动画美术与数学化归方法

■ 曾定凡 曾 旭

(作者曾定凡系中国传媒大学艺术学部动画与数字艺术学院教授;曾旭系Texas A＆M University Texas硕士研究生)

动画美术完全依赖漫画、国画、油画、雕塑等来表现自己。“有多少种美术形式，就有多少种动画形式”，实际上，是动画没有自己的特定形式。从这个意义上说，动画美术是对全部美术形式的一种综合研究。而化归方法则是数学最广泛的解题手段和数学家最显著的思维特征。

长期以来，美术的发展很少与数学交融，普遍认为逻辑思维是形象思维的桎梏，数学盲是美术家沉重的历史包袱。而我们坚持认为，动画美术不仅是一门人文艺术，在很大的范围内还是一门严谨的科学。众所周知，只要是科学，就必然需要数学去提供认知手段。不同质的矛盾要用不同质的方法才能解决，一般地说，艺术问题要用艺术的规律去对待，科学问题要用科学的方法去诠释。正是因为我们在动画美术创作与教学中忽视了科学性，导致了许多问题长期得不到解决，动画美术基础训练的效率低就是其中之一。

问题可能还不止如此。哥德尔不完备定理警示我们:对一个形式系统而言，一个公理系统内部总存在它自己无法判明的问题。从这个特殊的角度来看，即使艺术问题也未必完全能够用艺术规律来说明，它需要包括数学在内的不同系统的支持。跳出系统看系统，是我们完善对于客观世界认识的必由之路。

纵然动画美术与数学方法都能解释同一个问题，但数学所提供的案例有许多别的学科无法替代的内容。恩格斯说过，从不同观点观察同一对象，已成为马克思的习惯。用数学精神把传统美术中的信息重新梳理，交叉理念的相互碰撞能促进新思想的产生;这里我们可以从解析几何中获得某种启示:假如没有代数与几何之间的相得益彰，数学家就会被限制在狭窄和繁重的思维负担之中。

只要美术家的知识结构发生改变，就会发现，动画美术方法的许多原理原来存在于数学之中。有时美术家好不容易找到一点新的思想与方法，然而却发现数学家早就已经解决了，有的甚至是数学中的基本常识。

我们需要认知定式的历史性重构。

一

圆面积的计算如果从正面强攻是非常困难的，且看数学家的智慧:以圆内接多边形面积去近似圆的面积，两者之差是一个小量，当取极限时这种小量趋于零，这样，数学家通过直与曲的转换，得到了圆面积计算的数学模型S=πR2。

找到这样的方法是天才，但更为重要的是要超越这些个别零散的事实去找到其背后的科学规律。否定之否定规律告诉我们，旧的实践与具有新质的实践之间是不能直接联系的，必须经过理论的否定，才能实现跃迁。数学家没有停留在一个一个原始的事实层面，而是通过归纳升华，获得了一种理论，这就是“化归”。所谓“化归”是指将问题A进行变形，转化为若干简单的问题B，既然问题B是简单的，那么问题A就好解决了。它的基本原则是在保证本质特征不变的前提下“变陌生为熟悉，变高维为低维，变复杂为简单，变抽象为直观，变困难为容易，变隐蔽为明朗”，这是一个从特殊到一般的过程。如同辩证法的诞生才使许多原始的辩证思维现象产生认识上的飞跃一样，化归思想的提出也能使不同领域的相关实践由自发变为自觉。

这是数学给美术家送来的一份大礼!它为动画美术方法的开疆拓域提供了一个锐利的思想武器。动画美术中造型与色彩难以控制，原因恐怕就在太复杂。化归方法使我们获得了这种事物运动发展的共同本质，但它并不能代替各种具体问题中的特殊本质;这里还需要一个从一般到特殊的过程，而这个过程却不是可以通过推理一蹴而就的，因为“一切运动形式的每一个实在的非臆造的发展过程内，都是不同质的。”①只有“具体问题具体分析”才能找到这种不同质的特殊性。

