学情分析是数学教学的前提

赵绪昌

关注每一位学生的发展是新课程改革的核心理念.从学生发展的需要出发审视整个教学过程，真正了解学生的发展需要自然成为课堂教学的首要任务.学生是学习的主体，教学的出发点和归宿都应体现在学生身上，高效的教学离不开对学生的全面了解.只有了解学生、读懂学生，走进学生的心灵，我们的教学才能有的放矢，才能真正“以学论教”.我们想引领学生到我们想让他去的地方，那必须首先知道学生现在到底在哪里.这是一个不争的事实.我们想引领学生到另一个地方去，这会涉及三个问题，一是究竟想到哪里去.二是学生现在在哪里.三是怎样去.了解学生现在在哪里，就是了解学生学习的起点，怎样引领就是学生的学习方式，引领到哪里就是学生学习的目标.教师应尽可能从学生的“已知”、“未知”、“能知”、“想知”和“怎么知”等五个方面深入分析学生情况.（1）学生的“已知”是指学生已经具备的与本节内容学习相关的知识经验和能力水平等，明确这点很重要，它决定着学习起点的定位.（2）学生的“未知”是相对“已知”而言的，它包括学习应该达到的终极目标中所包含的未知知识，而且还包括实现终极目标之前，还要涉及学生所没有掌握的知识.（3）学生的“能知”是通过这节课教学，所任教班级的学生能达到怎么样的目标，它决定了学习终点（即学习目标）的定位.这是因材施教的基础.（4）学生的“想知”是指除教学目标规定的要求外，学生还希望知道哪些目标以外的东西（注：学生学习中，往往会通过提出疑问来体现“想知”.当然，学生的“想知”可能会超出教学目标或者学生认知水平.如果真是如此，课堂教学可以拓展，但建议给学生一个提示性的交待）.（5）学生的“怎么知”反映学生是如何进行数学学习的，它体现学生的认知风格和学习方法、习惯等.下面就“学情分析是数学教学的前提”举例说明.

1基于认知起点，确定教学生长点

案例1“几何概型”探究教学（普通高中课程标准实验教科书（苏教版数学必修3））

问题1：若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则从A中任取出一个数，这个数不大于3的概率是多少？

变式：若A=（0，9]，则从A中任意取出一个数，这个数不大于3的概率是多少？

问题2：取一根长为9米的彩带，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于3米的概率是多少？

问题3：某岛周围海域面积约为17万平方公里，若在此海域里有面积达01万平方公里的大陆架蕴藏着石油，假设在这个海域里任意选定一点钻探，则钻出石油的概率是多少？

问题4：有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出01升，求小杯水中含有这个细菌的概率？

教学随想美国著名心理学家奥斯贝尔曾经说过：“如果不得不将教育心理还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的最重要的原因是学生已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学.”遵循从“学生已经知道了什么”与“学生原有经验”出发进行教学，符合皮亚杰的“认识即是一种以主体已有的知识和经验为基础的主动的建构活动”的观点.案例中，通过设计问题串启发引导学生以真实的问题（学生头脑中真正存在的问题，是作为新知识固着点的问题）和真实的经验（学生头脑中已有的经验，是作为新知识生长点的经验）为基础，从已有的认知结构——古典概型出发，创设问题情境（设计合理的问题串），自然而然地引入新课——几何概型.通过问题1为学生的思维搭建好框架，通过变式来设置悬念，引导学生思考在A=（0，9]内到底有多少个数，A=（0，9]中不大于3的数又有多少呢？由此在思维层次上，尽可能减小思维落差，帮助学生从原有知识和经验中找到“支架”和“固着点”，激起学生的探究欲望.接着，围绕几何概型计算公式中的测度进行递进式设计，从线段（一维）到面积（二维）再到体积（三维），遵循学生的“最近发展区”和认知规律，教师与学生思维同步进行探究，这样学生才能真正体会、感受到数学所包含的深刻思维和丰富智慧，体验、享受探究的乐趣与魅力.

2关注学习需求，构建教学启发点

案例2“函数的奇偶性”的教学片断

师：请同学们回顾函数单调性的定义、单调区间及判断函数单调性的方法.

生：（略）.

师：很好！下面我们研究函数的第二个性质——奇偶性.

师：观察函数y=x2与y=1x的图象，它们有什么特征？

生：y=x2的图象关于y轴对称，y=1x的图象关于原点对称.

师：这两种对称的特点，反映在数量关系上，你能得出怎样的结论？先看函数y=x2.

生：对于y=x2，当自变量x取一对相反数时，y取同一值.记f（x）=y=x2，有f（-12）=f（12），f（-1）=f（1），…，一般地，有f（-x）=f（x）.

师：非常好，这表明：如果点（x，y）在函数y=x2的图象上，则该点关于y轴的对称点（-x，y）也在函数y=x2的图象上.下面请大家再来研究函数y=1x.

