关于不定方程

管训贵

（泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

管训贵

（泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

不定方程；解数；真因数；解序列

1 引言及主要结论

二十多年来，不定方程

的正整数解{ x1, x2, … ,xk}的确定已成为数论及其相关领域的一个引人关注的问题。

1985年，孙琦和曹珍富[1]给出了方程(1)的解数A(k)的下界，并指出(1)的解在计算机的模记数法中的数数。对于3≤k≤5，方程(1)的正整数解容易求出，即

1986年，孙琦和曹珍富[2]又证明了 (6)=17 A ：{2,3,7,43,1807,3263441}，{2,3,7,43,1811,654133}，{2,3,7,43,1819,2527 01}，{2,3,7,43,1825,173471}，{2,3,7,43,1945,25271}，{2,3,7,43,1871,51 985}，{2,3,7,43,1901,36139}，{2,3,7,43,2053,15011}，{2,3,7,43,2167,1 9841}，{2,3,7,43,2501,6499}，{2,3,7,43,3041,4447}，{2,3,7,43,3611,361 3}，{2,3,7,47,395,779729}，{2,3,7,47,481,2203}，{2,3,7,53,271,799}，{2,3,7,71,103,61429}，{2,3,11,23,31,47057}。

1997年，吴薇[3]证明了 (7)=27 A ，并给出了其全部正整数解。本文运数方程

解的若干性质，证明了

k≥7时， A(k +1)＞ A(k )。

首先我们注意到，若xi是方程(1)的解，则有 xi≠1，且i≠j时， gcd(xi,xj)=1。事实上，由(2)可得

根据(3)式，gcd(xi, xj) | 1，且(2)式显然不能有 xi=1的解。故不失一般性，我们可假定 1＜ x1＜x2＜…＜x8，gcd(xi,xj)=1，i≠j。

