近世代数课程教学思考

王贞

摘 要： 本文通过对近世代数的教学探索，提出从激发学生学习兴趣、改进教学手段、改进教学方法等方面强化课堂教学效果。

关键词： 近世代数 学习兴趣 教学方法 教学手段

近世代数是高等院校数学专业继高等代数之后的又一门代数学科，主要研究代数系统的基本概念及性质，内容相对来说比较抽象、逻辑性强。近世代数对今后数学深造学习有非常重要的意义，比如代数学就是以近世代数为基础的一门学科。此外，这门学科既有利于培养学生的抽象思维能力，又有利于提高学生的逻辑思维能力，为学习其他学科奠定基本的数学素养。

当前，我国高等院校一般根据教学大纲，近世代数教学内容主要是群、环相关基础知识，课时多一点的会涉及域的初步知识。但学生在学习过程中，仍感到这些基础知识不易理解和掌握，从而在解题时感到困难。课程结束后，很多学生感觉近世代数就是一些定义、性质、定理及证明，非常枯燥乏味。为此，我们在教学过程中作了探索，改进了教学方法，优化了课堂教学效果。

一、激发学生学习近世代数兴趣，增强学习动力

托尔斯泰说：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”能使学生在愉悦的气氛中学习，唤起学生强烈的求知欲望是教学成功的关键。为此，教学中在激发学生学习兴趣方面，我注意努力做好以下四点。

（一）上这门课之前，先对这门课的一些背景知识做一定的介绍。比如，拉格朗日、阿贝尔探索方程根的问题，尤其是伽罗瓦创立群论的历史事实，以及之后诺特创立环理论等。这样让学生了解这门课的历史来源，了解这门课发展的历程，有利于激发他们解决数学问题的兴趣，增强他们的学习动力。

（二）介绍一些近世代数的应用知识。这其中，非常经典的应用就是应用它解决古代三大几何难题。当然，近世代数的内容不仅在数学的各分支有很多应用，而且随着科学技术的发展，在通信理论、计算机科学、系统工程等众多领域中也有广泛的应用。当前，应用比较前沿的如代数几何码，它主要是建立在代数曲线上的代数编码。

（三）介绍一些近世代数前沿知识动态。我们不仅要备好课，还要关注一些近世代数前沿知识，在课堂上介绍近世代数当前发展动态，比如有限单群。

（四）注重章节之间的衔接。如果我们照本宣科，每章每节机械讲授，先给出定义，再讨论其性质、定理等，最后学生脑海中的近世代数成了非常零乱的理论知识。我们要注重各章节内容的前后关系，让学生系统地了解基础知识。当然，这就要求我们在备课时吃透教材，多查找文献资料。

二、改进教学手段，利用计算机辅助近世代数教学

现行教学中，对近世代数讲解比较抽象，主要是讲解一些基本理论的证明，讲解方式比较单一，学生学习起来会感到冗繁枯燥。建议教师在讲授过程中，多利用计算机辅助教学。当前，近世代数的应用软件主要有GAP、Magma等软件。

GAP是由德国RWTH Aachen大学的研究团队与1986年开发，它是计算离散代数领域内的一个优秀系统，主要专注于群论的计算。GAP可用于群及其表示、环、向量空间、代数、组合结构等的研究。利用GAP软件可以将一些繁琐证明清晰化、复杂计算简单化、抽象结论直观化[1]。

Magma是一款由悉尼大学数学与统计学系计算代数学小组开发的功能强大的代数计算程序包，该软件专门解决代数系统中的数论、代数几何和代数组合学的计算问题。它提供了用户自定义或直接利用诸如群，环，域，模块，代数，计划，曲线，图表，设计，编码和其他许多代数系统进行计算的一个数学环境。

介绍这些软件，将抽象的一些证明和计算通过算法编程，不仅可以锻炼学生的编程能力，还可以帮助学生加深学生对基础知识的理解。利用计算机辅助教学不但可以丰富课堂教学方法，而且可以提高学生学习兴趣。

三、改进教学方法

（一）及时获取学生反馈信息，尊重学生学习经验。课堂作为一个完整的学习过程，必须包括学习者吸收信息与输出信息两个环节。通过学生反馈，教师能从中获取学生的学习情况，同时也能从中了解到学生的学习经验。比如，学生希望例子多一些，定义、证明少一些。

鉴于此，我们在备课过程中要多做一些设想和提问，鼓励学生思考，而不是一味地给出定理，再证明。我们要根据学生的学习经验，创设问题情境，有目的地、有计划地培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。比如，我们在引入零因子的时候，可以先提问学生：我们知道两个非零的数相乘不等于零，那么在环里，是否两个非零元相乘也一定不等于零呢？

（二）充分运用比较法。近世代数主要研究对象不是代数结构的元素特性，而是各种代数结构本身和不同代数结构之间的相互联系（同态）[2]。群和环是近世代数中不同数学对象，尽管具有不同的代数系统，理论之间却有相似之处，主要表现在一些概念上，如子群和子环、商群和商环等[3]。比如，我们可以将群同态与环同态类比，将不变子群与理想类比。

当然，我们也可以通过比较不同之处帮助学生认识概念之间的内在关系，如群的两个定义，有限群的两个定义。

四、结语

尽管我们在近世代数课程的教学探索过程中做了初步尝试，并取得了一定的成效，但我们的探索并没有结束，教学改革的任务依旧艰巨。近世代数教学工作者应不断探讨，不断改革，促进近世代数教学不断发展。

参考文献：

[1]刘建军.GAP在近世代数教学中的应用[J].西南师范大学学报：自然科学版，2013（4）：148-151.

[2]冯克勤等.近世代数引论[M].中国科学技术大学出版社第三版，2013.

[3]陈全国，滕云玲.关于近世代数教学的思考——以伊犁师范学院为例[J].聊城大学学报：自然科學版，2012，（3）：66-68.

基金项目：池州学院研究生引进启动项目（2011RC035）。