高中数学存在性问题解法浅探

李国强

所谓存在性问题指的是判断满足某一些条件的事物是否存在的问题.这类问题所涉及的知识相对来讲覆盖面较广，综合性较强.解决该类问题常依据基本知识去寻求例子（或是反例），即构造（进一步探求）出符合条件的，抑或者是否定的例子，或运用反证法去推证.这类问题是高中数学学习中的一个热点问题，也是一个难点问题.它的解决方法一般是先假设结论存在，然后再根据题意去推导，如果得出的结论符合题意，即存在，若得出的结论与我们所学的定理、定义、事实或题意相矛盾，即为不存在.其方法比较灵活，解法巧妙，对学生的能力要求较高.下面笔者就这类问题举几个例子来浅谈存在性问题的一些简单解法.

一、三角函数中的存在性问题

【例1】 （2010年北京大学自主招生试题）是否存在0

解：假设存在满足题意的角x，使得sinx，cosx，tanx，cotx成一个等差数列，则有sinx+tanx=2cosx，且cosx+cotx=2tanx，两式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx，即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx，显然sinx-cosx≠0（否则，由题意0

令sinx+cosx=t，由0

点评：首先去假设存在满足题意的角，然后再用一些基本的概念（等差数列，三角函数及其相应的一些公式等）去化简，最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1，并进行换元（注意取值范围），从而发现矛盾.

二、数列中的存在性问题

【例2】 等差数列a1，a2，a3，…an（n∈N*）的公差为d，若数列中任意不同两项之和仍是这个数列中的一项.求证：必存在整数m≥1，使a1=md.

解：假设存在符合题意的整数m，则由题意任取数列中两项as，at（s≠t），由题意可知，存在ak，使ak=as+ata1=（k-s-t+1）d，令m=k-s-t+1，则a1=md.下面证明m≥-1.

（1）若d=0，结论显然成立.

（2）若d≠0，假设m<-1，取p=-m≥2，由题意知，存在aq，使a1+qp=aq2md+（-m-1）d=md+（q-1）dqd=0不成立.故m≥-1.

点评：上述例题为数列中的肯定型存在性问题，这种题一般是抓住特征，从特征去突破.

三、函数中的存在性问题

【例3】 设函数f（x）=x22，g（x）=e·lnx，是否存在实数k，b使f（x）≥kx+b≥g（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k，b的值，若不存在，请说明理由.

解：函数f（x）的图像在（0，+∞）上是单调递增，函数g（x）的图像在（0，+∞）上也是单调递增.

设h（x）=f（x）-g（x），由h′（x）≥0得x≥e.即函数h（x）在[e，+∞）上单调递增，在（0，e）上单调递减.

∴h（x）min=h（e）=0，∴f（e）=g（e）=e2，∴函数f（x）与g（x）的图像有且仅有一个公共点（e，e2）.

∵f′（e）=e，∴f（x）与g（x）在公共点（e，e2）的切线方程为y=ex-e2，即为直线y=kx+b.

∴k=e，b=e2.

点评：这类问题，可直接求解，按理论模型进行操作.

从上面几个例子我们可以看出，存在性问题在数学中还是大量存在的，也是高中数学中比较重要的一个问题，对高中生来讲也是比较难以掌握的一种题型.对此教师应给予重视，积极引导学生掌握存在性问题的相关解法，以提高学生的学习效率.

参考文献

[1]葛军，李善良，游建华.高中数学竞赛读本（下册）[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[2]许少华.肯定型存在性问题求解的四种策略[J].中学数学教学，2004（3）：28.

[3]王为民.构造向量的内积证明不等式例说[J].数学学习与研究，2011（21）：72.

[4]谢广喜.一道自主招生试题多种解题思路的思考[J].数学教学，2011（3）：30.

（责任编辑 钟伟芳）

所谓存在性问题指的是判断满足某一些条件的事物是否存在的问题.这类问题所涉及的知识相对来讲覆盖面较广，综合性较强.解决该类问题常依据基本知识去寻求例子（或是反例），即构造（进一步探求）出符合条件的，抑或者是否定的例子，或运用反证法去推证.这类问题是高中数学学习中的一个热点问题，也是一个难点问题.它的解决方法一般是先假设结论存在，然后再根据题意去推导，如果得出的结论符合题意，即存在，若得出的结论与我们所学的定理、定义、事实或题意相矛盾，即为不存在.其方法比较灵活，解法巧妙，对学生的能力要求较高.下面笔者就这类问题举几个例子来浅谈存在性问题的一些简单解法.

一、三角函数中的存在性问题

【例1】 （2010年北京大学自主招生试题）是否存在0

解：假设存在满足题意的角x，使得sinx，cosx，tanx，cotx成一个等差数列，则有sinx+tanx=2cosx，且cosx+cotx=2tanx，两式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx，即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx，显然sinx-cosx≠0（否则，由题意0

令sinx+cosx=t，由0

点评：首先去假设存在满足题意的角，然后再用一些基本的概念（等差数列，三角函数及其相应的一些公式等）去化简，最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1，并进行换元（注意取值范围），从而发现矛盾.

二、数列中的存在性问题

【例2】 等差数列a1，a2，a3，…an（n∈N*）的公差为d，若数列中任意不同两项之和仍是这个数列中的一项.求证：必存在整数m≥1，使a1=md.

解：假设存在符合题意的整数m，则由题意任取数列中两项as，at（s≠t），由题意可知，存在ak，使ak=as+ata1=（k-s-t+1）d，令m=k-s-t+1，则a1=md.下面证明m≥-1.

（1）若d=0，结论显然成立.

