函数微分学的学习探究

覃海英

摘 要： 函數的微积分是高等数学的主要内容，函数的微分是积分的基础，所以只有学好用好函数的微分，才能轻松地学好高等数学.

关键词： 高等数学 导数 微分

本文通过剖析一元函数导数及其微分的概念，帮助读者深入理解这两个概念，不但学会求函数的导数和微分，还进一步知道导数和微分在实际问题中具体应用.

一、函数导数反映的是函数相对于自变量变化快慢的程度（变化率）

现实生活中一个量相对于另一个量的变化率问题是普遍存在的，当研究运动的各种形式时，都要从数学上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如电流、化学反应速度、生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还要考虑速度的方向，即曲线的切线问题.所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率，即函数的导数.

导数概念的原型是引例1.变速直线运动的速度和引例2.切线问题（略）.

上面两个实例的具体含义是不同的，但解决问题的思想和方法都是先用公式求近似值，再借助于极限的方法求其精确值，最终都归结为计对于时间t的变化率（电流）.

为什么通过讲解引例1和引例2的讲解，最后要抽象出一个新的概念——导数？

原因就是想寻找一种简便方法（导数）处理这类（变化率）问题，所以我们要知道反过来导数就可以用于解决此类问题.既然用导数求解变化率简便，那就要会求函数的导数.所以本章计算的重点就是求函数的导数.

因为高数研究的主要对象是初等函数，而初等函数是由基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）和常数经过有限次四则运算或有限次的复合步骤所构成的.所以根据导数的定义求出常数和基本初等函数的导数，它们的结果（16个）就是导数公式.再根据导数的定义和极限的运算法则推出导数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则（要掌握此法则必须要掌握复合函数的复合过程）.熟记以上16个公式和两个法则，求导数就没问题了.

二、函数的微分描述的是当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少（近似值）

在许多实际问题中，需要计算当自变量有微小变化时函数的改变量.如果函数的表达式y=f（x）较复杂，△y的精确计算就会相当麻烦，这就需要寻求一种简便的方法（微分）求函数改变量的近似值，为此给出函数微分的概念.

微分概念（略）.

一元函数可微与可导是等价的.设函数y=f（x）可导，则函数y=f（x）的微分dy=f′（x）=dx，即

根据误差理论及微分的概念可知，现实中参数的误差可以用其微分代替.已知函数φf（x），如果自变量x的误差为dx，则由此导致函数φ所产生的误差为

dφ=|f′（x）dx|

如例5可解析为：做一个边长为2cm的正方形零件，由于各种原因最后加工成的正方形的边长为1.9cm（缩短了0.1cm），则实际零件的面积通过上述分析，在学习微分学中一定要做到理解概念，知道概念的原型即概念产生的背景，这样才能学好用好它.以上是笔者对学习函数微分的一些体会，希望能为读者的学习提供帮助.