SH波入射覆盖层半空间圆孔及圆夹杂的动力分析

陈冬妮，齐辉

(哈尔滨工程大学航天与建筑工程学院，黑龙江哈尔滨150001)

各种场地类型及地下结构对地震波的响应问题研究是地震工程学中波动问题的研究内容之一。这类研究均属于弹性动力学问题的范畴。目前，夹杂、孔洞、衬砌等结构对弹性波散射问题的研究已经很成熟［1-4］。20世纪末，大圆弧假设原理的提出彻底解决了在半无限空间表面无法进行波函数展开的难题并在求解波动问题中被广泛应用［5-8］。我国学者刘殿魁等［9］又在二维散射问题的解析当中引入“域函数”的概念和复变函数法，大大拓展了传统波函数展开法的应用范围［10-13］。

本文求解时基于大圆弧假设法用曲面边界替代直边界以构造求解所需的波函数场，然后再结合复变函数法、波函数展开法给出具有地表覆盖层的弹性半空间内圆孔及圆夹杂在稳态SH波作用下动应力集中问题的解。

1 理论分析

1.1 问题表述

如图1所示，建立多个圆孔和圆柱形夹杂的弹性半空间计算模型。在地表覆盖层的下边界建立一个总体坐标系XOY，在圆孔和圆柱形夹杂的圆心上建立局部坐标系XjOjYj。地表覆盖层的上边界和下边界分别标记为TU和TD，覆盖层的厚度为h2，密度和剪切弹性模量分别为ρ2和μ2;用来拟合地表直边界的大圆弧中心记为O＇，到上边界和下边界的半径分别记为RU和RD;基体介质的密度和剪切弹性模量分别为ρ1和μ1;浅埋圆孔和圆柱形夹杂标记为TS(S=1，2，…，m)，半径用 as表示，第 s个圆孔或圆柱形夹杂的中心坐标为cs，其中夹杂的密度和剪切弹性模量分别为ρs和μs。为了便于表述不同的边界条件，采用“分区”的方法将整个区域分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3个分区进行分析:基体半空间为Ⅰ区，地表覆盖层为Ⅱ区，圆柱形夹杂为Ⅲ区，TD为区域Ⅰ、Ⅱ的“公共边界”。

图1 SH波对浅埋多个圆形结构散射的计算模型Fig.1 The model of scattering of shallow circular structures impacted by SH-wave

1.2 控制方程

SH波入射在xy平面内引起的反平面位移(波函数)记为Wi(x，y，t)。介质的位移场满足 Helmholtz方程:

式中:位移函数Wi与时间的依赖关系为eiωt(以下分析略去时间谐和因子e-iωt)。简谐波波数ki=，ω为位移 W(x，y，t)圆频率;介质的剪切波速=i =1，2，…，S);介质的质量密度和剪切模量分别为 ρi、μi。

应变与应力的关系表示为

而在极坐标系中，式(3)变为

1.3 Ⅰ区散射波的求解

基体Ⅰ中所求散射波W(SI)由圆孔和夹杂TS以及地表覆盖层下边界TD产生的散射波和组成，即

移动坐标原点到第j个圆形结构的圆心cj上，则在 (zj)上，z=zj+cj，z-cs=zj-，其中，=c-c。由此式(4)改写成sj

相应的应力场:

1.4 Ⅱ区散射波的求解

式中:z'=z+i RD，系数 Cn，Dn(n=0，±1，±2，…)待求。

相应的应力场:

1.5 Ⅲ区驻波的求解

式中:系数En(n=0，±1，±2)待求，Jn(·)为n阶Besell函数。同样利用移动坐标技术将式(5)改写成:

相应的应力场:

1.6 问题的解答

若半空间内存在一与x轴正向成α0的方向入射的稳态的SH波，如图1所示。则入射波W(i)在复平面(z)上为

式中:W0为入射波的最大幅值。相应的应力场:

式中:τ0=μ1k1W0是入射波产生的剪应力幅值。

由边界条件:夹杂周边和Ⅰ、Ⅱ2个区域的“公共边界”上应力、位移连续，孔洞周边及地表覆盖层的上边界上应力自由，可得求解问题的定解方程组:

在式(6)两边同乘 exp(-i mθj)，式(7)、(8)、(9)两边同乘 exp(-i mθ')(m=0，±1，±2，…)，式(10)、(11)两边同乘 exp(-i mθ2)(m=0，±1，±2，…)并在(-π，π)上积分，则化简为未知系数，，Bn，Cn，Dn和En的一组无穷代数方程组。通过精度控制对方程组截取有限项(本文截取9项)进而求解。通过验算，本文的计算精度可以达到10-5。

