三角变换的学问

许志锋

三角变换内容丰富、方法灵活、应用广泛，是高考考查的重点内容之一.解决这类问题需要能够洞察已知条件与所求目标之间的逻辑关联，选择合适的公式和恰当的变形手段实现目标.

三角变换中的常用公式

▲同角三角函数之间的相互表示： 虽然任意角的三角函数值会随着角所在象限的变化而出现正负的变化，但其本质还是直角三角形中边与边的比值，如图1所示.其中sinα=，cosα=，tanα=之间可以利用sin2α+cos2α=1，tanα=，cosα=±等公式进行相互转化，即“知一便知三”. 依据三角函数之间的相互表示可以进行化切为弦、化弦为切等变形.

▲诱导公式：依据诱导公式可将任意角的三角函数化归为锐角三角函数进行求解.

▲两角和与差的三角公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α-β）=等. 这组公式可将两角和与差的三角函数用各个角的三角函数来表示.

▲二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1等. 这组公式反过来也可用于降幂，比如cos2α=，sin2α=等.

在较为复杂的问题中，需综合运用各种公式对三角函数进行相应的变形.

三角变换中的典型方法

▲切弦互化

例1 已知4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0，x∈0，，求：（1） ；（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx.

解析： 由于5sin2x+3cos2x+sinxcosx=，这样（1）（2）中的两个式子就均为分子分母关于正余弦的齐次分式结构，其中（1）中的式子为一次，（2）中的式子为二次，只要分子分母分别同除以cosx或cos2x即可将它们化为关于tanx的分式.所以，我们可以考虑先由已知条件求得tanx的值.

那么，怎样由已知条件计算出tanx的值呢？仔细观察，发现4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx），进行因式分解，则有：（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx）=（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0. 由于2sinx+cosx-3=sin（x+φ）-3≤-3<0 （其中tanφ=），所以要满足题意必须有2sinx-cosx=0，所以tanx=.

（1） ===-.

（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx==

==.

点评： 针对例1中正余弦的齐次式所采用的是化弦为切的方法：先根据已知条件求出正切值，然后化弦为切再来求解.在另一些场合中则需要化切为弦.从解析过程我们还可以看出，即便是三角变形，有时也需要使用因式分解等方法.

▲整体表示

例2 已知sinα+=-，α∈（0，π），求cosα.

解析： 如果不假思索地将sinα+拆开用sinα，cosα来表示，再结合sin2α+cos2α=1解方程组，则运算复杂.如果换个角度来思考，将α用α+-表示，就不致“破坏”已知条件中角α+的整体性.

cosα=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin，其中α+∈，. 结合sinα+=-<0可知，α+∈π，，故cosα+=-.

所以cosα=cosα+cos+sinα+sin=-×+-×=-.

▲降幂加倍

例3 求函数f（x）=cos2x-+2cos2x的最大值.

解析： 由于第一项可拆开表示为2x的正、余弦的形式，故宜将第二项cos2x降幂，用cos2x来表示.

f（x）=cos2x-+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+（1+cos2x）=sin2xsin+cos2xcos+1+1=-sin2x+cos2x+1=sin2x++1，因为sin2x+π≤1，故f（x）的最大值为2.

综合应用

例4 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= .

解析： 第一个已知条件等价于cos（x-y）=，第二个条件中出现了2x，2y，而我们要求的是x+y的正弦，联想到2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），可得sin2x+sin2y=sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=2sin（x+y）cos（x-y）=. 把第一个条件cos（x-y）=代入，得sin（x+y）=.

例5 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.

解析： y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=7-2t+t2=（t-1）2+6 ，其中t=sin2x∈[-1，1].

函数y=（t-1）2+6在[-1，1]上为减函数，所以当t=-1时，函数y取得最大值10；当t=1时，函数y取得最小值6.

点评： 例5中求得4cos2xsin2x=sin22x后就没有必要再对sin22x降幂处理了，因为降幂加倍后反而会出现4x，与前一项sinxcosx加倍得出的2x背道而驰.

例6 设α∈0，，β∈0，，tanα=，则 .

（A） 3α-β= （B） 3α+β= （C） 2α-β= （D） 2α+β=

解析：考虑到条件中式子左右两边的函数类型，不妨将左边化切为弦，则有=，整理得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，即sin（α-β）=cosα=sin-α. 因为α∈0，，β∈0，，所以α-β=-α，答案为C.

点评： 除使用化切为弦的方法外，求解例6时还进行了余弦正弦互化的处理：cosα=sin-α.由于这道题为选择题，采用特殊值代入也能求解，如取β=，则tanα=2+，因为α∈0，，所以α=，代入各选项中可得出C正确.不过这种方法有失一般性，可在选择题中作排除选项之用.

