行列式的计算方法及一些特殊行列式的计算
2014-10-31陈洁
摘 要： 行列式的计算是线性代数的基础和重要内容之一.本文通过一些具体的例子，介绍了计算行列式的一般方法及一些特殊行列式的计算.
关键词： 行列式 降阶法 升阶法
线性代数是理工科甚至部分文科专业一门重要的数学基础课，它为工程及社会实践提供了基本的数学手段和方法，是一门应用极广的大学必修课程.而行列式是线性代数的基础，学好行列式是高校学生学好数学的良好开端.因此，熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的.本文在已学过行列式的计算方法的基础上，通过一些例子，具体介绍了行列式的计算方法和一些特殊行列式的计算.
一、计算行列式的一般方法
1.化为“三角形”
化为“三角形”是利用行列式的性质，把所求行列式的主对角线下方的元素全化为零.
例1.计算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性质，把主对角线下方的元素全化为零.
D=-1 3 -1 21 -5 3 -40 2 1 -1-5 1 3 -3=1 3 -1 20 2 1 -10 -8 4 60 16 -2 7
=1 3 -1 20 2 1 -10 0 8 -100 0 0 ■=40
2.降阶法
降阶法是利用行列式性质将行列式的某行或者某列化成只有一个元素不为零，然后根据行列式的展开定理，按此行（列）展开，达到降阶.
例2.计算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性质，把行列式的第三行化为只含一个非零元素，然后再按第三行展开.
D= 5 1 -1 1-11 1 3 -1 0 0 1 0-5 -5 3 0
=（-1）■×1× 5 1 1-11 1 -1 -5 -5 0=40
3.升阶法
升阶法是将要计算的行列式添加一行一列，得到一个新的行列式，使新旧行列式相等，再计算新的行列式.
例3.计算行列式D■=1+a■ 1 … 1 1 1+a■ … 1 … … … … 1 1 1 1+a■
解：将此行列式添加一行一列，变成一个n+1阶的行列式，但行列式的值不变.
D■=1 1 1 … 10 1+a■ 1 … 10 1 1+a■ … 1… … … … …0 1 1 … 1+a■
=1+■+…+■ 1 1 … 1 0 a■ 0 … 1 0 0 a■ … 1 … … … … … 0 0 0 … a■=a■a■… a■（1+■■）
4.拆项法
拆项法是根据行列式的性质，将所给行列式拆成两个或多个行列式之和，再求行列的值.
例4.求解方程1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■=0
解：此行列式的第一列每个数可以写成两数之和
1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■= 1+0 1 1 … 1 1+0 a■ a■ … a■ 1+0 a■■ a■■ a■■ … … … … …1+（x-1） a■■ a■■ … a■■
=1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■+ 0 1 1 … 1 0 a■ a■ … a■ 0 a■■ a■■ a■■… … … … …x-1 a■■ a■■ … a■■
=■（a■-1）■（a■-a■）+（-1）■（x-1）■（a■-a■）
=0
因此，可得x=1+（-1）■■（a■-1）.
5.递推法
递推法是根据行列式的性质，建立阶行列式和阶行列式的关系.
例5.计算行列式 x -1 0 … 0 0 0 x -1 … 0 0… … … … … … 0 0 0 … x -1 a■ a■ a■ … a■ x+a■
解：此行列式按第一列展开
D■=（-1）■a■-1 0 … 0 0 x -1 … 0 0… … … … … 0 0 … x -1
+（-1）■xx -1 … 0 0… … … … …0 0 … x -1a■ a■ … … x+a■
=a■+xD■
由此递推关系，最后可得
D■=x■+a■x■+…+a■x+a■.
6.数学归纳法
对有些n阶行列式，可以先猜想结果，再利用数学归纳法证明猜想成立.例如范德蒙行列式的证明.