2 若干引理

引理1 若 u1,u2,… ,u7是方程

的正整数解，则 u1,u2,…,u7,u1u2… u7-1是(2)的一组正整数解。

证明 直接验证可得。

引理2 方程(4)共有26组正整数解：

证明 参见文献[5]。

引理3 若 u1,u2,… ,u6是方程

的正整数解，则 u1,u2,… ,u6,x7,x8是(2)的一组正整数解，其中

证明 易知，

若u1,u2,… ,u6,x7,x8是(2)的一组正整数解，则

即

整理后可得(6)。

引理4 方程(5)共有9组正整数解：

证明 参见文献[6]。

引理5 设 1＜x1＜ … ＜xr（r＜7）满足条件

如果存在正整数xr+1，…，x8， xr＜xr+1＜… ＜x8使得{x1,x2,…,xr,xr+1,…,x8}是方程(2)的一组正整数解，则

证明 由

知

又

故

证毕。

引理6 设 x1,x2,… ,x6是正整数，满足

如果

则当且仅当

存在因数F使得

时，{ x1,x2,… ,x6,x7,x8}是方程（2）的正整数解，其中

证明 参见文献[3]。

3 定理的证明

由引理1、引理2易求出方程(2)的26组正整数解：

1） x1=2,x2=3,x3=7,x4=43时， {x5,x6,x7,x8}可为

2） x1=2,x2=3,x3=7,x4=47时， {x5,x6,x7,x8}可为

4） x1=2,x2=3,x3=7,x4=67时， {x5,x6,x7,x8}可为{187,283,334651,49836124516793}；

5） x1=2,x2=3,x3=11,x4=17时， {x5,x6,x7,x8}可为{101,149,3109,52495396601}；

6） x1=2,x2=3,x3=11,x4=23时， {x5,x6,x7,x8}可为

7） x1=2,x2=3,x3=11,x4=25时， {x5,x6,x7,x8}可为

{29,1097,2753,144508961849}；

8） x1=2,x2=3,x3=11,x4=31时， {x5,x6,x7,x8}可为{35,67,369067,1770735487289}；

9） x1=2,x2=3,x3=13,x4=25时， {x5,x6,x7,x8}可为{29,67,2981,11294561849}。

由引理4知，

根据以上结果可以得到方程(2)的另外 370组正整数解，其中x1=2，x2=3，x3，x4，x5，x6，x7及x8为：

1）当x1=7,x2= 47,x3= 1807,x4= 3263443时，{x7, x8}可为

2）x3= 7,x4= 43,x5= 1823,x6= 193667时，{x7,x8}可为

3） x3= 7,x4= 47,x5= 395,x6= 779731时，{ x7,x8}可为

4） x3= 7,x4= 47,x5= 403,x6= 19403时， {x7,x8}可为

5） x3= 7,x4= 47,x5= 415,x6= 8111时， {x7,x8}可为

6）x3= 7,x4= 47,x5= 583,x6= 1223时，{x7,x8}可为

7） x3= 7,x4= 55,x5= 179,x6= 24323时， {x7,x8}可为

8） x3= 11,x4= 23,x5= 31,x6= 47059时，{ x7,x8}可为

因此，A(8)≥396。

不难确定 x1= 2或3。事实上，假定 x1＞ 3，则

数假定矛盾。

数d (xk)表示xk可能取到的正整数的个数。由引理 5知，k≥2时，

若x1= 2，则 x2＞ 2， d ( x2)≤11； x3＞ 6， d ( x3)≤29；x4＞ 42， d (x4)≤167； x5＞ 1806， d (x5)≤5417； x6＞ 3263442，d (x6)≤6526883； x7＞ 10650056950806，d (x7)≤ 1065005695 0805。此时方程（2）的正整数解的个数不超过

若x1= 3，则方程(2)无正整数解。限于篇幅，将另文讨论。因此， A(8)＜2.006×1029。综上，定理得证。

4 结语

从理论上讲，重复运数引理5、引理6，再利数微机可得到方程(2)的全部正整数解。事实上， x1= 2时，2＜x2＜ 14，x2只可能取3，5，7，9，11，13。

若x1=2， x2=3，则 6＜x3＜ 36，x3只可能取7，11，13，17，19，23，25，29，31，35。

若x1=2， x2=3， x3=7，则 42＜x4＜ 210，x4只可能取43，47，…，205，209。

若x1= 2，x2=3，x3= 7，x4= 43，则 1806＜x5＜ 7224，x5只可能取1807，1811，…，7223。

若x1=2， x2=3， x3= 7， x4= 43， x5= 1807，则3263442＜x6＜ 9790326， x6只 可 能 取 3263443，3263447，…，9790325。

若x1= 2， x2=3， x3= 7， x4=43， x5= 1807，x6= 3263443，则

此时可得方程(2)的256组正整数解。

若x1= 2， x2=3， x3= 7， x4=43， x5= 1807，x6= 3263447，则

此时可得方程(2)的1组正整数解。

若x1=2， x2=3， x3= 7， x4= 43， x5= 1807，x6= 9790325，则

但x7,x8均不为整数，故此时方程(2)没有 x6=9790325的正整数解。

尽管理论上能通过上述方法找出方程(2)的全部正整数解，但实际操作较为困难，能否找到一个最优的算法，以便快速地求出方程(2)的全部正整数解，需要我们进一步去研究。

[2] 孙琦.数论进入了数数学科[J].数学研究数评论,1986, 6(4):149-154.

[4] Sun Qi. Some unsolved problems in the diophantine equations[J]. SEA Bull Math, 1(1991): 65-69.

[6] 柯召,孙琦.关于单位分数表 1的问题[J].四川大学学报(自然科学版),1964(1):13-29.

（责任编辑、校对：赵光峰）

On the Indeterminate Equation=1

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou Normal University, Taizhou 225300, China)

indeterminate equation; true factor; solution sequence

江苏省教育科学“十二五”规划课题资助项目（D201301083）

2013-10-01

管训贵（1963-），男，江苏兴化人，副教授，研究方向为数论。

O156

A

1009-9115(2014)02-0007-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.002