（2）若d≠0，假设m<-1，取p=-m≥2，由题意知，存在aq，使a1+qp=aq2md+（-m-1）d=md+（q-1）dqd=0不成立.故m≥-1.

点评：上述例题为数列中的肯定型存在性问题，这种题一般是抓住特征，从特征去突破.

三、函数中的存在性问题

【例3】 设函数f（x）=x22，g（x）=e·lnx，是否存在实数k，b使f（x）≥kx+b≥g（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k，b的值，若不存在，请说明理由.

解：函数f（x）的图像在（0，+∞）上是单调递增，函数g（x）的图像在（0，+∞）上也是单调递增.

设h（x）=f（x）-g（x），由h′（x）≥0得x≥e.即函数h（x）在[e，+∞）上单调递增，在（0，e）上单调递减.

∴h（x）min=h（e）=0，∴f（e）=g（e）=e2，∴函数f（x）与g（x）的图像有且仅有一个公共点（e，e2）.

∵f′（e）=e，∴f（x）与g（x）在公共点（e，e2）的切线方程为y=ex-e2，即为直线y=kx+b.

∴k=e，b=e2.

点评：这类问题，可直接求解，按理论模型进行操作.

从上面几个例子我们可以看出，存在性问题在数学中还是大量存在的，也是高中数学中比较重要的一个问题，对高中生来讲也是比较难以掌握的一种题型.对此教师应给予重视，积极引导学生掌握存在性问题的相关解法，以提高学生的学习效率.

参考文献

[1]葛军，李善良，游建华.高中数学竞赛读本（下册）[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[2]许少华.肯定型存在性问题求解的四种策略[J].中学数学教学，2004（3）：28.

[3]王为民.构造向量的内积证明不等式例说[J].数学学习与研究，2011（21）：72.

[4]谢广喜.一道自主招生试题多种解题思路的思考[J].数学教学，2011（3）：30.

（责任编辑 钟伟芳）

所谓存在性问题指的是判断满足某一些条件的事物是否存在的问题.这类问题所涉及的知识相对来讲覆盖面较广，综合性较强.解决该类问题常依据基本知识去寻求例子（或是反例），即构造（进一步探求）出符合条件的，抑或者是否定的例子，或运用反证法去推证.这类问题是高中数学学习中的一个热点问题，也是一个难点问题.它的解决方法一般是先假设结论存在，然后再根据题意去推导，如果得出的结论符合题意，即存在，若得出的结论与我们所学的定理、定义、事实或题意相矛盾，即为不存在.其方法比较灵活，解法巧妙，对学生的能力要求较高.下面笔者就这类问题举几个例子来浅谈存在性问题的一些简单解法.

一、三角函数中的存在性问题

【例1】 （2010年北京大学自主招生试题）是否存在0

解：假设存在满足题意的角x，使得sinx，cosx，tanx，cotx成一个等差数列，则有sinx+tanx=2cosx，且cosx+cotx=2tanx，两式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx，即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx，显然sinx-cosx≠0（否则，由题意0

令sinx+cosx=t，由0

点评：首先去假设存在满足题意的角，然后再用一些基本的概念（等差数列，三角函数及其相应的一些公式等）去化简，最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1，并进行换元（注意取值范围），从而发现矛盾.

二、数列中的存在性问题

【例2】 等差数列a1，a2，a3，…an（n∈N*）的公差为d，若数列中任意不同两项之和仍是这个数列中的一项.求证：必存在整数m≥1，使a1=md.

解：假设存在符合题意的整数m，则由题意任取数列中两项as，at（s≠t），由题意可知，存在ak，使ak=as+ata1=（k-s-t+1）d，令m=k-s-t+1，则a1=md.下面证明m≥-1.

（1）若d=0，结论显然成立.

（2）若d≠0，假设m<-1，取p=-m≥2，由题意知，存在aq，使a1+qp=aq2md+（-m-1）d=md+（q-1）dqd=0不成立.故m≥-1.

点评：上述例题为数列中的肯定型存在性问题，这种题一般是抓住特征，从特征去突破.

三、函数中的存在性问题

【例3】 设函数f（x）=x22，g（x）=e·lnx，是否存在实数k，b使f（x）≥kx+b≥g（x）在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出k，b的值，若不存在，请说明理由.

解：函数f（x）的图像在（0，+∞）上是单调递增，函数g（x）的图像在（0，+∞）上也是单调递增.

设h（x）=f（x）-g（x），由h′（x）≥0得x≥e.即函数h（x）在[e，+∞）上单调递增，在（0，e）上单调递减.

∴h（x）min=h（e）=0，∴f（e）=g（e）=e2，∴函数f（x）与g（x）的图像有且仅有一个公共点（e，e2）.

∵f′（e）=e，∴f（x）与g（x）在公共点（e，e2）的切线方程为y=ex-e2，即为直线y=kx+b.

∴k=e，b=e2.

点评：这类问题，可直接求解，按理论模型进行操作.

从上面几个例子我们可以看出，存在性问题在数学中还是大量存在的，也是高中数学中比较重要的一个问题，对高中生来讲也是比较难以掌握的一种题型.对此教师应给予重视，积极引导学生掌握存在性问题的相关解法，以提高学生的学习效率.

参考文献

[1]葛军，李善良，游建华.高中数学竞赛读本（下册）[M].南京：江苏教育出版社，2012.

[2]许少华.肯定型存在性问题求解的四种策略[J].中学数学教学，2004（3）：28.

[3]王为民.构造向量的内积证明不等式例说[J].数学学习与研究，2011（21）：72.

[4]谢广喜.一道自主招生试题多种解题思路的思考[J].数学教学，2011（3）：30.

（责任编辑 钟伟芳）