2 数值结果及参数分析

在理论和工程实践中最受关注的是孔口或夹杂周边的动应力集中系数，该参数的大小对被研究结构的使用年限和安全可靠性有直接影响。本文中，对于地表覆盖层的弹性半空间内圆形孔洞散射问题，主要讨论了圆孔周边的动应力集中系数的变化情况，其中可表达为

式中:τ0=μ1k1W0是入射波产生剪应力幅值。

算例选取如图2所示计算模型:选取具有相同半径(采用无量纲参数即将圆孔及夹杂的半径取为1)，且具有同一埋深的相邻圆孔和夹杂作为研究对象。参数组合设为= μ2/μ1= μ3/μ1(其中 μ3为夹杂的剪切模量)和=k2/k1=k3/k1。

图2 SH波对2个同一埋深的相邻圆孔及夹杂散射计算模型Fig.2 Themodel of circular cavity and inclusion locating in same level by SH-wave

1)图 3给出了 h2=2.0，h1=10.0，K3R=0.5 ，=2.0=0.25，l=2.5 ，SH 波入射角 α0=90°，波数k1R及不同时，动应力集中系数沿圆孔周边变化情况。若取=1.0=0=1.0=1.0，则所取计算模型就退化为均匀半无限空间中垂直入射SH波对单圆孔的散射问题，此时圆孔周边动应力集中系数的分布情况与文献［14］中所给研究成果吻合良好，由此也间接证明了用本文所述方法来求解本文所述问题是可行和准确的。由图中结果可知:SH波低频入射且=2.0，θ=0°时动应力集中系数达到最大值=6.09，数值大小是全空间单孔的3倍多，与均匀介质(=1.0)时圆孔θ=0°处相比，也增加了9%左右，说明覆盖层的存在的确影响了的大小;另外，随 k1R 增大，孔边动应力集中系数减小。

图3 孔边动应力集中系数的分布Fig.3 Distribution of DSCF around circular cavity edge

2)图4给出了 ，h1=3.0，h2=5.0 ，K3R=0.5，=0.25，l=2.5，SH 波入射角 α0=90°，波数 k1R、及不同时，动应力集中系数沿圆孔周边的变化情况。

图4 孔边动应力集中系数的分布Fig.4 Distribution of DSCF around circular cavity edge

当k1R=0.1即SH波低频入射情况且取值较大时，覆盖层刚度的增加并没有明显改变孔边的动应力集中系数的大小;只有当取值较小时，覆盖层刚度的改变才明显影响到孔边动应力集中系数的取值;当k1R=0.5即入射波数较大时，相对于低频情况随覆盖层刚度的增加圆孔周边的动应力集中系数呈现逐渐减小的趋势。

3)图4(a)、图5 给出了h1=3.0，h2=5.0，k1R=0.1，K3R= 0.5= 2.0= 0.25，SH 波入射角α0=90°，孔心距及不同时，动应力集中系数沿圆孔周边变化情况。由图4(a)可知:θ=0°处与θ=180°处相比圆孔的增加了 30%;由图 5(a)可知:处与处相比圆孔的增加了2.5%。由图5(b)可知:当l/R=10.0时，圆孔周边的动应力集中系数几乎不受夹杂存在的影响，此时问题可近似按单孔处理。可见水平孔心距越大孔边动应力的集中受夹杂的影响越小，这样的规律完全符合SH波散射的衰减特性。

图5 孔边动应力集中系数的分布Fig.5 Distribution of DSCF around circular cavity edge

4)图6 给出了h1/R=1.5，k1R=0.5=2.0，SH波入射角α=90°、及覆盖层厚度h2/R不同时，圆孔动应力集中系数在θ=0°处的变化情况。

图6 孔边动应力集中系数的分布Fig.6 Distribution of DSCF around circular cavity edge

由图6(a)可知:随覆盖层厚度的增加动应力集中系数的变化呈现出“周期”性，的逐渐变大引起动应力集中系数的变化幅度逐渐减小，变化频率逐渐增大，但的最大值没有明显变化;由图6(b)可知:夹杂在=5.0即刚性较大时，的最大值与图6(a)对比明显减小，缩减了50%多，但变化频率并没有被改变。

3 结论

利用复变函数法、波函数展开法及大圆弧假定法给出了平面SH波对圆形孔洞的散射的近似解析解。结果表明:

1)半无限空间中地表覆盖层、夹杂与浅埋孔洞之间存在强烈的相互作用，地表覆盖层刚度和厚度、夹杂的刚度及圆孔与夹杂孔心距的变化可显著改变浅埋圆孔周边动应力集中的分布。由此在工程实践中，必须对地表覆盖层及其他异物质的存在给予高度的重视。

2)本文只计算了地表覆盖层及夹杂的存在对圆孔周边动应力集中的影响，也可根据实际需要计算地表覆盖层及圆孔的存在对夹杂周边动应力集中的影响。还可以进一步探讨地面位移幅值的变化趋势和规律。

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