浅谈数学中的“数以类聚，形以群分”

陈群芳

(杭州天成教育集团，浙江杭州310000)

所谓分类讨论，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解，最后整合得答案，即是有“分”有“合”，先“分”后“合”的一种解题策略，是一种常见的数学思想方法。应用分类讨论解题时，我们既要弄清引发分类讨论的原因，又要掌握科学分类的原则，即同一性原则、互斥性原则、相称性原则、多层次原则，做到不重复、不遗漏，避免发生错误的分类。

由于分类讨论问题涉及面广、综合性强，能提高分析问题和解决问题的能力，是学生必须要掌握的一种数学思想方法。故本文就引发分类的几种常见的原因分析在不同情况下的求解方法。

1.涉及的数学概念是分类定义的

由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成角、直线的倾斜角、向量的共线等，这类问题应以定义的概念来进行分类讨论，并且在解题中要注意概念本身所受的限制。

案例1：求直线ax+by+c=0的斜率及倾斜角.

分析：根据直线的斜率及倾斜角的概念进行分类讨论。

(2)b=0, k不存在，倾斜角α为x2

2.运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的

由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论如有些函数性质，定理，公式在不同的条件下有不同的结论或者在一定的限制条件下才成立。

案例2：设y=log1[a2x+2(ab)x-b2x+1](a>0,b>0)求使y为负值的x的取值范围

解：由题设条件有log1[a2x+2(ab)x-b2x+1]<0

所以，a2x+2(ab)x-b2x+1>1，a2x+2(ab)x+b2x>2 b2x

解此指数不等式时利用两边同时取对数须注意对数函数的单调性，从而要对a,b大小关系分类讨论。

(1)当a=b时，由式（*）得x∈R;

(2)当a>b时，由式（*）得x>loga(b-1)

案例3：已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在a上是减函数，求a的取值范围。

分析：本题是以导数为工具，研究函数单调性的问题，所以求导数是必不可少的步骤。求出f’(x)恒小于0时a的范围，因而由已知的解析式知a∈R，故需对a的取值范围分类讨论。

解：求函数f(x)的导数得：f’(x)=3ax2+6x-1

当f’(x)<0（x∈R）时，f(x)是减函数

3ax2+6x-1<0（x∈R）⇔a<0且△=36+12a<0⇔a<-3，所以当a<-3时，由

f’(x)<0知f(x)（x∈R）是减函数.

所以所求范围（-∞，-3）只是所求取值范围的一部分，是它的充分条件。还需对a的取值范围进行分类，再对每一项研究f(x)是否是R上的减函数。因为由已知解析式可知a的取值范围是全体实数，所以再划分为-3与(-3,+∞)两类来讨论。

(3)当a

由函数y=x3的单调性及图像的平移变换，可知当a=-3时,f(x)（x∈R）是减函数。

(2)当a>-3时，在R上总存在一个区间，其上有f’(x)>0，所以当a>-3时，函数f(x)（x∈R）不是减函数

综上知，所求的取值范围是(-∞,-3]

3.求解的数学问题的结论有很多种情况或多种可能

有些题目的条件开放，致使求解结果不唯一，若对这类问题考虑不全面，时常发现漏解现象。

案例4：已知一个等腰三角形的周长为26厘米，一腰上的中线把周长分为两部分，这两部分之差为4厘米，求这个等腰三角形一腰的长。

解：设等腰三角形ABC中，AB=AC=2x cm则:BC=(26-4x)cm,当AC>BC，则有(2x+x)-(26-4x+x)=4，解得2x=10，即AB=AC=10cm;

当AC

经检验，它们均符合题意。

4.数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果

由参数的变化引起的讨论：某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果的不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法，如汗参数的方程或不等式，直线的点斜式方程等，这时需要进行分类讨论。

案例5：解x关于的不等式2x2+(3a-7)x+(3+a-2a2)<0

解：原不等式化为(2x-a+1)(x+2a-3)<0，其对应的一元二次方

5.由图形位置的不确定性引起的分类讨论

当书籍条件不能确定图形的形状时，在求解过程中，则需根据可能出现的图形形状进行分类讨论。此类问题在立体几何和解析几何中较为常见。

（1）经过B、C两点的直线的解析式；

（2）三角形ABC的面积。

因点C可能在点A的左侧，也可能在点A的右侧，故需分类讨论。

(Ⅰ)当点C在点A左侧时，可得：b=1-x----② ;a2=3+x2-----③

由①②③得3+x2=(-2x)2，解得x1=-1,x2=1,（舍去）

（Ⅱ）当点C(x,o)在点A的右侧时，b=x-1-----④

由①③④得3+x2=(2x-4)2，解得x1舍去）

(2)当c(-1,0)时，AC=2,SABC=.当c(,0)时，AC=,SABC=

有些几何问题，尤其是未画出图的几何题，经常出现两种或者两种以上的图形，此时需要分类讨论.

案例7：已知圆0的半径r=4cm,AB,CD为圆0的两条弦，AB,CD的长分别为的两根，其中AB>CD，且AB‖CD，求AB与CD间的距离

6.分类讨论在生活中的实际应用

案例8：甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙每秒跑6米，加的速度是乙的倍，现在甲乙两人在跑道上相距8米处同时出发，问：经过多少秒钟，两人首次相遇？

解：设经过x秒甲乙两人首次相遇

⑶若两人反向跑步，面对面相距8米，则：

⑷若两人反向跑步，背对背相距8米，则：

答：略。

案例9：已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元。我市湄池中学计划将100500元钱用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台。请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由。

解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进Z型电脑z台，则可分以下三种情况考虑：

（1）只购A进型电脑和B型电脑，依照题意可列方程组

5000x+4000y=100500;x+y=36

解得：x=21.75,y=57.75，不合题意，应该舍

(2)只购进A型电脑和C型电脑，依照题意可列方程组

6000x+2500z=100500,x+z=36

解得：x=3,z=33

（3）只购B进型电脑和C型电脑，依照题意可列方程组

4000y+2500z=100500,y+z=36

解得：y=7,z=29

答：有两种方案可供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台，C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台，C型电脑29台。

当我们在解决数学问题时，有时由于被研究对象的属性不同，影响了研究问题的结果，因而需对不同属性的对象进行分类研究；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况，因而需对不同情况进行分类研究。通过分类讨论，常能化繁为简，使解题过程清晰明了，解答更为严密完整，使问题易于解决。当然，在运用分类讨论的数学思想时，我们应该明确我们用的是哪种情况下的分类讨论，该如何运用分类讨论，一级是否真正需要用到分类讨论。

[1]孙洪权.浅谈数学的分类讨论[J].数学大世界高中版1-2期

[2]尹键堂.例说“分类讨论”及其应用[J].数理化学习

[3]李雅娣.谈初中数学中的分类讨论思想[J].中学教研（数学）2005年第7期

[4]曹贤鸣.分类讨论及其应用[J].中学数学教学参考2002年第8期

[5]王俊辉。中学数学中的分类讨论[J].数学教学通讯2004年4月

[6]房延华.诱发分类讨论的若干因素[J].中学教与学

[7]莫祚银.浅谈分类讨论思想[N].宿州教育学院学报2006-8（4）

[8]师旭斌.例说解含有参数不等式的数学思想[J].数学教学研究2005年第10期

[9]范永利.分类讨论思想[M].数学思想的渗透与训练.北京广播学院出版社1996

[10]欧明彩.分类讨论[J].数理天地初中版.2006年第6期

[11]袁桂珍.分类讨论思想在数学解题中的应用[J].名师点拨2004-6