例7 已知sinα+=cosα+cos2α，并且α是第二象限角，求cosα-sinα的值.

解析：如果只注意局部关系，解题时可能会绕圈子，而且得不到所求结果.这就需要我们冷静思考和仔细观察，寻找已知和所求之间的联系.

首先，最终的目标是求cosα-sinα；其次，有一个细节，即是特殊的辅助角，将sinα+，cosα+两式展开后分别可得（cosα+sinα），（cosα-sinα），如果再选择公式cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），就找到了已知与所求之间的联系.

由已知条件可得（cosα+sinα）=×（cosα-sinα）·（cos2α-sin2α），化简得cosα+sinα=（cosα-sinα）2（sinα+cosα） （①）.

若cosα+sinα=0，结合α是第二象限角，可得α=2kπ+（k∈Z），所以cosα-sinα=-.

若cosα+sinα≠0，则①式两边同除以cosα+sinα，得（cosα-sinα）2=，结合α是第二象限角可知cosα<0，sinα>0，所以cosα-sinα=-.

小结： 三角变换无非就是“变角”和“变函数”，这其中有大量公式和方法可供选择，为避免选择的盲目性，应兼顾已知条件和所求目标的各部分的特点，把握好其中的细节，努力寻找联系，选择合适的途径解题.

三角变换内容丰富、方法灵活、应用广泛，是高考考查的重点内容之一.解决这类问题需要能够洞察已知条件与所求目标之间的逻辑关联，选择合适的公式和恰当的变形手段实现目标.

三角变换中的常用公式

▲同角三角函数之间的相互表示： 虽然任意角的三角函数值会随着角所在象限的变化而出现正负的变化，但其本质还是直角三角形中边与边的比值，如图1所示.其中sinα=，cosα=，tanα=之间可以利用sin2α+cos2α=1，tanα=，cosα=±等公式进行相互转化，即“知一便知三”. 依据三角函数之间的相互表示可以进行化切为弦、化弦为切等变形.

▲诱导公式：依据诱导公式可将任意角的三角函数化归为锐角三角函数进行求解.

▲两角和与差的三角公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α-β）=等. 这组公式可将两角和与差的三角函数用各个角的三角函数来表示.

▲二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1等. 这组公式反过来也可用于降幂，比如cos2α=，sin2α=等.

在较为复杂的问题中，需综合运用各种公式对三角函数进行相应的变形.

三角变换中的典型方法

▲切弦互化

例1 已知4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0，x∈0，，求：（1） ；（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx.

解析： 由于5sin2x+3cos2x+sinxcosx=，这样（1）（2）中的两个式子就均为分子分母关于正余弦的齐次分式结构，其中（1）中的式子为一次，（2）中的式子为二次，只要分子分母分别同除以cosx或cos2x即可将它们化为关于tanx的分式.所以，我们可以考虑先由已知条件求得tanx的值.

那么，怎样由已知条件计算出tanx的值呢？仔细观察，发现4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx），进行因式分解，则有：（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx）=（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0. 由于2sinx+cosx-3=sin（x+φ）-3≤-3<0 （其中tanφ=），所以要满足题意必须有2sinx-cosx=0，所以tanx=.

（1） ===-.

（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx==

==.

点评： 针对例1中正余弦的齐次式所采用的是化弦为切的方法：先根据已知条件求出正切值，然后化弦为切再来求解.在另一些场合中则需要化切为弦.从解析过程我们还可以看出，即便是三角变形，有时也需要使用因式分解等方法.

▲整体表示

例2 已知sinα+=-，α∈（0，π），求cosα.

解析： 如果不假思索地将sinα+拆开用sinα，cosα来表示，再结合sin2α+cos2α=1解方程组，则运算复杂.如果换个角度来思考，将α用α+-表示，就不致“破坏”已知条件中角α+的整体性.

cosα=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin，其中α+∈，. 结合sinα+=-<0可知，α+∈π，，故cosα+=-.

所以cosα=cosα+cos+sinα+sin=-×+-×=-.

▲降幂加倍

例3 求函数f（x）=cos2x-+2cos2x的最大值.

解析： 由于第一项可拆开表示为2x的正、余弦的形式，故宜将第二项cos2x降幂，用cos2x来表示.

f（x）=cos2x-+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+（1+cos2x）=sin2xsin+cos2xcos+1+1=-sin2x+cos2x+1=sin2x++1，因为sin2x+π≤1，故f（x）的最大值为2.

