骨刚度为J=1.1e10 mm4。当框架肋骨位置在舱段内变化时，舱段失稳临界压力理论值与有限元值的比较及误差见表3和图5。表中，绝对误差=有限元值-理论值，误差=绝对误差/有限元值。

表3 误差随框架肋骨位置变化情况Tab.3 Error vary with all-round frame’s location

图5 框架肋骨位置对误差的影响情况Fig.5 Effect of all-round frame to error

从图5中可以看出，总体上，舱段失稳临界压力理论值比有限元值低，两者之间存在误差，且误差随框架肋骨位置的变化而变化；从曲线走势可以看出，误差与框架肋骨位置参数a之间关系呈非线性，较为复杂；总体上，框架肋骨偏离舱段中点越大，误差值相应亦越大，说明框架肋骨对于舱段总体稳定性贡献在理论公式中描述的准确性越差，框架肋骨偏离舱段中点越小，误差相应亦越小，框架肋骨对于舱段总体稳定性的贡献在理论公式中描述的准确性越好；在本次样本数据中，框架肋骨位于a/L=0.38时误差取得最小值，表明此时理论公式对于框架肋骨提高稳定性的贡献度的描述最准确；框架肋骨位置在舱段中点左右20%长度范围内变化时，理论值的误差都在6%以内。

4.2 框架肋骨惯性矩对于误差的影响

模型基本尺寸同3.1节，此时框架肋骨处于舱段正中。改变框架肋骨的惯性矩，比较有限元计算结果与理论计算结果之间误差随框架肋骨惯性矩的变化情况，如表4和图6、7所示。

表4 误差随框架肋骨刚度变化情况Tab.4 Error vary with all-round frame’s rigidity

图6 框架肋骨刚度对误差的影响情况Fig.6 Effect of all-round frame’s rigidity to error

从图6中可以看出，随着框架肋骨刚度的不断增加，舱段失稳临界压力也在逐渐的增大，当框架肋骨的刚度超过某一临界值时，舱段失稳临界压力随框架肋骨刚度增加的变化率逐渐减小，直至基本为0；理论值随框架肋骨刚度的增长速度大于有限元值相应的增长速度，表明理论公式中框架肋骨在舱段稳定性的贡献度中所占成分相较于有限元模型中的相应成分偏大，两条曲线存在交点；当框架肋骨刚度较小时，有限元值大于理论值，当框架肋骨的刚度超过两条曲线的交点后，有限元值小于理论值；理论计算结果同有限元计算结果之间的误差，随框架肋骨刚度的变化而变化；对于处于舱段中部的框架肋骨，当框架肋骨的刚度小于其临界刚度时，理论计算结果同有限元值之间的误差随框架肋骨刚度的增大而减小，当框架肋骨的刚度大于其临界刚度时，误差随框架肋骨刚度的增大有微弱变化，变化幅度不大。

4.3 壳板厚度变化对于误差的影响

根据框架肋骨是否起到分舱作用，分为a、b两组。分别讨论壳板厚度的变化对误差的影响。

（a）模型基本尺寸同3.1节所述，普通肋骨调整为I=8.7e8，此时框架肋骨未起到分舱作用。

表5 分舱前误差随壳板厚度变化情况Tab.5 Error vary with t before cabin division

（b）模型基本尺寸同3.1节所述，普通肋骨调整为I=2.4e8，此时框架肋骨起到分舱作用。

表6 分舱后误差随壳板厚度变化情况Tab.6 Error vary with t after cabin division

从图7、8中可以看出，失稳临界压力随壳板厚度呈线性变化；分舱前，理论值相较于有限元值偏小，分舱后，理论值相较于有限元值偏大，理论值随壳板厚度的变化率大于有限元值随壳板厚度的变化率，这表明理论计算中，壳板厚度的增加对于舱段稳定性的提高比重相对较大，而有限元计算时，壳板厚度的增加对舱段稳定性的提高比重则相对较小；理论计算结果与有限元值之间的误差随壳板厚度的增大而增大；误差与壳板厚度之间近似呈线性关系。

图7 分舱前壳板厚度对误差的影响情况Fig.7 Effect of t to error before cabin division

图8 分舱后壳板厚度对误差的影响情况Fig.8 Effect of t to error after cabin division

4.4 肋骨间距对于误差的影响

根据框架肋骨是否起到分舱作用，分为a、b两组。分别讨论肋骨间距变化对误差的影响。

（a）模型基本尺寸同3.1节所述，调整舱段长度L/R=6.384，普通肋骨调整为I0=1.831 9e8（不计及带板），此时框架肋骨未起到分舱作用。

表7 分舱前误差随肋骨间距变化情况Tab.7 Error vary with l before cabin division

（b）模型基本尺寸同3.1节所述，调整舱段长度L/R=6.384，普通肋骨调整为I0=7.792 9e7（不计及带板），框架肋骨调整为J0=1.160 4e10，此时框架肋骨起到分舱作用。

