深度开发习题，有效放飞思维

包永红

《义务教育数学课程标准》如约到达我们手上。新课标的解读工作如火如荼地开展。实施建议中指出：学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。解读到这里，使我想起了我曾经在课堂上处理习题时的一个教学片段：

习题原貌：

1、画一个长6厘米，宽4厘米的长方形。

（1）这个长方形的长和宽分别增加后12，各是多少厘米？先算一算，再画一画。（2）现在长方形的面积是多少平方厘米？现在的长方形的面积是原来的几分之几？

2、任意画一个长方形，再把长方形的长和宽分别增加12。先算出现在长方形的长和宽，再算出现在长方形的面积是原来的几分之几。

比较上面两题的计算结果，你有什么发现？

仔细分析，此题约160个字，信息量偏大，内容繁杂，大量的信息给学生理解题意设置了许多障碍。而且问题过于细化，题目由扶到放，由浅入深，步步为营，思维空间狭窄，学生按部就班的解决，没有真正获得自主探索的空间。于是，我将习题进行了改编。

习题新颜：

一个长方形的长与宽分别增加12，現在长方形的面积是原来的几分之几？（如果你觉得有困难，请完成习题集中第34页第3题）

课堂情形：

学生独立练习，3分钟后交流。

我问：谁来说说问题的答案？

生1：我知道，现在长方形的面积是原来的94。

师：同意的请举手。（全班有近20人同意）能说说你是怎样得到这个结果的吗？

生1继续说：我先举例，假设原来长方形的长是10厘米，宽是8厘米，它的面积是80平方厘米；长与宽分别增加12后，长与宽分别是15厘米和12厘米，面积是180平方厘米，现在长方形的面积是原来长方形的180÷80 =94。

师：很棒！ 方法合适，思维清晰。其他同学呢，你们是怎样想的？

生2：我也是举例的。但我假设长是6厘米，宽是4厘米，面积就是24平方厘米；长与宽分别增加12后，就是9厘米和6厘米，面积就是54平方厘米，现在的长方形的面积是原来长方形的54÷24 =94。

师：你们所举的数据不同，而结果却是相同的。对此你有没有受到什么启发？

生3：我想，长与宽不管是几，答案应该还是94。

师：很大胆的猜想，有没有办法证明？

生4：如果我假设长方形的长是a厘米，宽是b厘米，长与宽分别增加12后，就是32a厘米与32b厘米，现在长方形的面积就是94ab平方厘米，94ab÷ab=94。

师：多妙的想法！你用代数思想很好地验证了这个结论。举例的方法可以解决这个问题，还有别的方法吗？

生5：我是画图的。

师：那你能上来说说吗？

生5：我先画一个长方形，如果长增加12，我就把长平均分成2份，长增加了这样的1份，宽同样也是如此。这样，相当于把原来的长方形平均分成4份（如图1），图1图2现在的长方形就有这样的9份（如图2），现在的长方形的面积就是原来长方形的94。

同学们自觉得鼓起掌来。

师：掌声就是对你最大的肯定！同学们，你们能理解9份的来龙去脉吗？（大部分学生说能）

师：画图可以把较为抽象的数学信息直观化，这是数形结合的典型例子。当然，我知道还有部分同学结合习题中的具体要求也获得了成功。现在，让我们共同回忆一下解决这一问题用了哪些数学方法与思想？

生：我们用了举例与画图的方法。

生：我还知道了变与不变、数形结合的知识。

师：像这些举例与画示意图，我们可以称之为数学方法或策略，它是解决问题的关键。像代数表示法、变与不变、数形结合等，这些称之为数学思想，它是解决问题的灵魂。

师：那你们又分哪几个步骤完成的？

生：先假设原来长方形的长与宽，算出它们的面积，再求出现在的长与宽，算出现在长方形的面积，最后得出问题的答案。

……

后续思考：

一、思维反省，方法的提炼

在很多教学中，我们往往喜欢把解决问题作为教学的最终目标，当问题解决以后，此题的教学任务也随之结束。从知识层面来看，这无可厚非，但从学生的可持续发展来看，这是不完备的。

在解题的过程中，学生的思维很多时候处于具体形象阶段，思维层次较低，需要深入和提炼。而有些思维则带有一定的即时性，是感性经验的瞬时触发，如果不及时、有效地点击与回顾，这些尚不清晰地方法和步骤很有可能随着解题的结束而消逝，我们教师就失去了建构数学思想与方法的最佳时机。在刚才的教学片段中，两个学生通过两个不同的数据得出了同一个答案，此时学生的思维尚处于一种具体的形象思维阶段，还未抽象出结论。当老师追问：“我们所举的数据不同，而结果却相同。对此你有没有受到什么启发？”学生的思维顿时活跃起来，他们通过比较、猜想、抽象、概括，思维向纵深推进，由具体走向了抽象，得到了有效地拓展和提升。在解决完整个问题以后，我又一次组织学生反省解题过程，让学生回忆与梳理，提炼与概括这些即使的、感性的经验，使之系统化、条理化，进而让学生建构自己的数学方法和思想。

二、分层要求，全体的发展

此题的深度开发满足了部分学有余力学生的探究欲和成功欲，他们的思维能得到有效地开发。但如果就这样一改了之，对部分学困生来说会遇到较大的障碍，带来一些负面影响。这样的改编与“促进全体学生的发展”的理念不符。为保证全体学生的参与，在出示题目以后，我还做了具体的分层要求：如果你觉得有困难，请完成习题集中第34页第3题。在学生独立练习时，我发现有一部分学生打开了习题集，这些学生在题目的安排下顺利解决了问题。《数学课程标准》给我们的教学指明了方向，标准指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。不同的练习要求，既实现了教学的基础性，又较好的体现了发展性，今后的教学中，我们要经常尝试这样的处理，使教学素材适合、适当、适度又不失原意。

参考文献：

[1]《义务教育数学课程标准》