只教方法不说理，怎能获真知

周霞

高中数学教学中，教师在强调数学解题方法的同时，也不要忘记解释其中的数学道理。有些常用的方法，比如换元法，真正的重点是方法背后的数学概念或者原理，这才是教师应该讲明白的地方。否则，学生只是学会了解题套路，而不明白是为什么，很难培养起数学思维。现略举两例，与大家一起探讨。

一、换元背后的对应法则

人教B版高中《数学》（必修一）32页2.1.1函数

例3（1）：已知f（x）=x2，求f（x-1）

（2）：設f（x-1）=x2，求f（x）

此例题在讲授过程中出现的困难很多教师是有所体会的。很多学生知道解题套路，课本中也强调用换元法来解决，但是不少学生没有理解和明白其中的道理，只是学会了换元做题的方而已，对于解析式表现函数映射关系的理解不到位。

初中阶段学生已经学习了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时可以用学生已了解的函数，比如二次函数为例来加深学生对函数概念的认识。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理求值，求定义域。正如课本的例1、例2的设置，对应了进一步的巩固。此时，学生对于解析式法表现函数映射关系理解还是不到位的。所以在讲解例3时，不能仅仅强调换元法，而是从解析式反映函数的映射关系入手。

例3（1）：已知f（x）=x2，求f（x-1）

（2）：设f（x-1）=x2，求f（x）

（2）中不能把f（x-1）理解为x=x-1时的函数值，只能理解为自变量为x-1的函数值。也就是说，已知对应法则f下，定义域中的元素x-1的象是x2，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x-1的多项式。

f（x-1）=x2=（x-1）2+2（x-1）+1，再用x代x+1得f（x）=x2+2x+1

（2）换元（变量代换）：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x-1，则x=t+1∴f（t）=（t+1）2从而f（x）=x2+2x+1

换元法在以后的学习中有很多应用，我们应该让学生明白换元的目的。换元是方法，不是道理，教师应该讲明道理，再明确方法，这样才可以让学生深刻理解数学概念，慢慢培养学生的数学思维.

个人的粗浅建议，此例题要是放在后面的<2.1.2函数表示方法>里讲解，是不是更好些呢？

二、换元背后的同增异减原则

人教B版中高《数学》（必修四），第一章“三角函数”1.3.1正弦型函数，在巩固练习中有这样的题目：

求函数的单增区间

（1）y=sin2x （2）y=sin（2x-■）

（3）y=sin（-2x） （4）y=sin（■-2x）

学生在做前两个时，用整体换元，t=2x，t=2x-■，分别求不等式的解，可以得到正确结果。

解：（1）设t=2x，由题得

-■+2kπ≤2x≤■+2kπ，k∈z，

-■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，

所以函数的单增区间为[-■+kπ，■+kπ]，k∈z.

（2）设t=2x-■，由题得

-■+2kπ≤2x-■≤■+2kπ，k∈z，

-■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，

所以函数的单增区间为[-■+kπ，■+kπ]，k∈z.

可是，当很多学生用同样的整体换元解决后两个题目的时候，我却告诉学生错了。学生很纳闷，明明是用了整体换元，怎么又错了呢？我解释，此类题目是复合函数求单调区间问题，解题思路是必修一学习的同增异减原则。当时我们证明了同增异减的正确性，并且反复使用过多次，学生印象还是很深刻的。

后两个函数的内层函数都是一次函数，一次系数是-2，所以在R上单减，外层函数是正弦函数，所以，再整体换元求的增区间恰好反了，成了原函数的减区间。

正确解法如下：

（3）y=sin（-2x）=-sin2x，要求函数的单增区间，只需要解不等式■+2kπ≤2x≤■+2kπ，k∈z，-■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，所以函数的单增区间为[■+kπ，■+kπ]，k∈z.

（4）y=sin（■-2x）=-sin（2x-■），解不等式■+2kπ≤2x-■≤■+2kπ，k∈z，■+kπ≤x≤■+kπ，k∈z，所以函数的单增区间为[■+kπ，■+kπ]，k∈z.

学生明白了其中的道理，以后做题就会举一反三，不再盲目了。

最后，我们归结出求正弦型函数y=Asin（ωx+φ）单调区间的步骤：

1.先观察ω是否是正数，如果不是，就用诱导公式，把解析式等价变形，让x的系数成为正数；如果ω是正数，此步骤省略。

2.再看sin（|ω|x）前面的系数是否为正数，若是正数，就整体换元解不等式-■+2kπ≤|ω|x+φ≤■+2kπ，得原函数的单增区间；若是负数，就解不等式■+2kπ≤|ω|x+φ≤■+2kπ，得原函数的单增区间。

3.最后写成集合或区间形式，规范表达。

换元法是高中学习阶段经常使用的解题方法，每次使用，教师都要和学生探讨清楚原因，这样可以起到事半功倍的效果。