二、 一些特殊行列式的计算
1.行列式的每行元素之和相等
例6. 计算D= a b b … b b a b … b b b a … b… … … … … b b b … a
解：将第2，3，…，n列加到第1列后提出第1列的公因子
D=[a+（n-1）b] 1 b b … b 1 a b … b 1 b a … b… … … … … 1 b b … a
=[a+（n-1）b]（a-b）■
2. “爪形”行列式
例7. 计算D= 1 2 3 … n 2 1 0 … 0 3 0 1 … 0… … … … … n 0 0 … 1
解：将第2，3，…，n列的倍数都加到第1列上
D=1-2■-3■-…-n■ 2 3 … n 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … … 0 0 0 … 1
=1-■i■
3. 伪范德蒙行列式
例8. 计算D=1 1 1 1a b c da■ b■ c■ d■a■ b■ c■ d■
解：构造范德蒙行列式，对比x■的系数
D=1 1 1 1 1a b c d xa■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■
=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-c）（d-b）（d-a）（c-a）（c-b）（b-a）
最后找出x3的系数即可.
参考文献：
[1]李红珍.行列式的计算方法与技巧[J].数理科学与化学研究，2013，1.
[2]徐杰.范德蒙行列式的应用[J].科技信息，2009，17.
[3]贾敬堂，李玉海，史裕曙.高职数学行列式的计算方法及应用[J]，邯郸职业技术学院学报，2013，9.
[4]陈洁.关于线性代数教学上的研究与探讨[J].考试周刊，2013，50.endprint
摘 要： 行列式的计算是线性代数的基础和重要内容之一.本文通过一些具体的例子，介绍了计算行列式的一般方法及一些特殊行列式的计算.
关键词： 行列式 降阶法 升阶法
线性代数是理工科甚至部分文科专业一门重要的数学基础课，它为工程及社会实践提供了基本的数学手段和方法，是一门应用极广的大学必修课程.而行列式是线性代数的基础，学好行列式是高校学生学好数学的良好开端.因此，熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的.本文在已学过行列式的计算方法的基础上，通过一些例子，具体介绍了行列式的计算方法和一些特殊行列式的计算.
一、计算行列式的一般方法
1.化为“三角形”
化为“三角形”是利用行列式的性质，把所求行列式的主对角线下方的元素全化为零.
例1.计算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性质，把主对角线下方的元素全化为零.
D=-1 3 -1 21 -5 3 -40 2 1 -1-5 1 3 -3=1 3 -1 20 2 1 -10 -8 4 60 16 -2 7
=1 3 -1 20 2 1 -10 0 8 -100 0 0 ■=40
2.降阶法
降阶法是利用行列式性质将行列式的某行或者某列化成只有一个元素不为零，然后根据行列式的展开定理，按此行（列）展开，达到降阶.
例2.计算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性质，把行列式的第三行化为只含一个非零元素，然后再按第三行展开.
D= 5 1 -1 1-11 1 3 -1 0 0 1 0-5 -5 3 0
=（-1）■×1× 5 1 1-11 1 -1 -5 -5 0=40
3.升阶法
升阶法是将要计算的行列式添加一行一列，得到一个新的行列式，使新旧行列式相等，再计算新的行列式.
例3.计算行列式D■=1+a■ 1 … 1 1 1+a■ … 1 … … … … 1 1 1 1+a■
解：将此行列式添加一行一列，变成一个n+1阶的行列式，但行列式的值不变.
D■=1 1 1 … 10 1+a■ 1 … 10 1 1+a■ … 1… … … … …0 1 1 … 1+a■
=1+■+…+■ 1 1 … 1 0 a■ 0 … 1 0 0 a■ … 1 … … … … … 0 0 0 … a■=a■a■… a■（1+■■）
4.拆项法
拆项法是根据行列式的性质，将所给行列式拆成两个或多个行列式之和，再求行列的值.
例4.求解方程1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■=0
解：此行列式的第一列每个数可以写成两数之和
1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■= 1+0 1 1 … 1 1+0 a■ a■ … a■ 1+0 a■■ a■■ a■■ … … … … …1+（x-1） a■■ a■■ … a■■
=1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■+ 0 1 1 … 1 0 a■ a■ … a■ 0 a■■ a■■ a■■… … … … …x-1 a■■ a■■ … a■■
=■（a■-1）■（a■-a■）+（-1）■（x-1）■（a■-a■）
=0
因此，可得x=1+（-1）■■（a■-1）.