美术家要想在自己的领域很好地运用化归方法，对于化归方法在数学中如何处理矛盾的普遍性与特殊性之间的关系进行深入研究是一件很有价值的工作。

同样是化归方法，球体积就不是圆面积计算方式的演绎，球体是旋转体，可以通过微分法先求得体积元素，进而通过积分求得体积;而在实验方法中，则是将底面半径为R，高为2R的圆柱容器中放满水，将半径为R的球放入圆柱内，水溢出，将球取出，圆柱中剩下的水正好倒满底面半径为R，高为2R的圆锥容器，再将圆柱体减去圆锥体体积得公式V球体积=πR2×2R －1/3πR2×2R=4/3πR3;分数、复数、分式运算的复杂过程无非都是在化归成低一级的整数、实数、整式的运算;求导数和不定积分要归结为基本初等函数的求导公式与积分公式，常微分方程则通过将非线性变为线性，多变量换成单变量等方式使复杂方程变为简易方程;由于方程有一套自己完善的求解办法，而只要找出等量关系就能建立起方程，所以很多难题都会利用方程来解决。同时，数学不仅不同问题有不同的解，还追求同一问题中的最优解，例如怎样把一个十进制数写成二进制数，我们可以按原始办法顺序改写;但若采用“除2取余，逆序排列”法就非常轻松。这里体现了一种对完美境界的渴望。

需要提醒的是，在各种形式的转换中，必须注意其深层的不变性;多年来，由于种种原因，我们把对于运动、过渡和联系，比较对于什么东西在运动注意得更多，有时不知不觉演变成了对不变性的漠视，从一个极端跳到了另一个极端;而真实世界应是双方都不能跨越各自的规定，无论运动与联系的观点怎样正确，它们所遵循的普遍规律是不变的，深刻的哲学家永远在寻找世界的统一性;数学为了适应自身发展的特点，它比任何学科都更加意识到了不变性的价值，运算中的交换率、分配律、结合律给了我们深刻的示例;欧几里得三角形形状虽然千差万别，但内角和180度是确定的，凸多边形外角千姿百态，但其外角和360度不变;圆周率π与自然对数底e，都是无穷变化中的永恒。化归原则是变与不变的统一。

上述种种特殊方法，互相之间真可谓风马牛不相及，但它们又在“变复杂为简单”这个化归的一般意义上联系起来。这些一般与特殊的表现启迪美术家的创新之路。它告诉我们，从化归思想到获得不同科学问题的具体方法，其间对困难的征服不但不亚于“化归”方法的发现，而且还要更伟大、更壮观。同时化归方法也依赖这些新的特殊发现以发展自己，使自身不致变成“纯粹抽象的公式”。

化归智慧在解决具体问题中所表现出来的摧枯拉朽般的震撼，足以让美术家对数学时刻保持着敬畏，足以激发起数学与动画美术关系的无限想象力。

二

造型艺术辞典中没有化归这个词汇，但却不是没有化归思想，绘画的一套方法受到了历史的检验，一大批名作表明其中必有铁的逻辑;将其推置到包括化归方法在内的现代科学范式条件下，用新的视野与理论高度进行追问，是我们承继这份传统绕不开的课题。

例如，素描中纯粹的明暗在自然世界是不存在的，它是前辈大师从各种复杂的色彩属性中剥离出来的一个划时代的发现，它不但揭示出明暗、冷暖、浓灰等几大色彩性质中，明暗具有更加独立、重要的地位，揭示出造型艺术的美丑得失永远受控于明度，更为重要的是通过抓住明暗能使美术家研究造型更加容易。这是一种将高维变成低维的化归方法。

国画家对于线条的审美趣味已入微到了一种近乎神秘的境界，为了获得这种形式美感，需要在书法、篆刻方面下功夫。“直从书法演画法，平生得力之处是能以作书之笔作画” (吴昌硕)，它通过某种等价的形式转移，最大限度地减少了人物造型对画家的束缚，使精力集中到纯粹的线条研究上去。是一种变元构造的化归方法。

面对太难表现的人物形象，美术学生会化简成各种基本几何形体，然后逐步推进到复杂的造型;曲线透视不好画，美术家会借助直线透视去解决;是一种变复杂为简单的化归方法。

油画家的调色板需要精心安排成与画面一致的色彩关系，这样就可以将画面的色彩关系放到调色板上去处理，而上画布时主要看造型。是一种分而治之化归方法。

中国画论中有“十八描”;素描有“三大面五大调”等，如果运用得法，这些程式化很强的形式可以和数学中的公式、方程一样避免许多原始分析;是一种模型式化归方法。

绘画中线条的勾勒不能像自行车下坡，一冲而下，而应该像拉车上坡那样一步一步踏石留印，绵里藏针，屋漏痕，锥划沙。是一种化陌生为熟悉的化归方法。

张璪主张的“外师造化，中得心源”，谢赫提出的“气韵生动”，齐白石强调的“妙在似与不似之间”，徐悲鸿总结的“宁过勿及，宁方勿圆”等，则是对手段与结果的一种放大与锁定，显而易见化归成大目标比小目标容易命中，清晰固定的目标比模糊游离的目标容易捕捉。

