从一道数学题管窥研究性学习的几个视角

李红春

教育部颁布的《普通高中研究性学习实施指南》指出，设置研究性学习的目的在于“改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识并将学到的知识加以综合应用于实践的机会，培养创新精神和实践能力”.本文以《数学通讯》（上半月）2012年问题征解98为例，展示解题中开展研究性学习的四个视角，希望对大家的教学能有所启发.

题目：如图1，过椭圆+=1（a>b>0）的右焦点F（c，0）的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值.

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0），F（c，0），由=λ1，知（x1，y1-y0）=λ1（c-x1，-y1），于是y1-y0=λ1·（-y1），即λ1=，同理由=λ2知λ2=，于是λ1+λ2=+=-2，设直线l：x=ty+c，令x=0，得y=-，即y0=-.将直线方程代入椭圆方程+=1，整理得（b2t2+a2）y2+2b2cty+b2c2-a2b2=0，则y1+y2=-，y1y2=，因此λ1+λ2=-2=.

以上是试题及解答，教学中仅仅照本宣科，不但试题的价值没有完全挖掘出来，而且学生的学习也会倍感乏味.下面我们不妨将思维引向深入，感受解题的无穷魅力.

一、结论的横向类比

以美启真是数学发现和数学创造的一条重要途径，圆锥曲线间有许多共同的或相似的性质，从统一美的角度，我们发现双曲线和抛物线也有类似的结论.事实上，只需将以上条件和解答过程中的b2换成-b2就能得到双曲线也有同样的结论.

结论1：已知过双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点F的直线l交双曲线C于A，B两点，若直线l交y轴于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

结论2：已知过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若直线l交y轴于点M，=λ1，=λ2，则λ1+λ2=-1.

证明：同原题解答一样，可得λ1+λ2=-2，设直线l：x=ty+，令x=0，得y=-，y0=-，将x=ty+代入y2=2px，得y2-2px-p2=0，于是y1+y2=2pt，y1·y2=-p2，因此λ1+λ2=-2=-1.

二、特殊到一般的拓展

从特殊到一般是数学上发现新结论、创造新成果的重要途径，也是高考命题的常用手法，如果将以上条件中的“直线l交y轴（即直线x=0）于点M改为“直线l交直线x=m于点M”，我们可以得到如下一般化的结论.

结论3：已知过椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若直线l交直线x=m于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

证明：同原题解答一样，可得λ1+λ2=-2，设直线l：x=ty+c，令x=m，得y=，即y0=.将直线l的方程代入椭圆方程+=1，整理得（b2t2+a2）y2+2b2cty+b2c2-a2b2=0，则y1+y2=-，y1y2=，因此λ1+λ2=.

结论4：已知过双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点F的直线l交双曲线C于A，B两点，若直线l交直线x=m于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

证明过程与椭圆一样，限于篇幅，从略.

结论5：已知过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若直线l交直线x=m于点M，=λ1，=λ2，则λ1+λ2=.

证明：同原题解答一样，可得λ1+λ2=-2，设直线l：x=ty+，令x=m，得y=，y0=.将l：x=ty+代入y2=2px，得y2-2ptx-p2=0，于是y1+y2=2pt，y1·y2=-p2，因此λ1+λ2=-.

三、一般到特殊的发现

对于结论4和结论5，细心的你会发现，如果取m=-，此时直线x=m即为椭圆或双曲线的准线，此时显然有λ1+λ2=0，于是有下面两个结论.

结论6：已知过椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点F的直线l交椭圆C于A，B两点，若直线l交直线x=-于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=0.

结论7：已知过双曲线C：-=1（a>0，b>0）的右焦点F的直线l交双曲线C于A，B两点，若直线l交直线x=-于点M，且=λ1，=λ2，则λ1+λ2=0.

对于结论5，若取m=-，则直线x=m为抛物线的准线，显然也有λ1+λ2=0，于是有下面的结论.

结论8：已知过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若直线l交直线x=-于点M，=λ1，=λ2，则λ1+λ2=0.

四、问题的逆向思考

原题目中，如果将问题的条件和结论互换，命题还成立吗？答案是肯定的，结论如下，限于篇幅，证明从略.

结论9：已知直线l交椭圆+=1（a>b>0）于A，B两点，交x轴、y轴于点N，M，已知=λ1，=λ2，若λ1+λ2=，则点N为椭圆的右焦点F（c，0）.

开展研究性学习不但能培养学生思维的深刻性，激发学生的兴趣，有时还会在高考中带来意想不到的惊喜，如运用结论8，我们能一眼看出2007年福建高考数学（理科）第20题第（2）问的结果.

已知点F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·=·.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知=λ1，=λ2，求λ1+λ2的值.

本文中，我们从特殊中拓展出了一般性的结论，又从一般性的结论中发现出特殊的规律，不但从正面思考了问题，而且从反面得出了结论，这些都让我们感受到数学探究的无穷乐趣.总之，数学学习，不要就题论题，要学会对试题进行多视角、多层面的加工、拓展、探究，从纵向到横向，从特殊到一般，从一般到特殊，从正面到反面，从知识到方法，以点带面，以一当十，让自己“既看到树木又见到森林”.