5.递推法
递推法是根据行列式的性质，建立阶行列式和阶行列式的关系.
例5.计算行列式 x -1 0 … 0 0 0 x -1 … 0 0… … … … … … 0 0 0 … x -1 a■ a■ a■ … a■ x+a■
解：此行列式按第一列展开
D■=（-1）■a■-1 0 … 0 0 x -1 … 0 0… … … … … 0 0 … x -1
+（-1）■xx -1 … 0 0… … … … …0 0 … x -1a■ a■ … … x+a■
=a■+xD■
由此递推关系，最后可得
D■=x■+a■x■+…+a■x+a■.
6.数学归纳法
对有些n阶行列式，可以先猜想结果，再利用数学归纳法证明猜想成立.例如范德蒙行列式的证明.
二、 一些特殊行列式的计算
1.行列式的每行元素之和相等
例6. 计算D= a b b … b b a b … b b b a … b… … … … … b b b … a
解：将第2，3，…，n列加到第1列后提出第1列的公因子
D=[a+（n-1）b] 1 b b … b 1 a b … b 1 b a … b… … … … … 1 b b … a
=[a+（n-1）b]（a-b）■
2. “爪形”行列式
例7. 计算D= 1 2 3 … n 2 1 0 … 0 3 0 1 … 0… … … … … n 0 0 … 1
解：将第2，3，…，n列的倍数都加到第1列上
D=1-2■-3■-…-n■ 2 3 … n 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … … 0 0 0 … 1
=1-■i■
3. 伪范德蒙行列式
例8. 计算D=1 1 1 1a b c da■ b■ c■ d■a■ b■ c■ d■
解：构造范德蒙行列式，对比x■的系数
D=1 1 1 1 1a b c d xa■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■
=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-c）（d-b）（d-a）（c-a）（c-b）（b-a）
最后找出x3的系数即可.
参考文献：
[1]李红珍.行列式的计算方法与技巧[J].数理科学与化学研究，2013，1.
[2]徐杰.范德蒙行列式的应用[J].科技信息，2009，17.
[3]贾敬堂，李玉海，史裕曙.高职数学行列式的计算方法及应用[J]，邯郸职业技术学院学报，2013，9.
[4]陈洁.关于线性代数教学上的研究与探讨[J].考试周刊，2013，50.endprint
摘 要： 行列式的计算是线性代数的基础和重要内容之一.本文通过一些具体的例子，介绍了计算行列式的一般方法及一些特殊行列式的计算.
关键词： 行列式 降阶法 升阶法
线性代数是理工科甚至部分文科专业一门重要的数学基础课，它为工程及社会实践提供了基本的数学手段和方法，是一门应用极广的大学必修课程.而行列式是线性代数的基础，学好行列式是高校学生学好数学的良好开端.因此，熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的.本文在已学过行列式的计算方法的基础上，通过一些例子，具体介绍了行列式的计算方法和一些特殊行列式的计算.
一、计算行列式的一般方法
1.化为“三角形”
化为“三角形”是利用行列式的性质，把所求行列式的主对角线下方的元素全化为零.
例1.计算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性质，把主对角线下方的元素全化为零.
D=-1 3 -1 21 -5 3 -40 2 1 -1-5 1 3 -3=1 3 -1 20 2 1 -10 -8 4 60 16 -2 7
=1 3 -1 20 2 1 -10 0 8 -100 0 0 ■=40
2.降阶法
降阶法是利用行列式性质将行列式的某行或者某列化成只有一个元素不为零，然后根据行列式的展开定理，按此行（列）展开，达到降阶.
例2.计算行列式D= 3 1 -1 2-5 1 3 -4 2 0 1 -1 1 -5 3 -3
解：按行列式的性质，把行列式的第三行化为只含一个非零元素，然后再按第三行展开.
