一元二次方程错题档案

史新景

有人说：“数学就像一棵郁郁葱葱的参天大树，各知识点就是它的枝节. ”由此可见，数学各知识点之间联系密切，任何一个知识点出了问题都不能形成一个较完整的数学知识结构. 本文就平时学生习题中常出现的错误进行整理，希望同学们能够“以错为鉴”，避免再犯类似的错误.

一、 定义理解不透彻

例1 下列方程是一元二次方程的是______.

①x2+1=0，②x2=0，③x++1=0，④2x（x+2）=2x2，⑤ax2+bx+c=0，⑥x2+2x+=0.

【错解】①、②、③、④、⑤.

【剖析】一元二次方程满足的条件是：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数为2；（3）整式方程.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）.③不是一元二次方程，因为没有注意到等号的两边应该都是整式；④不是一元二次方程，因为将方程整理为一般形式后，没有二次项；⑤不是一元二次方程，因为没有指出二次项系数a不为0；⑥是一元二次方程，和都是整式. 所以，是一元二次方程的有： ①、②、⑥.

二、 忽视二次项系数不为零

例2 方程（k+1）xk2+1+4x-5=0是关于x的一元二次方程，求k的值.

【错解】根据题意可得k2+1=2，∴k=±1.

【剖析】在解本题过程中忽略了一元二次方程二次项系数不为零的条件.

解：根据题意得，k2+1=2，∴k=±1，又k+1≠0，即k≠-1，∴k=1.

三、 混淆方程只有一个实数根与方程有两个相等的实数根

例3 关于x的方程（m2-1）x2+（2m+2）x+1=0只有一个实数根，求m的值.

【错解】∵关于x的方程只有一个实数根，

∴b2-4ac=（2m+2）2-4（m2-1）=8m+8=0，

∴m=-1.

【剖析】方程有一个实数根，暗示这个方程是一元一次方程，错解中误认为它与一元二次方程有两个相等的实数根是等同的.

解：∵关于x的方程只有一个实数根，

∴这个方程是一元一次方程，即m2-1=0且2m+2≠0. ∴m=1.

四、 方程类型不明确时，漏掉方程为一元一次方程的情况.

例4 （2012·山东德州）若关于x的方程ax2+ 2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是______.

【错解】a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

∴当a≥-1且a≠0时，方程有实根.

【剖析】已知条件中二次项系数是一个字母，方程有解并不意味着该方程一定为一元二次方程，上述解答过程只考虑了方程是一元二次方程时方程有根的情况，忽略了该方程为一元一次方程的情况.

解：①当a=0时，方程4x=0，x=0；

②当a≠0时，一元二次方程有实根，

所以a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

所以a≥-1且a≠0.

综合①、②，当a≥-1时，

方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解.

五、 盲目“套用”求根公式

例5 用公式法解方程x2+7x=5.

【错解】∵a=1，b=7，c=5，

∴b2-4ac=72-4×1×5=29，

∴x==，

即x1=，x2=.

【剖析】用公式法求解一元二次方程时应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），错解中没有将方程化成“一般式”，误认为常数项c=5.

解：移项得x2+7x-5=0，

∵a=1，b=7，c=-5，

∴b2-4ac=72-4×1×（-5）=69，

∴x==，

即x1=，x2=.

六、 误用性质导致丢根

例6 解方程：（x+1）2=2（x+1）.

【错解】方程两边同除以（x+1），得x+1=2，所以x=1.

【剖析】错解中，方程两边同除以因式x+1，没有考虑到x+1=0的情况，造成丢根.

解：原方程可变形为（x+1）2-2（x+1）=0，（x+1）（x+1-2）=0，（x+1）（x-1）=0，所以x1=1，x2=-1.

七、 忽视一元二次方程的根为负数

例7 已知α，β为一元二次方程x2+7x+5=0的两实数根，求+的值.

【错解】∵α，β为一元二次方程x2+7x+5=0的两实数根，

∴α+β=-=-7，αβ==5，

∴+=+===-.

【剖析】由一元二次方程根与系数的关系得到α+β=-=-7，αβ==5，这说明α，β同为负数，所以在对+化简时应注意符号问题.

解：∵α，β为一元二次方程x2+7x+5=0的两实数根，

∴α+β=-=-7，αβ==5.

∴+=+=

-=-=.

八、 忽略一元二次方程有实根的条件

例8 （2014·山东烟台）关于x的方程x2-mx+2m=0的两根的平方和是5，则m的值是（ ）.

A. -1或5 B. 1

C. 5 D. -1

【错解】设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，

∴m1=5，m2=-1，故选A.

【剖析】当a=5时b2-4ac=（-5）2-4×1×10=-15<0，此时方程无解，错解中忽略了一元二次方程有实根时必须满足b2-4ac≥0这一条件.

解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，∴m1=5，m2=-1.

∵b2-4ac=m2-8m≥0，

∴m≠5，故m=-1. 选 D.

九、 未充分利用题目中的条件

例9 如图1，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25 m），现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当AB的长度为多少时能使矩形花园的面积为300 m2.

【错解】设AB=x m，则BC=（50-2x） m.

根据题意得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，

答：当AB的长为15米或10米时能使矩形花园的面积为300 m2.

【剖析】对于一些方程根的取舍问题，关键是要读懂题目的意思，充分考虑到题目给出的条件或者隐含条件. 错解中没有注意到围墙MN最长可利用25 m，当AB=10时，BC=50-2×10=30>25， 不符合题意，应舍去.

解：设AB=x m，则BC=（50-2x） m.

根据题意得，x（50-2x）=300，

解得：x1=10，x2=15.

当x=10时，BC=50-2×10=30>25，不合题意，舍去；

当x=15时，BC=50-2×15=20<25.

答：当AB的长为15 m时能使矩形花园的面积为300 m2.

相信同学们会结合以上错解剖析，诊断出自己的问题来“对症下药”，牢固地掌握一元二次方程的相关知识点，在考试中力争零失分！

小试身手

1. 已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根，则下列关于判别式b2-4ac的判断正确的是（ ）.

A. b2-4c≥0 B. b2-4c=0

C. b2-4c<0 D. b2-4c>0

2. 已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）.

A. a>2 B. a<2

C. a<2且a≠1 D. a<-2

3. 下列一元二次方程两实数根和为 -4的是（ ）.

A. x2+2x-4=0 B. x2-4x+4=0

C. x2+4x+10=0 D. x2+4x-5=0

4. 方程（x-1）（x+2）=2（x+2）的根是（ ）.

A. 1，-2 B. 3，-2

C. 0，-2 D. 1

5. 某单位准备将院内一块长30 m，宽20 m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草. 如图2所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）