浅论分类讨论思想在数学学习中的运用

高峰官

摘 要： 分类讨论思想是重要的数学思想方法之一.在数学教学中重视分类讨论思想方法的运用，有助于促进学生思维品质的优化和解题能力的提高.本文主要探讨了分类讨论思想的内涵、原则及其操作步骤，并着重例谈了中学数学学习中分类讨论思想应用较多的几种类型：概念型、性质型、参数型、图形型、具体问题型等.

关键词： 数学思想 分类讨论 数学学习

课程标准将数学思想方法运用作为课程目标之一.正如数学家乔治·波利亚所言：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路.”在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养学生思维能力，优化学生思维品质，既符合新的课程标准，又是数学素质教育的一个切入点.中学数学涉及的数学思想方法主要有化归、数形结合、分类讨论、类比与联想、数学模型等.

数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想.它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法.分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中，需要运用分类讨论的思想解决的数学问题.就其引起分类的原因，可归结为这样几种：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的；④求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能.应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化.分类的过程，可培养学生思考问题的周密性和条理性，从而增强学生分析问题、探索规律的能力.

分类思想不像一般的数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握.它根据学生不同的年龄特征，学生各学习阶段的认知特点，逐步渗透，螺旋上升，不断丰富和掌握这一数学思想方法的内涵.

一、分类讨论的基本原则

1.标准必须统一，否则会导致逻辑混乱；各种分类的集合必须彼此互斥，即各个分类没有公共部分，否则会造成重复讨论。

2.分类必须是全面而完整的，否则会有所遗漏。

3.对于需要多级讨论的，必须逐级进行，不能出现越级讨论的现象，否则会导致层次不清，乃至错误.此外，要在确保正确的基础之上，尽量减少分类，使问题解决过程简洁化.

二、分类讨论的基本步骤

第一步：明确讨论对象，并确定讨论对象的范围.

第二步：确定分类的标准，科学、合理进行分类.

第三步：对不同的分类逐一进行讨论.

第四步：对各类讨论结果进行归纳，并加以整合，最终得出整个问题的结论.

三、探究分类讨论的几种题型，增强学生思维的周密性和条理性

1.概念型分类讨论

有些概念本身就是分不同情形加以定义的，教学时要引导学生在概念的学习过程及应用过程中领会概念具体的分类标准，进一步深化对分类讨论思想的理解.例如在讲解绝对值的概念时，需要分正实数、负实数和零三种情况分别给予定义.此外，一些数学问题的解决要根据绝对值的定义分情况加以讨论.如已知|a|=5，|b|=3，求a■的值；再如整数分为奇数与偶数；三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形等.

2.性质型分类讨论

数学中有一些定理、公式、法则和性质等内容是分情况给予表述的，或者有其特定的适用范围，或者有一定的限制条件，因而在教学过程中，要让学生注意领会公式、性质的限制条件，能够在具体应用时根据这些限制条件确定分类标准进行讨论.

如初中数学课程中，在探究在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此应分三种不同情况分别讨论证明.先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况分别解决圆心在圆周角的内部、外部这两种情况.这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法.再如高中数学中，等比数列的求和公式就分为q=1和q≠1两种情况；对数函数的单调性就分为a>1，a<1两种情况；求一元二次不等式的解分为a>0，a<0，以及△>0，△=0，△<0共六种情况等.

3.参数型分类讨论

参数广泛地出现在数学的各种问题之中，参数的存在会对问题的解决产生种种影响.一个问题中的参数通常可以取几个不同的数值，而在不同的取值时，所采用的解决策略和处理方式都不尽相同，因而会产生不同的结果.这就要求我们必须对参数取不同值时的各种情况分别加以讨论.

例如一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-3，求这个一次函数关系式.需引导学生对k分两种情况加以讨论.再如函数y=ax■-ax+3x+1，与x轴只有一个交点，求a的取值.解决此问题时，应注意到这个函数可以是一次函数，也可以是二次函数，引导学生对a讨论，培养学生思维的缜密性.

4.几何图形分类讨论

数学中一些问题由于所涉及的图形或图像等元素具有不确定性，比如图形本身的大小、形状及图形间的位置关系等有多种可能，需要根据具体的不同情况分别地加以探讨，才能使问题得到全面而完整的解决.例如讲解圆与圆的位置关系时，引导学生经过探究最终发现圆与圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切和内含.再如讲解空间直线位置关系时，使学生经过探索后发现空间直线有相交、平行、异面三种位置关系等.

例如线段OA的一端点OD在直线a上（线段OA与直线a不垂直），以OA为一边画等腰三角形，并且另一顶点也在直线a上，请画出所有这样的三角形.引导学生协动手、探究、交流，得出这样的三角形有四种情形.

再如如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点.（1）求a的值.（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒……若点P、Q同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束.设运动时间为t秒.①在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围；②是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由.

5.具体问题型分类讨论

数学与生活紧密联系，在解决现实生活中的实际应用问题时，可能会遇到多种情形，需要我們根据具体情况作出具体分析，对各种情形分别进行讨论.

例如某世博会纪念品的原售价为80元/个，今有甲、乙两家店销售这种纪念品，甲店用如下方法促销：如果只购买一个纪念品，其价格为78元/个；如果一次购买两个纪念品，其价格为76元/个；……一次购买的纪念品数每增加一个，那么纪念品的价格减少2元/个，但纪念品的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售.现某团队要购买这种纪念品x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y■元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y■元.（1）求y■、y■与x之间函数关系式；（2）该团队去哪家店购买纪念品花费较少？

可见，分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时是一种重要的解题策略，体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化，从而有助于完善学生的认知结构.在数学学习中，有意识地运用分类讨论思想解决一些数学问题，有助于训练学生思维的条理性和概括性，这对优化学生的思维品质、提高学生的数学素养大有裨益.