表8 分舱后误差随框架肋骨间距变化情况Tab.8 Error vary with l after cabin division

图9 分舱前肋骨间距对误差的影响情况Fig.9 Effect of l to error before cabin division

图10 分舱后肋骨间距对误差的影响情况Fig.10 Effect of l to error after cabin division

从图9、10中可以看出，肋骨间距与有限元值基本呈线性关系，且有限元值随着肋骨间距的增大而减小；肋骨间距的变化主要影响肋骨带板宽度的取值，导致肋骨带板惯性矩取值的正确性，进而影响理论值的大小，图中个别肋骨间距的取值使得理论值与有限元值之间的误差较大，原因在于理论计算时肋骨带板宽度的取值不当，造成肋骨带板惯性矩偏大，进而引起较大的误差；误差随肋骨间距的变化规律不呈线性。

5 长舱段失稳临界压力理论计算结果误差修正

5.1 框架肋骨影响因素的修正

对于带有框架肋骨的长舱段，框架肋骨的截面设计与位置选择是整个设计的核心。因此，在修正理论计算公式时，先修正框架肋骨带来的影响。表9中所建模型基本尺寸同3.1节所述，第一列为框架肋骨刚度J的变化情况，第一行为框架肋骨位置参数a/L的变化情况，其余即为理论值与有限元值之间的误差。

表9 误差随框架肋骨截面参数变化情况表Tab.9 Error vary with all-round frame’s sectional parameters

续表9

从图11中可以看出，在框架肋骨起到分舱作用前，理论失稳临界压力与有限元值之间的误差，随框架肋骨惯性矩的增大基本呈线性变化；当框架肋骨超过其临界刚度而起到分舱作用时，误差基本不随框架肋骨惯性矩的变化而变化；从表9中可以看出，框架肋骨越靠近舱段中部，框架肋骨的临界刚度越小，当框架肋骨在舱段中部时，其对于临界刚度的要求达到最小，此时框架肋骨最容易达到其设计要求。

表9中所列误差是各影响因素综合作用下产生的，误差的变化是因为其中某些因素的变化引起的。现引入修正参数k1=k1（a/L，J/I），其中k1是位置参数a/L与框架肋骨与普通肋骨刚度之比J/I的函数，其插值情况如表10所示。

图11 误差随框架肋骨惯性矩与位置变化情况Fig.11 Error vary with all-round frame’s J and location

表10 修正系数k1 插值表Tab.10 Correction factor k1

续表10

对于不在本次样本数据之内的点，则采用三次样条插值的方法进行计算得到。

5.2 壳板厚度影响因素的修正

壳板厚度作为影响理论失稳临界压力与有限元值之间误差的一个影响因素，考虑到其变化幅度较小的实际，可采取梯度消除法，即Δt～Δdt，在相应的厚度区间内，一定量的厚度变化对应着一定量的误差变化。消除厚度带来的影响，可引入修正系数