综合应用

例4 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= .

解析： 第一个已知条件等价于cos（x-y）=，第二个条件中出现了2x，2y，而我们要求的是x+y的正弦，联想到2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），可得sin2x+sin2y=sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=2sin（x+y）cos（x-y）=. 把第一个条件cos（x-y）=代入，得sin（x+y）=.

例5 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.

解析： y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=7-2t+t2=（t-1）2+6 ，其中t=sin2x∈[-1，1].

函数y=（t-1）2+6在[-1，1]上为减函数，所以当t=-1时，函数y取得最大值10；当t=1时，函数y取得最小值6.

点评： 例5中求得4cos2xsin2x=sin22x后就没有必要再对sin22x降幂处理了，因为降幂加倍后反而会出现4x，与前一项sinxcosx加倍得出的2x背道而驰.

例6 设α∈0，，β∈0，，tanα=，则 .

（A） 3α-β= （B） 3α+β= （C） 2α-β= （D） 2α+β=

解析：考虑到条件中式子左右两边的函数类型，不妨将左边化切为弦，则有=，整理得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，即sin（α-β）=cosα=sin-α. 因为α∈0，，β∈0，，所以α-β=-α，答案为C.

点评： 除使用化切为弦的方法外，求解例6时还进行了余弦正弦互化的处理：cosα=sin-α.由于这道题为选择题，采用特殊值代入也能求解，如取β=，则tanα=2+，因为α∈0，，所以α=，代入各选项中可得出C正确.不过这种方法有失一般性，可在选择题中作排除选项之用.

例7 已知sinα+=cosα+cos2α，并且α是第二象限角，求cosα-sinα的值.

解析：如果只注意局部关系，解题时可能会绕圈子，而且得不到所求结果.这就需要我们冷静思考和仔细观察，寻找已知和所求之间的联系.

首先，最终的目标是求cosα-sinα；其次，有一个细节，即是特殊的辅助角，将sinα+，cosα+两式展开后分别可得（cosα+sinα），（cosα-sinα），如果再选择公式cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），就找到了已知与所求之间的联系.

由已知条件可得（cosα+sinα）=×（cosα-sinα）·（cos2α-sin2α），化简得cosα+sinα=（cosα-sinα）2（sinα+cosα） （①）.

若cosα+sinα=0，结合α是第二象限角，可得α=2kπ+（k∈Z），所以cosα-sinα=-.

若cosα+sinα≠0，则①式两边同除以cosα+sinα，得（cosα-sinα）2=，结合α是第二象限角可知cosα<0，sinα>0，所以cosα-sinα=-.

小结： 三角变换无非就是“变角”和“变函数”，这其中有大量公式和方法可供选择，为避免选择的盲目性，应兼顾已知条件和所求目标的各部分的特点，把握好其中的细节，努力寻找联系，选择合适的途径解题.

三角变换内容丰富、方法灵活、应用广泛，是高考考查的重点内容之一.解决这类问题需要能够洞察已知条件与所求目标之间的逻辑关联，选择合适的公式和恰当的变形手段实现目标.

三角变换中的常用公式

▲同角三角函数之间的相互表示： 虽然任意角的三角函数值会随着角所在象限的变化而出现正负的变化，但其本质还是直角三角形中边与边的比值，如图1所示.其中sinα=，cosα=，tanα=之间可以利用sin2α+cos2α=1，tanα=，cosα=±等公式进行相互转化，即“知一便知三”. 依据三角函数之间的相互表示可以进行化切为弦、化弦为切等变形.

▲诱导公式：依据诱导公式可将任意角的三角函数化归为锐角三角函数进行求解.

▲两角和与差的三角公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α-β）=等. 这组公式可将两角和与差的三角函数用各个角的三角函数来表示.

▲二倍角公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1等. 这组公式反过来也可用于降幂，比如cos2α=，sin2α=等.

在较为复杂的问题中，需综合运用各种公式对三角函数进行相应的变形.

三角变换中的典型方法

▲切弦互化

例1 已知4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0，x∈0，，求：（1） ；（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx.

解析： 由于5sin2x+3cos2x+sinxcosx=，这样（1）（2）中的两个式子就均为分子分母关于正余弦的齐次分式结构，其中（1）中的式子为一次，（2）中的式子为二次，只要分子分母分别同除以cosx或cos2x即可将它们化为关于tanx的分式.所以，我们可以考虑先由已知条件求得tanx的值.