D= 5 1 -1 1-11 1 3 -1 0 0 1 0-5 -5 3 0
=（-1）■×1× 5 1 1-11 1 -1 -5 -5 0=40
3.升阶法
升阶法是将要计算的行列式添加一行一列，得到一个新的行列式，使新旧行列式相等，再计算新的行列式.
例3.计算行列式D■=1+a■ 1 … 1 1 1+a■ … 1 … … … … 1 1 1 1+a■
解：将此行列式添加一行一列，变成一个n+1阶的行列式，但行列式的值不变.
D■=1 1 1 … 10 1+a■ 1 … 10 1 1+a■ … 1… … … … …0 1 1 … 1+a■
=1+■+…+■ 1 1 … 1 0 a■ 0 … 1 0 0 a■ … 1 … … … … … 0 0 0 … a■=a■a■… a■（1+■■）
4.拆项法
拆项法是根据行列式的性质，将所给行列式拆成两个或多个行列式之和，再求行列的值.
例4.求解方程1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■=0
解：此行列式的第一列每个数可以写成两数之和
1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■= 1+0 1 1 … 1 1+0 a■ a■ … a■ 1+0 a■■ a■■ a■■ … … … … …1+（x-1） a■■ a■■ … a■■
=1 1 1 … 11 a■ a■ … a■1 a■■ a■■ a■■… … … … …x a■■ a■■ … a■■+ 0 1 1 … 1 0 a■ a■ … a■ 0 a■■ a■■ a■■… … … … …x-1 a■■ a■■ … a■■
=■（a■-1）■（a■-a■）+（-1）■（x-1）■（a■-a■）
=0
因此，可得x=1+（-1）■■（a■-1）.
5.递推法
递推法是根据行列式的性质，建立阶行列式和阶行列式的关系.
例5.计算行列式 x -1 0 … 0 0 0 x -1 … 0 0… … … … … … 0 0 0 … x -1 a■ a■ a■ … a■ x+a■
解：此行列式按第一列展开
D■=（-1）■a■-1 0 … 0 0 x -1 … 0 0… … … … … 0 0 … x -1
+（-1）■xx -1 … 0 0… … … … …0 0 … x -1a■ a■ … … x+a■
=a■+xD■
由此递推关系，最后可得
D■=x■+a■x■+…+a■x+a■.
6.数学归纳法
对有些n阶行列式，可以先猜想结果，再利用数学归纳法证明猜想成立.例如范德蒙行列式的证明.
二、 一些特殊行列式的计算
1.行列式的每行元素之和相等
例6. 计算D= a b b … b b a b … b b b a … b… … … … … b b b … a
解：将第2，3，…，n列加到第1列后提出第1列的公因子
D=[a+（n-1）b] 1 b b … b 1 a b … b 1 b a … b… … … … … 1 b b … a
=[a+（n-1）b]（a-b）■
2. “爪形”行列式
例7. 计算D= 1 2 3 … n 2 1 0 … 0 3 0 1 … 0… … … … … n 0 0 … 1
解：将第2，3，…，n列的倍数都加到第1列上
D=1-2■-3■-…-n■ 2 3 … n 0 1 0 … 0 0 0 1 … 0 … … … … … 0 0 0 … 1
=1-■i■
3. 伪范德蒙行列式
例8. 计算D=1 1 1 1a b c da■ b■ c■ d■a■ b■ c■ d■
解：构造范德蒙行列式，对比x■的系数
D=1 1 1 1 1a b c d xa■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■a■ b■ c■ d■ x■
=（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）（d-c）（d-b）（d-a）（c-a）（c-b）（b-a）
最后找出x3的系数即可.
参考文献：
[1]李红珍.行列式的计算方法与技巧[J].数理科学与化学研究，2013，1.
[2]徐杰.范德蒙行列式的应用[J].科技信息，2009，17.
[3]贾敬堂，李玉海，史裕曙.高职数学行列式的计算方法及应用[J]，邯郸职业技术学院学报，2013，9.
[4]陈洁.关于线性代数教学上的研究与探讨[J].考试周刊，2013，50.endprint
