对数函数值域为R的意义

Q 提问： 对于问题“若函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R，求实数a的取值范围”，我的解法是：因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里？

A 回答： 问题要求的是“对数函数的值域为R时，a的取值范围”，而你求的是“对数函数的定义域为R时，a的取值范围”，这是两码事，所以你的解法当然有错.

先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

因为在对数函数中要求真数恒大于0，函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的定义域为R，说明当x取任意值时，g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，即真数ax2+2x+1恒大于0.

要强调的是，真数ax2+2x+1恒大于0时，意味着函数g（x）=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交，g（x）不可能取到所有正数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.

下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

若要使对数函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R，真数ax2+2x+1对应的函数g（x）=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

若a>0，Δ=4-4a<0，则g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，二次函数g（x）的图象开口向上且与x轴无交点，g（x）能取到的最小正数值为g（x）min=g-=1-. 因为f（x）=log0.5（ax2+2x+1）在-∞，-上为增函数，在-，+∞上为减函数，所以f（x）max=log0.5g（x）min=log0.5g-，即 f（x）存在最大值，这说明它的值域不为R.

若a>0，Δ=4-4a≥0，则二次函数g（x）的图象开口向上且与x轴至少有一个交点，故g（x）能取到所有正数.当真数能取到所有正数时，对数函数的值域为R，即f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R.解得0

若a=0，则g（x）=2x+1.当x>-时，g（x）>0恒成立，由函数图象可知，此时g（x）=2x+1能取到所有正数，f（x）的值域为R.

若a<0，则二次函数g（x）的图象开口向下. 当Δ=4-4a<0时，g（x）<0，对数函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）不成立；当Δ=4-4a≥0时，g（x）与x轴至少有一个交点，因为g（x）max=g-=1-，故g（x）不能取到所有正数，f（x）的值域不为R.

综上可得，只有当0≤a≤1时，对数函数f（x）的值域为R，此时真数ax2+2x+1能取到所有正数值.

要使对数函数的值域为R，真数应能取到所有正数值.

Q 提问： 对于问题“若函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R，求实数a的取值范围”，我的解法是：因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里？

A 回答： 问题要求的是“对数函数的值域为R时，a的取值范围”，而你求的是“对数函数的定义域为R时，a的取值范围”，这是两码事，所以你的解法当然有错.

先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

因为在对数函数中要求真数恒大于0，函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的定义域为R，说明当x取任意值时，g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，即真数ax2+2x+1恒大于0.

要强调的是，真数ax2+2x+1恒大于0时，意味着函数g（x）=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交，g（x）不可能取到所有正数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.

下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

若要使对数函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R，真数ax2+2x+1对应的函数g（x）=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

若a>0，Δ=4-4a<0，则g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，二次函数g（x）的图象开口向上且与x轴无交点，g（x）能取到的最小正数值为g（x）min=g-=1-. 因为f（x）=log0.5（ax2+2x+1）在-∞，-上为增函数，在-，+∞上为减函数，所以f（x）max=log0.5g（x）min=log0.5g-，即 f（x）存在最大值，这说明它的值域不为R.

若a>0，Δ=4-4a≥0，则二次函数g（x）的图象开口向上且与x轴至少有一个交点，故g（x）能取到所有正数.当真数能取到所有正数时，对数函数的值域为R，即f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R.解得0

若a=0，则g（x）=2x+1.当x>-时，g（x）>0恒成立，由函数图象可知，此时g（x）=2x+1能取到所有正数，f（x）的值域为R.

若a<0，则二次函数g（x）的图象开口向下. 当Δ=4-4a<0时，g（x）<0，对数函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）不成立；当Δ=4-4a≥0时，g（x）与x轴至少有一个交点，因为g（x）max=g-=1-，故g（x）不能取到所有正数，f（x）的值域不为R.

综上可得，只有当0≤a≤1时，对数函数f（x）的值域为R，此时真数ax2+2x+1能取到所有正数值.

要使对数函数的值域为R，真数应能取到所有正数值.

Q 提问： 对于问题“若函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R，求实数a的取值范围”，我的解法是：因为在对数函数中要求真数ax2+2x+1>0，所以a>0，Δ=4-4a<0，解得a>1.而正确答案是0≤a≤1.请问我错在哪里？

A 回答： 问题要求的是“对数函数的值域为R时，a的取值范围”，而你求的是“对数函数的定义域为R时，a的取值范围”，这是两码事，所以你的解法当然有错.

先来讨论对数函数的定义域为R的情况.

因为在对数函数中要求真数恒大于0，函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的定义域为R，说明当x取任意值时，g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，即真数ax2+2x+1恒大于0.

要强调的是，真数ax2+2x+1恒大于0时，意味着函数g（x）=ax2+2x+1的图象开口向上且不与x轴相交，g（x）不可能取到所有正数，所以此时真数必定不能取到所有正数值.

下面我们来探讨对数函数的值域为R的情况.

若要使对数函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R，真数ax2+2x+1对应的函数g（x）=ax2+2x+1应能取到所有正数值.

若a>0，Δ=4-4a<0，则g（x）=ax2+2x+1>0恒成立，二次函数g（x）的图象开口向上且与x轴无交点，g（x）能取到的最小正数值为g（x）min=g-=1-. 因为f（x）=log0.5（ax2+2x+1）在-∞，-上为增函数，在-，+∞上为减函数，所以f（x）max=log0.5g（x）min=log0.5g-，即 f（x）存在最大值，这说明它的值域不为R.

若a>0，Δ=4-4a≥0，则二次函数g（x）的图象开口向上且与x轴至少有一个交点，故g（x）能取到所有正数.当真数能取到所有正数时，对数函数的值域为R，即f（x）=log0.5（ax2+2x+1）的值域为R.解得0

若a=0，则g（x）=2x+1.当x>-时，g（x）>0恒成立，由函数图象可知，此时g（x）=2x+1能取到所有正数，f（x）的值域为R.

若a<0，则二次函数g（x）的图象开口向下. 当Δ=4-4a<0时，g（x）<0，对数函数f（x）=log0.5（ax2+2x+1）不成立；当Δ=4-4a≥0时，g（x）与x轴至少有一个交点，因为g（x）max=g-=1-，故g（x）不能取到所有正数，f（x）的值域不为R.

综上可得，只有当0≤a≤1时，对数函数f（x）的值域为R，此时真数ax2+2x+1能取到所有正数值.

要使对数函数的值域为R，真数应能取到所有正数值.