式中：Δdt=dt（t1）-dt（t2）。dt=dt（t）为误差—厚度函数，具体值则从表11通过三次样条插值得到。

表11 误差随壳板厚度变化情况Tab.11 Error vary with t

5.3 肋骨间距影响因素的修正

肋骨间距主要影响普通肋骨在整个舱段抵抗失稳中的贡献度，其对于理论失稳临界压力与有限元值之间误差的影响较小，因此依然可采用梯度消除法，引入修正系数

式中：Δdl=dl（l1）-dl（l2）。dl=dl（l）为误差—肋距函数。 具体值则从表12通过三次样条插值得到。

表12 误差随肋骨间距变化情况Tab.12 Error vary with l

从表12中可以看出，框架肋骨在分舱前后，肋骨间距均有一定的适用范围，在该范围内，理论失稳临界压力与有限元值之间的误差相对较小，而超过该值后，误差会发生剧变。

5.4 理论计算公式的修正

考虑各影响因素对于理论失稳临界压力与有限元值之间误差的影响，引入各修正系数，理论计算公式修正如下：

框架肋骨未起到分舱作用：

框架肋骨起到分舱作用：

对于一个新尺寸的舱段结构，用公式（6）和公式（7）分别进行计算，取其中的较小者作为舱段总体失稳临界压力，并判断带有框架肋骨的长舱段的失稳模式。

若需求某舱段框架肋骨的临界刚度，则采用二分法。具体流程见图12，其中δ为精度要求。

图12 框架肋骨临界刚度求解流程图Fig.12 Flow chart of revolution of all-round frame critical J

5.5 算例检验

算例一：现取L/R=6.24，l=600 mm，t/R=0.007，框架肋骨为J=1.4e10 mm4，普通肋骨为6.6e8。其计算过程如下：

（1）当 a/L=0.5 时，将结构参数分别代入公式（1）、（2），得到 PEZ＞PEr，可知此时框架肋骨未起到分舱作用。

（2）计算框架肋骨与普通肋骨惯性矩比值J/I=21.068 9，将该值与a/L=0.5同时代入表10插值得到修正系数k1=0.957 9。

（3）然后将肋骨间距l、壳板厚度t分别代入表12、13，插值得到修正系数kt=0.014、kl=0.032 5。

（4）计算得到修正系数，kl=0.911 4。

（5）此时舱段失稳临界压力PE=k×PEZ=11.522 8 MPa。

（6）调整a/L分别为0.307、0.365、0.403和0.422，重复以上五个步骤，即可得到框架肋骨位于舱段不同位置时对应的舱段失稳临界压力。

算例二：基本尺寸同算例一，调整框架肋骨为J=2.6e10，普通肋骨为3.4e8，重复算例一中的六个步骤，此时框架肋骨起到分舱作用。计算结果见表13。

表13 理论公式修正前后误差比较Tab.13 Comparison of theoretical expression’s error before and after correction

续表13

图13 理论公式修正后检验Fig.13 Check of theoretical expression after correction

从表13可以看出，通过修正系数k修正后，理论计算结果同有限元计算结果之间的误差有较大幅度的减小，基本控制在5%范围内；从图13可以看出，理论公式经过修正后，其与有限元值之间的误差，比规范值与有限元值之间的误差小得多，表明本次理论公式的修正具有一定的实际意义。

现设计舱段算例尺寸如表14所示，此时框架肋骨位于舱段中点不动。采用算例一中的计算方法，检验理论公式修正的准确性。

表14 各工况尺寸设计Tab.14 Design of several conditions

由表15中数据可以看出，算例三、四，修正后理论计算值较规范值更接近有限元值，而算例五、六则不然，这主要是因为本文中修正系数k数据库不完全，当舱段尺寸变化过大，超出修正系数k建立的数据库后，理论公式的修正效果不理想。因此，修正系数k在使用时，需考虑舱段尺寸是否在其所建立的数据库内。

表15 理论公式修正后误差检验Tab.15 Check of error after theoretical expression correction

5 结 论

经过理论推导与有限元修正，主要得到以下几点结论：

（1）本文推导框架肋骨临界刚度的计算公式，给出了依据舱段尺寸确定框架肋骨临界刚度的计算方法。

（2）通过ANSYS建立有限元模型分析舱段失稳临界压力，指出现行舱段失稳临界压力计算公式存在一定的适用范围；比较分析了舱段失稳临界压力理论值与有限元值之间的误差影响因素以及各因素对误差的影响规律。

（3）以舱段失稳压力有限元值为基准值，引入修正系数k，对舱段失稳压力理论计算公式进行修正。采用几个不同的算例检验修正后的理论计算公式，指出经修正后的理论计算公式的适用范围与修正系数k的样本数据库有关。

[1]Blumenberg W F,Reynolds T E,et al.Elastic general instability of ring stiffened cylinders with intermediate heavy frame under external hydrostatic pressure［R］.AD 270514,1961.

[2]Reynolds T E,Blumenberg W F.General instability of ring stiffened cylindrical shells subject to external hydrostatic pressure［R］.AD 0290510,1959.

[3]何福志,马建军.潜艇长舱段结构强度和稳定性研究[J].舰船科学技术,2011,33(8):11-15.He Fuzhi,Ma Jianjun.Research on the structure strength and stability of submarine long compartments[J].Ship Science and Technology,2011,33(8):11-15.

[4]朱邦俊,万正权,王永军,黄进浩.潜艇横向刚性构架区域应力计算解析方法[J].船舶力学,2005,9(5):105-114.Zhu Bangjun,Wan Zhengquan,Wang Yongjun,Huang Jinhao.An analytical method for stresses of the connection of submarine pressure hull and transverse rigid frame[J].Journal of Ship Mechanics,2005,9(5):105-114.

[5]宋世伟,吴 梵,张 二.基于Abaqus的环肋圆柱壳长舱段稳定性分析与结构优化[J].船海工程,2011,40(6):79-82.Song Shiwei,Wu Fan,Zhang Er.Buckling analysis and structural optimal design for abaqus long ring-stiffened cylindrical shells[J].Ship and Ocean Engineering,2011,40(6):79-82.

[6]朱 锡,吴 梵.舰艇强度[M].北京:国防工业出版社,2005.

[7]谢祚水,王自力,吴剑国.潜艇结构分析[M].武汉:华中科技大学出版社,2004.