如果深入分析下去，我们会惊奇地发现，几乎所有的美术方法都可以集合到化归的旗下;华罗庚的“退到最原始而不失去重要性的地方，把相对简单的问题搞清楚了，从而获得全部问题解决”的思想成了这些方法的最好注解。这样一来，这些没有用到数学知识的传统美术方法，思维方式却变成了数学的。

对于化归方法，不能说美术家没有一定的意识，但数学家与我们的区别在于我们即使运用这个方法，也仍在不经意间执拗地拒绝理解它的本性，化归方法的真正的力量不在我们的自觉认识之内。而数学家则看清了问题转化后所涌现的新的系统功能，使其完全服从自己的意志，并且作为一种十分重要的思维策略上升到了方法论的层面。

三

对美术家来说化归的意义在于化解横梗在动画美术中的难题。

和传统美术的认知语境不同，下面我们要将许多美术问题化归到数学方法上去。我们试图通过案例分析使人们相信，数学作为理解、把握世界最简洁有力的工具，它在动画美术中被需求的程度与它在其他科学领域中的应用是一致的;大体说来只要不越过科学的边界，不陷入复杂性范畴，数学都能做出深刻的类比与刻画，这里既有直觉的经验，又有逻辑的批判，既有指南又有坐标。当然这种新的路径将注定是一个艰难的求索过程。但有理由相信，随着对数学的了解越多，我们对新旧动画美术方法的领悟将越多。与某些领域典型案例难以收集形成对比，数学中各种具有惊人创造力的化归方法天天在进行，大浪淘沙留下的历史经典可谓汗牛充栋，这些为我们思维空间的拓展与思维品质的优化提供了得天独厚的条件。

造型艺术表现的不是绝对的对象而是相互关系。例如高楼大厦并不需要等大的纸来表现，但要求在方寸内仍能感觉其雄伟;任何一块色彩都不能脱离具体的色彩关系，否则将此色彩关系中的土黄放进彼色彩关系中，它可能变成土绿;画画就是画关系，它们每一个都能引起其他东西的改变而本身又被其他东西所改变。传统美术常借用音乐中“定调可高可低，但七个音符的递阶关系要保持好”来进行类比，但光有这种解释其实是单薄的。而数学正是一种能够研究关系结构模式的科学:上述具有确定性联系的相互关系如果换成数学语言，就是一个量决定另一个量的相似变换，可以用一个简单的一元线性函数y=ax表示 (其中a≠0，如果缩小，a是一个小于1的非负小数，如果放大，a是一个大于1的值)，科学性、简洁性与可操作性兼备;如果引入非线性函数，其应用力度将会在非对称非协同等多种形态中获得有效的扩张。它们与传统方法构成互补互动，使“画关系”问题厚实起来。

对于绘画中整体与局部关系的理解与处理，恐怕没有美术家不为之苦恼过。忽视整体只钻局部是初学者难以避免的通病，应该告诫，和对于运动中任意曲线的认识，只有在与切线的关系中通过微积分才能表现出来一样，绘画中每一个局部都必须放到恰当的整体中才能维系。造型系统相互关系中的线性函数现象在理论上是成立的，但由于观察与表现上的误差，在很多情况下，“自变量”难于将“因变量”限制在一个点上;局部单线联系过多因果链条拉得太长，系统中信息的传输会伴随偶然性出现随机干扰，这种干扰形成涨落，可能随着初始误差倍数甚至指数式地放大。这里可以用“折纸登天”的数学题来演示这种效应:将一张厚度为0.1mm且足够长的纸对折100次，其厚度将是0.1mm*2100=126，765，060，022，822，940，149，670公里，而太阳离地球的距离仅约149，597，870公里。由于与直觉相距太远所带来的刺激，它对于改变学生顽固性的过多的局部观察，有着一种奇妙的力量。

为了把握好造型的整体关系，我们会借助许多水平线、垂直线。面对纷繁的色彩，怎么能迅速地找到它在整体中的位置，我们也会从大会堂找座的感受来领悟:先进行红、黄、白票区划分，然后再对号入座。这两个办法非常好，好就好在它已经接近了数学的边缘。如果我们催化一下，使它升华到数学中的坐标系，这就找到了一个更科学的工具。在平面坐标系中，通过X、Y两个坐标值就能确定一个物体的准确位置，这也启示我们，比较既不能只看到一根线而忽视另一根线，同时也无必要漫无边际的乱比，比较要抓住要害。