那么，怎样由已知条件计算出tanx的值呢？仔细观察，发现4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx），进行因式分解，则有：（4sin2x-cos2x）-3（2sinx-cosx）=（2sinx-cosx）（2sinx+cosx-3）=0. 由于2sinx+cosx-3=sin（x+φ）-3≤-3<0 （其中tanφ=），所以要满足题意必须有2sinx-cosx=0，所以tanx=.

（1） ===-.

（2） 5sin2x+3cos2x+sinxcosx==

==.

点评： 针对例1中正余弦的齐次式所采用的是化弦为切的方法：先根据已知条件求出正切值，然后化弦为切再来求解.在另一些场合中则需要化切为弦.从解析过程我们还可以看出，即便是三角变形，有时也需要使用因式分解等方法.

▲整体表示

例2 已知sinα+=-，α∈（0，π），求cosα.

解析： 如果不假思索地将sinα+拆开用sinα，cosα来表示，再结合sin2α+cos2α=1解方程组，则运算复杂.如果换个角度来思考，将α用α+-表示，就不致“破坏”已知条件中角α+的整体性.

cosα=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin，其中α+∈，. 结合sinα+=-<0可知，α+∈π，，故cosα+=-.

所以cosα=cosα+cos+sinα+sin=-×+-×=-.

▲降幂加倍

例3 求函数f（x）=cos2x-+2cos2x的最大值.

解析： 由于第一项可拆开表示为2x的正、余弦的形式，故宜将第二项cos2x降幂，用cos2x来表示.

f（x）=cos2x-+2cos2x=cos2xcos+sin2xsin+（1+cos2x）=sin2xsin+cos2xcos+1+1=-sin2x+cos2x+1=sin2x++1，因为sin2x+π≤1，故f（x）的最大值为2.

综合应用

例4 若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）= .

解析： 第一个已知条件等价于cos（x-y）=，第二个条件中出现了2x，2y，而我们要求的是x+y的正弦，联想到2x=（x+y）+（x-y），2y=（x+y）-（x-y），可得sin2x+sin2y=sin[（x+y）+（x-y）]+sin[（x+y）-（x-y）]=2sin（x+y）cos（x-y）=. 把第一个条件cos（x-y）=代入，得sin（x+y）=.

例5 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.

解析： y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x（1-cos2x）=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=7-2t+t2=（t-1）2+6 ，其中t=sin2x∈[-1，1].

函数y=（t-1）2+6在[-1，1]上为减函数，所以当t=-1时，函数y取得最大值10；当t=1时，函数y取得最小值6.

点评： 例5中求得4cos2xsin2x=sin22x后就没有必要再对sin22x降幂处理了，因为降幂加倍后反而会出现4x，与前一项sinxcosx加倍得出的2x背道而驰.

例6 设α∈0，，β∈0，，tanα=，则 .

（A） 3α-β= （B） 3α+β= （C） 2α-β= （D） 2α+β=

解析：考虑到条件中式子左右两边的函数类型，不妨将左边化切为弦，则有=，整理得sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，即sin（α-β）=cosα=sin-α. 因为α∈0，，β∈0，，所以α-β=-α，答案为C.

点评： 除使用化切为弦的方法外，求解例6时还进行了余弦正弦互化的处理：cosα=sin-α.由于这道题为选择题，采用特殊值代入也能求解，如取β=，则tanα=2+，因为α∈0，，所以α=，代入各选项中可得出C正确.不过这种方法有失一般性，可在选择题中作排除选项之用.

例7 已知sinα+=cosα+cos2α，并且α是第二象限角，求cosα-sinα的值.

解析：如果只注意局部关系，解题时可能会绕圈子，而且得不到所求结果.这就需要我们冷静思考和仔细观察，寻找已知和所求之间的联系.

首先，最终的目标是求cosα-sinα；其次，有一个细节，即是特殊的辅助角，将sinα+，cosα+两式展开后分别可得（cosα+sinα），（cosα-sinα），如果再选择公式cos2α=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），就找到了已知与所求之间的联系.

由已知条件可得（cosα+sinα）=×（cosα-sinα）·（cos2α-sin2α），化简得cosα+sinα=（cosα-sinα）2（sinα+cosα） （①）.

若cosα+sinα=0，结合α是第二象限角，可得α=2kπ+（k∈Z），所以cosα-sinα=-.

若cosα+sinα≠0，则①式两边同除以cosα+sinα，得（cosα-sinα）2=，结合α是第二象限角可知cosα<0，sinα>0，所以cosα-sinα=-.

小结： 三角变换无非就是“变角”和“变函数”，这其中有大量公式和方法可供选择，为避免选择的盲目性，应兼顾已知条件和所求目标的各部分的特点，把握好其中的细节，努力寻找联系，选择合适的途径解题.