三角形中的“新定义线”

何君青

近些年来，全国各省市中考试卷中出现了一些创新型阅读题型，这些试题具有立意的鲜明性、背景的深刻性、情境的新颖性、设问的灵活性等特点.此类题让学生在考场上学习一个新概念、新名词，现学现卖，直接利用新知识解决相关问题，反映了学生对已有知识的掌握程度及应用能力.解决此类问题，不仅需要平时的积累，还要求学生具备较高的思维能力、探究问题能力和合情推理的能力，同时这类题又揭示出数学的本质，渗透数学的思想，发展学生的数学思维，折射出学生数学的发展，是“用数学”的直接体现，故成为中考数学的热点问题是必然趋势.

本文以2014年宁波市一道中考题入手，通过笔者将题目一系列的推广变化，让读者感受三角形中“新定义线”的魅力.1 三角形中的“三分线”

（2014年宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.

我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；

（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.

分析 本题考查了学生学习理解的能力及动手创新的能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形的相关知识，是一道锻炼学生能力的好题目.题目第一问中提到45°的角，很自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况，第二种情形可以考虑例子给出的方法，以一底角作为新等腰三角形的底角，另一底角被分为45°和225°，再以225°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形，即又一种三分线作法；第二问可先作出30°的角，而后确定D点位置，但要考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC，从而得x的值；第三问中因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，可得第一个等腰三角形.而后寻找是否存在三分线，根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程得到各线的长.endprint

近些年来，全国各省市中考试卷中出现了一些创新型阅读题型，这些试题具有立意的鲜明性、背景的深刻性、情境的新颖性、设问的灵活性等特点.此类题让学生在考场上学习一个新概念、新名词，现学现卖，直接利用新知识解决相关问题，反映了学生对已有知识的掌握程度及应用能力.解决此类问题，不仅需要平时的积累，还要求学生具备较高的思维能力、探究问题能力和合情推理的能力，同时这类题又揭示出数学的本质，渗透数学的思想，发展学生的数学思维，折射出学生数学的发展，是“用数学”的直接体现，故成为中考数学的热点问题是必然趋势.

本文以2014年宁波市一道中考题入手，通过笔者将题目一系列的推广变化，让读者感受三角形中“新定义线”的魅力.1 三角形中的“三分线”

（2014年宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.

我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；

（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.

分析 本题考查了学生学习理解的能力及动手创新的能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形的相关知识，是一道锻炼学生能力的好题目.题目第一问中提到45°的角，很自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况，第二种情形可以考虑例子给出的方法，以一底角作为新等腰三角形的底角，另一底角被分为45°和225°，再以225°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形，即又一种三分线作法；第二问可先作出30°的角，而后确定D点位置，但要考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC，从而得x的值；第三问中因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，可得第一个等腰三角形.而后寻找是否存在三分线，根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程得到各线的长.endprint

近些年来，全国各省市中考试卷中出现了一些创新型阅读题型，这些试题具有立意的鲜明性、背景的深刻性、情境的新颖性、设问的灵活性等特点.此类题让学生在考场上学习一个新概念、新名词，现学现卖，直接利用新知识解决相关问题，反映了学生对已有知识的掌握程度及应用能力.解决此类问题，不仅需要平时的积累，还要求学生具备较高的思维能力、探究问题能力和合情推理的能力，同时这类题又揭示出数学的本质，渗透数学的思想，发展学生的数学思维，折射出学生数学的发展，是“用数学”的直接体现，故成为中考数学的热点问题是必然趋势.

本文以2014年宁波市一道中考题入手，通过笔者将题目一系列的推广变化，让读者感受三角形中“新定义线”的魅力.1 三角形中的“三分线”

（2014年宁波）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法.

我们有多种剪法，图1是其中的一种方法：

定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线.

（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；

（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长.

分析 本题考查了学生学习理解的能力及动手创新的能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形的相关知识，是一道锻炼学生能力的好题目.题目第一问中提到45°的角，很自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况，第二种情形可以考虑例子给出的方法，以一底角作为新等腰三角形的底角，另一底角被分为45°和225°，再以225°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形，即又一种三分线作法；第二问可先作出30°的角，而后确定D点位置，但要考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C在同一直线上，易得2种三角形ABC，从而得x的值；第三问中因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，可得第一个等腰三角形.而后寻找是否存在三分线，根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程得到各线的长.endprint