这里的要害就是绘画中强调的“大关系”，它是控制整体关系的核心环节，但绘画中的“大关系”理论过于笼统，缺少具体分析。而“大关系”在数学方法中就是通过某一组参数来控制整个系统。例如，要画一个球的体积，只需控制球的半径R一个参数就够了，若是加上球心的位置——在空间直角坐标系中，球心的位置由X、Y、Z三个坐标值来决定——那么四个参数就能确定一个空间中任意指定位置的球体。在数学物理方程中，对控制参数有“双曲型方程、椭圆型方程和抛物型方程”②等归纳并有详尽的分析，虽然未必可以直接应用于动画美术，但对我们深化“大关系”的研究很有启发;而在哈肯的协同学中，这种参数叫做系统的序参量。由于序参量决定了系统的演化进程，这样消去大量具有自由度的分子，建立与求解序参量方程，就能使系统控制变得科学简易。这些通过“引参求控”的化归方法深化了我们对绘画中“大关系”的理解。

动画美术教师年复一年声嘶力竭的“整体”、“比较”方法，实在需要渗透一些不同的思维，给学生带来一种新的刺激，以避免落入“单纯用重复方法是学不到什么的”这个现代心理学揭示的怪圈中去。下面的4次方程同样能给我们带来这种启示:m(ax2+bx+c)2+n(ax2+bx+c)+p=0，如果用y去代替括号中的二次式，变成my2+ny+p=0，一个复杂的四次方程因此成了解两回二次方程，这种整体代入使解题过程简捷明快而富有创造性的威力。虽然这种“块操作”甚至“集装箱”式的控制办法在传统的美术方法中经常被提到，但我们在经历数学刺激的紧张状态之后思考这个问题却是第一次。不同质的例题将催生完全不同质的感悟，这里有高低甚至文野之分。

孙子兵法上有“治众如治寡”的原则，这对应于数学中的加和现象，如狄利克莱抽屉原理、微分法、集合概念等等。但由于系统不仅有加和现象更有非加和规律，因此，“治众如治寡”是有条件的。整体与局部分属不同层次，很多情况下二者必然在具有共同状态的同时还将出现不同性质，它需要各种不同的控制方法，这样如何把“众”化解成“寡”将拷打着美术家的智慧。我们常常有这种困惑，局部已经画得很到位了，但整体感受却怎么也出不来，深层的原因其实就是适用局部的方法却不能解决整体问题;一般来说综合比分析更高级也更困难，这也是初学者容易掉入局部的原因之一。治理一个国家与治理一个村庄岂可同日而语。借助一些数学方法会使我们看得更清楚:例如根据“环面上任何点的邻域能用一小块平面去近似”的原理，可以用直角平面坐标制作局部地图，但作为整个地球的地图却要用球坐标;欧氏几何能描述人们日常生活中的空间，但对于宇宙尺度的空间则需要承认空间弯曲的非欧几何;处理有限集的方法难以搬用到无限集中。这些类比虽然未必尽善尽美，但它确实对如何处理动画美术整体关系中的复杂性，构成了思考的切入点。

一张画的制作过程就是一个解题过程，数学化归运算在已知与未知、目的与手段之间的巧妙转换精心择优，它所需要的思维深度、广度、批判性、独创与灵活性，无一不是动画美术创作的必备条件。

化归思想把我们带到了一个风光无限的境地，创新正未有穷期。

数学方法能够作为动画美术有力武器的原因，在于宇宙世界物质运动规律的统一性和科学的统一性。科学与艺术的进步，说到底是思维方式的进步。而这种思维方式，相当多的内容是用数学语言写成的，这是一种从量的角度对世界进行研究、为人们提供方法论的哲学，是人类伟大精神的重要表征。“没有数学就没有真正的智慧”是柏拉图的名言。冷落甚至蔑视数学的后果，只能使自己陷入“思维方式存有缺陷”的观照中去。这不仅是惩罚更是数学对世界无微不至的关怀。

美术家数学知识结构的深刻变化，必然引起其思维方式的根本性改变。可以预言，数学化归方法不仅能改变美术家许多现有的行为习惯，而且还将长久滋养其心智。

注释:

① 《毛泽东选集》，人民出版社1991年版，第310页。

② 谷超豪等:《数学物理方程 (第2版)》，上海科学技术出社1961年版，第97、145、207页。