一类平面几何问题的巧解

孟源

一、问题简介

在给定的图形中，已知一些角、一些边的关系，然后求另外一些角，而不能仅利用多边形内角和、等腰对等角等简单的性质来求解，我们把这类问题叫做“解角度问题”.这类题通常思考难度较大，初看给人无从下手的感觉.当然，如果熟练塞瓦定理的角元形式，解答本类题就是纯粹的解三角方程、进行三角恒等变换.而本专题避开三角函数，只用纯几何的方法，通过构造等边三角形巧解这类问题，并给出一般化思路.

二、解题方法及例题

（一）若三角形有一个角为30°，则以该角对边为边，在30°角同侧作等边三角形

图1如图1，构造出来的新顶点，就是原三角形的外心（证明略）.利用圆周角、圆心角等性质，可以为接下来的解题提供诸多方便.

当然，有时不能直接构造等边三角形，可以以退为进——作60°角，截取某点，再证明构造出来的三角形是等边三角形.这些都是可以灵活调整的，但核心思想——以“30°角对边为边构造等边三角形”不变.

分析：这题无现成的30°角，难以直接应用我们的方法.但若作图准确，则可知∠DCA=30°，就有了下面的解法.

如图6、图7，有两种构造三角形的方式，而在解题中究竟选哪条腰，向内还是向外？这要根据实际情况尝试、选择.和上一种方法一样，构造等边三角形都会出现三角形的外心（等腰三角形的顶点），进而为我们利用圆周角、圆心角等性质解题带来方便.

先来回顾例2.

分析：从“等腰的腰作等边”出发，注意AB=AC，故以AB或AC为边作等边三角形.两边都是可以的，这里仅以AB边的情况为例.

分析：此题的出发点均是挖掘∠DBC=∠ACB的条件，通过构造等腰梯形获解.构造出等腰梯形BCED之后，会同时出现等腰△ADE，AE=DE，于是以AE或DE为边构造等边三角形.笔者经过尝试，发现以AE为边更方便.

分析：不难发现AC=BC，故考虑以等腰三角形的腰为边作等边三角形.但是，笔者最初尝试以AC或以BC为边向内作等边三角形时，无法推导下去.经过一番反思之后，笔者想到向外作等边三角形.经尝试，以AC、BC为边向外作等边三角形都可以，而以AC为边要简捷一些，故采用以AC为边的方法.

三、总结

类似的角度问题变化多端，并无定式，但万变不离其宗——构造等边三角形.当然，具体怎么构造就大有讲究了，因为实际情况往往是复杂的，并没有严格教条.因此，利用等边三角形解决类似问题，方法灵活多样.上述各题的解法，都是笔者经过多次的试验后才得出的，而第一次试验往往是失败的，笔者在多次失败中总结、反思后，才通往了成功.总而言之，目前纳入这个解题理论体系的就两条路——“30°角”和“等长的边”，以这两个要素为切入点，就是解决此类问题的基础.

（责任编辑 钟伟芳）endprint

一、问题简介

在给定的图形中，已知一些角、一些边的关系，然后求另外一些角，而不能仅利用多边形内角和、等腰对等角等简单的性质来求解，我们把这类问题叫做“解角度问题”.这类题通常思考难度较大，初看给人无从下手的感觉.当然，如果熟练塞瓦定理的角元形式，解答本类题就是纯粹的解三角方程、进行三角恒等变换.而本专题避开三角函数，只用纯几何的方法，通过构造等边三角形巧解这类问题，并给出一般化思路.

二、解题方法及例题

（一）若三角形有一个角为30°，则以该角对边为边，在30°角同侧作等边三角形

图1如图1，构造出来的新顶点，就是原三角形的外心（证明略）.利用圆周角、圆心角等性质，可以为接下来的解题提供诸多方便.

当然，有时不能直接构造等边三角形，可以以退为进——作60°角，截取某点，再证明构造出来的三角形是等边三角形.这些都是可以灵活调整的，但核心思想——以“30°角对边为边构造等边三角形”不变.

分析：这题无现成的30°角，难以直接应用我们的方法.但若作图准确，则可知∠DCA=30°，就有了下面的解法.

如图6、图7，有两种构造三角形的方式，而在解题中究竟选哪条腰，向内还是向外？这要根据实际情况尝试、选择.和上一种方法一样，构造等边三角形都会出现三角形的外心（等腰三角形的顶点），进而为我们利用圆周角、圆心角等性质解题带来方便.

