基于一道高考题的习题课教学研究

张传鹏

课程标准前言中指出，数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用；而理性思维的形成又是以数学题目为载体的. 习题课的作用是：熟练方法，形成技能；暴露问题，查漏补缺；揭示联系，更新认知；训练思维，培养能力；尝试调整，感受体验；发现、获取探索方法或思路等.下面，笔者就高三一轮复习中的导数复习，谈一下习题课教学研究.

一、学生先行 给学生独立思考空间

习题课教学的基础是教师精选“好题”，人教社章建跃老师认为好题的标准是：能反映数学本质，与重要的数学概念和性质相关，体现基础知识的联系性，解题方法自然、多样，具有发展性，表述形式简洁、流畅且好懂.

例1 已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2+bx，a≠0.设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P，Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M，N，请证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

本题是2005年湖南省高考试题，在导数综合复习时绝对是一道“好题”.本题可以考查导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，在讲解此题时，教师不要仅仅是把答案写在黑板上就可以了，这样的教学过程只注重知识的强化，没有锻炼学生的思维和自主解决问题的能力. 在问题给出后，一定要让学生先独立思考，体现出学生的主动性和创造性，使学生独自面对数学问题时能想、能做.

二、交流呈现 展现思维过程

通过学生先行，给学生足够的思考过程，让学生在做题中去感悟，去体会，充分关注学生学习的思维过程. 学生通过自己的思考，展示自己的证法，经整理大致有以下三种方法.

证明：设点P，Q的坐标分别是P（x1，y1），Q（x2，y2），0

（证法一）：假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 即=+b，根据等式的特点，两边同乘（x2-x1）得=（[x2][2]-[x1][2]）+b（x2-x1）=（[x2][2]+bx2）-（[x1][2]+bx1）=y2-y1=lnx2-lnx1. 即=，整理得ln=.设t=，则lnt=，t>1. ①. 令r（t）=lnt-，t>1.

通过求导分析得到函数r（t）在[1，+∞）上单调递增. 故r（t）>r（1）=0. 则lnt>. 这与①矛盾，假设不成立. 故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

（证法二）：同证法一得（x2+x1）（lnx2-lnx1）=2（x2-x1）.因为x1>0，所以（+1）ln=2（-1）.令t=，得（t+1）lnt-2（t-1）=0，t>1. ②

令r（t）=（t+1）lnt-2（t-1），t>1，通过求导分析得到r（t）在[1，+∞）上单调递增.

故r（t）>r（1）=0即（t+1）lnt-2（t-1）>0，这与②矛盾，假设不成立.

（证法三）：令h（x）=lnx-ax2-bx，易知a>0，且h（x1）=h（x2）=0. 图象C1在点M处的切线与图象C2在点N处的切线平行，等价于h′（）=0. 而h′（x）=-ax-b，h′（）=-a（）-b，假设h′（）=0，则有-a（）-b=0===.整理得=，所以ln=.设t=，则lnt=，t>1①， 后面同解法一了.

三、教师断后 透彻分析 拓展延伸

学生在经过自己的独立思考后，教师断后的功能可以使学生的思维得到更进一步的发展. 此时教师可以点评学生的解法，或者提出问题的更优解法，点评问题的通解与巧解的关系，分析问题的本质. 或者把问题拓展推广，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.

（一）教师断后 点评学生的解法

证法一和证法二中，都是先假设C1在点M处的切线与图象C2在点N处的切线平行，则k1=k2. 得到=+b，根据等式的特点，两边同乘（x2-x1）得=，同乘（x2-x1）这一步是证法一和证法二的难点，证法一和证法二的区别在于构造了不同的函数，本质上是相同的.

证法三则通过构造函数h（x）=lnx-ax2-bx，把题目中需要研究两个函数的问题转化为研究一个函数的性质就可以了. 图象C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，等价于h′（）=0.然后根据式子结构特点，把0写成是这种解法的难点.

（二）教师断后 讲解更优的解法

在证法三中，证明了h′（）≠0，由于h（x1）=h（x2）=0.也就是需要证明在区间[x1，x2]上函数h（x）的图象不是关于x=对称的就可以了. 因此可以考虑充分利用导数的几何意义，画出函数h（x）的草图，如图1，从而使问题得证. 教师给出以下解法.

（证法四）：令h（x）=lnx-ax2-bx，易知a>0，且h（x1）=h（x2）=0. ∴h′（x）=-ax-b=，令m（x）=h′（x）=-ax-b，则m′（x）=--a<0恒成立，所以m（x）为单调递减函数，令φ（x）=m′（x）=--a，则φ′（x）=>0，所以知函数m′（x）为递增函数，且m（x）为递减函数.

由图2可知，自变量在（x1，x0）上的上升速率要大于区间（x0，x2）上的下降速率，所以x0不可能是区间（x1，x2）的中点. ∵h′（x0）=0，∴h′（）≠0，所以图象C1在点M处的切线与图象C2在点N处的切线不平行.

这种方法的难点是要对函数进行多次求导，学生要对导数的几何意义灵活运用.

（三）教师断后 讲透问题的实质

前三种证明方法中，都得到了>，那么这个不等式背后的几何意义是什么呢？不等式>的几何背景是：函数f（x）=lnx，A（a，f（a）），B（b，f（b））是函数f（x）图象上不同的两点，且a>b>0，则有f′（）

证明：∵kAB=，所以要证f′（）<，即证>，只要证ln>，令=t>1，也就是只要证（t+1）lnt-2（t-1）>0，此不等式在证法二中已证明.

（四）教师断后 把问题进行拓展延伸

若把函数f（x）=lnx换为f（x）=mx+n+lnx后，是否仍然有f′（）

拓展问题1.函数f（x）=mx+n+lnx，A（a，f（a）），B（b，f（b））是函数f（x）图象上不同的两点，且a>b>0，则有f′（）

拓展问题2.函数f（x）=mx2+nx+p+lnx，A（a，f（a）），B（b，f（b））是函数f（x）图象上不同的两点，且a>b>0，则有f′（）

限于篇幅，读者可自行证明拓展问题1和拓展问题2，这两个命题也都是真命题