函数与函数的图象

王健

知识要点：函数的概念与定义域

◎ 函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A. 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫作函数的值域. 注意：函数是映射的特例（对应集合为非空数集）.

◎ 函数三要素：定义域、对应法则、值域

如果两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数是同一个函数.

◎ 函数定义域的求法

由整体到局部，列出使函数有意义的自变量的不等关系式（组）并求解.常见依据为：

①分式中分母不为0；

②偶次根式（n为偶数）中被开方数x≥0；

③对数logax的真数x>0，底数a>0且a≠1；

④零指数幂x0的底数x≠0；

⑤求抽象函数定义域要认准自变量，如： f（x-1）的定义域为：x∈[2，3），则f（t）的定义域为：t∈[1，2）；

⑥应用题要考虑实际意义等.

【提醒】

①对于函数定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数f（x）和它对应.

②解定义域不等式组时注意利用图象和数轴等几何工具，确保不疏不漏，且定义域和值域都应写成集合或区间的形式.

③定义域是一个基本且重要的概念，不能只机械地掌握以上所列定义域的求解方法，要深刻理解定义域在函数问题中的作用，把对函数定义域的认识深化到任何与字母范围有关的问题中去，形成求定义域的意识.

易错情景有：解方程忽略方程本身要有意义；求函数解析式、函数值域、函数最值时忽视定义域；判断函数单调性、奇偶性时忽视定义域的影响；代数变形中扩大或缩小了定义域；换元过程忽视换元变量与原变量之间的关系，导致扩大或缩小变量取值范围；忽视新引入变量的取值范围等.

【自查题组】

（1） 已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）y=f（x），x∈F}∩{（x，y）x=1}中所含元素的个数有 个.

（2） 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”. 那么函数解析式为y=2x2+1、值域为{5，19}的“孪生函数”共有 .

（A） 10个 （B） 9个 （C） 8个 （D） 7个

（3） 下列四组中，函数f（x），g（x）表示同一函数的是 .

（A） f（x）=（）2，g（x）=x （B） f（x）=（）2，g（x）=x

（C） f（x）=x0，g（x）= （D） f（x）=，g（x）=x-1

（4） 若函数y= f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是 .

知识要点：函数值域的求法

◎ 单调函数直接法：直接判断函数在给定区间范围内的单调性，常用于求定义在闭区间上函数的值域. 如：函数f（x）=2x-，x∈[1，3]在给定区间[1，3]上单调递增，所以值域为[f（1），f（3）]，即1，.

◎ 复合函数换元法： 将函数中的变量单元看作整体，转化为求常用基本函数的值域.这个过程重在对基本初等函数的模式识别以及换元后变量取值范围的求解和使用.

常见基本函数类型有：二次函数型、幂函数型、指数函数型、对数函数型、三角函数型、双勾函数型.要结合各自的函数图象来帮助记忆函数的性质、特点.

◎ 其他常用方法：

①利用导数求高次多项式等非基本函数类型的最值（极值）.（必修不作要求）

②利用函数与方程的思想，把函数转换为方程求解. 如二次函数型可利用一元二次方程求解、三角函数可利用其有界性求值域等.

③利用基本不等式或联系几何意义求解. 如利用均值不等式或根据题意联想斜率、距离等几何意义，含二元变量的问题也可作为线性规划问题来解决.

【提醒】

①求基本函数及其复合函数的值域是很重要的考查类型，采用换元法求值域时注意通过换元所设变量与原变量之间的函数关系，应求出所设变量的取值范围，在此范围内求解.

②求特定范围内的函数值域问题，在不清楚所求范围内的函数单调性情况时，切不可盲目代值求解，应结合函数图象，找出图象的最低点（最小值）和最高点（最大值）.

③形如y=（分式型函数）的最值是高考解析几何等综合问题常考的类型，求解时常常先转化为双勾型函数、反比例型函数或二次函数的形式，再求最值.

【自查题组】

（5） y=2x-5+log3，x∈[2，10]的值域为 .

（6） y=2x+1-的值域是 .

（7） 若函数f（x）=2+log3 x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为 .

（8） 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），则f（x）的最大值为 .

（9） 函数y=+的值域是 .

（10） 函数y=的值域是 .

知识要点：函数图象

◎ 两类易混淆的函数图象

①对称函数：若对于一切x∈R，都有f（a-x）=f（b+x），那么函数y=f（x）的图象关于直线x==对称，称为“自身对称”；

函数y=f（a-x）与y=f（b+x）的图象关于直线x=（由a-x=b+x求得）对称，称为“相互对称”.

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

（15） 0， 【f（x-1）的图象是f（x）的图象向右平移1个单位后所得，若对任意x∈R都有f（x）>f（x-1），则两个函数图象不能有交点，示意图如图5所示，故0<6a<1】

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

（15） 0， 【f（x-1）的图象是f（x）的图象向右平移1个单位后所得，若对任意x∈R都有f（x）>f（x-1），则两个函数图象不能有交点，示意图如图5所示，故0<6a<1】

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

（15） 0， 【f（x-1）的图象是f（x）的图象向右平移1个单位后所得，若对任意x∈R都有f（x）>f（x-1），则两个函数图象不能有交点，示意图如图5所示，故0<6a<1】