先来回顾例2.

分析：从“等腰的腰作等边”出发，注意AB=AC，故以AB或AC为边作等边三角形.两边都是可以的，这里仅以AB边的情况为例.

分析：此题的出发点均是挖掘∠DBC=∠ACB的条件，通过构造等腰梯形获解.构造出等腰梯形BCED之后，会同时出现等腰△ADE，AE=DE，于是以AE或DE为边构造等边三角形.笔者经过尝试，发现以AE为边更方便.

分析：不难发现AC=BC，故考虑以等腰三角形的腰为边作等边三角形.但是，笔者最初尝试以AC或以BC为边向内作等边三角形时，无法推导下去.经过一番反思之后，笔者想到向外作等边三角形.经尝试，以AC、BC为边向外作等边三角形都可以，而以AC为边要简捷一些，故采用以AC为边的方法.

三、总结

类似的角度问题变化多端，并无定式，但万变不离其宗——构造等边三角形.当然，具体怎么构造就大有讲究了，因为实际情况往往是复杂的，并没有严格教条.因此，利用等边三角形解决类似问题，方法灵活多样.上述各题的解法，都是笔者经过多次的试验后才得出的，而第一次试验往往是失败的，笔者在多次失败中总结、反思后，才通往了成功.总而言之，目前纳入这个解题理论体系的就两条路——“30°角”和“等长的边”，以这两个要素为切入点，就是解决此类问题的基础.

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一、问题简介

在给定的图形中，已知一些角、一些边的关系，然后求另外一些角，而不能仅利用多边形内角和、等腰对等角等简单的性质来求解，我们把这类问题叫做“解角度问题”.这类题通常思考难度较大，初看给人无从下手的感觉.当然，如果熟练塞瓦定理的角元形式，解答本类题就是纯粹的解三角方程、进行三角恒等变换.而本专题避开三角函数，只用纯几何的方法，通过构造等边三角形巧解这类问题，并给出一般化思路.

二、解题方法及例题

（一）若三角形有一个角为30°，则以该角对边为边，在30°角同侧作等边三角形

图1如图1，构造出来的新顶点，就是原三角形的外心（证明略）.利用圆周角、圆心角等性质，可以为接下来的解题提供诸多方便.

当然，有时不能直接构造等边三角形，可以以退为进——作60°角，截取某点，再证明构造出来的三角形是等边三角形.这些都是可以灵活调整的，但核心思想——以“30°角对边为边构造等边三角形”不变.

分析：这题无现成的30°角，难以直接应用我们的方法.但若作图准确，则可知∠DCA=30°，就有了下面的解法.

如图6、图7，有两种构造三角形的方式，而在解题中究竟选哪条腰，向内还是向外？这要根据实际情况尝试、选择.和上一种方法一样，构造等边三角形都会出现三角形的外心（等腰三角形的顶点），进而为我们利用圆周角、圆心角等性质解题带来方便.

先来回顾例2.

分析：从“等腰的腰作等边”出发，注意AB=AC，故以AB或AC为边作等边三角形.两边都是可以的，这里仅以AB边的情况为例.

分析：此题的出发点均是挖掘∠DBC=∠ACB的条件，通过构造等腰梯形获解.构造出等腰梯形BCED之后，会同时出现等腰△ADE，AE=DE，于是以AE或DE为边构造等边三角形.笔者经过尝试，发现以AE为边更方便.

分析：不难发现AC=BC，故考虑以等腰三角形的腰为边作等边三角形.但是，笔者最初尝试以AC或以BC为边向内作等边三角形时，无法推导下去.经过一番反思之后，笔者想到向外作等边三角形.经尝试，以AC、BC为边向外作等边三角形都可以，而以AC为边要简捷一些，故采用以AC为边的方法.

三、总结

类似的角度问题变化多端，并无定式，但万变不离其宗——构造等边三角形.当然，具体怎么构造就大有讲究了，因为实际情况往往是复杂的，并没有严格教条.因此，利用等边三角形解决类似问题，方法灵活多样.上述各题的解法，都是笔者经过多次的试验后才得出的，而第一次试验往往是失败的，笔者在多次失败中总结、反思后，才通往了成功.总而言之，目前纳入这个解题理论体系的就两条路——“30°角”和“等长的边”，以这两个要素为切入点，就是解决此类问题的基础.

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