生：当自变量取一对相反数时，y亦取相反数.例如f（-12）=-f（12），f（-1）=-f（1），

…，一般地，有f（-x）=-f（x）.由此可以抽象出：如果点（x，y）在函数y=1x的图象上，则该点关于原点的对称点（-x，-y）也在函数y=1x的图象上.

教师启发学生，得出奇（偶）函数的定义.强调：①定义本身蕴涵着“函数的定义域必须关于原点对称”；②“定义域内任一个”是指对定义域内的每一个x；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再检查f（-x）=f（x）（或f（-x）=-f（x））是否成立.

教学随想课堂教学活动是在教师指导下有组织、有步骤、有计划的一项复杂的心理活动和智力活动.为了使数学课上得既生动又有效，教师就必须有课前的周密策划，即准确把握教材内容，全面了解学生的学习需求，有效开发教学的丰富资源.其中，学习的主体——学生的学习需求显得尤为重要.课堂教学中，只有努力满足学生的学习需求，激发学生的学习兴趣，使学生能够爱学、喜学和乐学，激活学生的认知活动，才能促使学生积极主动地参与教学过程.但是，教学实践中，许多教师在进行教学设计时，往往忽视对学习者学习需求的分析与研究，从而使课堂教学走向误区.上述设计在学生已经熟悉的函数单调性的基础上，从形和数相联系的角度出发，通过对两个特殊函数的研究，抽象出函数奇偶性的概念，体现了化陌生为熟悉和数形结合的数学思想，符合由熟悉到陌生、由特殊到一般、由直观到抽象的认知规律，整个过程，看似无懈可击.但是，如果我们站在以学生为本、为学习设计教学的高度进行深人地思考，就会提出这样的问题：为什么要研究函数的奇偶性？其意义何在，价值是什么？显然，教师在进行教学设计和教学实施时，只是站在教师教的角度，按照教师的主观意志组织活动，将教师的意图强加给学生，而无视学生的学习需求.

3寻找兴趣焦点，激活教学兴奋点

案例3“弧度制”的教学片断

在“弧度制”教学时，铃声一响，全班学生和听课的教师正襟而坐，静静等待任课教师开始上课.这时，只见教室门被推开，上课教师手拿一面折扇，不慌不忙地走上讲台，悠然而立，“刷”的一声打开折扇慢悠悠地摇动起来.学生及听课教师如坠雾里，满眼诧异：此时天气正冷，教师这是唱的哪一出呢？

正在大家莫名其妙之时，教师将扇子一举说：“同学们，请看这是什么图形啊？”学生大声回答：“扇形！”教师又问：“你会做扇形吗？”学生：“将圆剪出一部分.”教师又问：“如果要使做出的折扇更好看，应该怎么剪呢？”学生纷纷议论，有的迫不及待地开始动手实验，有的却无从下手.此时教师又说话了：“谁做的扇形好看，我们便把它叫做黄金扇！”听到此话，有的学生顿时惊醒：“黄金分割率”.教师会心一笑：“对，只要让你剪出的扇形面积和剩余部分的面积比值符合黄金比例即可，那么怎么求出扇形的面积，以及剪出扇形的圆心角应该是多少呢？学完本节课，希望同学们能够轻松地完成该任务.”

至此，听课教师才恍然大悟，原来如此！而学生的学习兴趣也被充分调动起来了，然后便开始了“弧度制”的学习.因为学习气氛热烈，效率大大提高，学生很轻松地掌握了弧度制的概念、弧长和扇形的面积公式.离下课还有五分钟时，教师又提出了新授课前的问题：“哪位同学能给出黄金扇形的圆心角的求法，

请上讲台来展示一下.”话音未落，一名学生

便走上讲台开始讲解：

如右图，假如设计纸扇的圆心角为θ，

则剩余部分的圆心角为2π-θ.而折扇

面积S1与剩余面积S2的比值为黄金比例

值0618.由扇形面积公式可得

S1S2=12γ2θ12γ2（2π-θ）=0.618，

则θ=0618（2π-θ），所以θ≈0.764π≈140°.

即只要纸扇的中心大约为140°时，该纸扇符合黄金比例，所以最好看.

教学随想数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程.教师在学生主动的建构过程中，应当成为学生学习的促进者.数学教学要获得成功，就必须想方设法启动学生的内驱力，将外在的教学目标转换为学生的心理需要，成为学生的学习目标.教师要充分分析了解学生的心理需求，学习兴趣，在数学教学设计中营造生动活泼的教学气氛，让学生经过体验、创造、争辩、反思、升华的过程，发挥自主性、主动性和创造性，激发学生的内在学习动机.只有当学生对所学的内容产生了兴趣，形成了内在的需要和动机，他才能具有达成目标的主动性，教学目标的实现才有保证，使学生由“要我学”转变为“我要学”.案例中，学生分析思路清晰，公式应用准确.本节课教师以满腔的热忱感染着学生，以高超的教学艺术引领着学生，其独特的教学风格和炉火纯青的教学艺术在本节课上得到了充分的体现，课堂设计情境前后照应，整堂课精彩纷呈，既让人精神愉悦又回味无穷，这真是：一把折扇贯始终，角度弧度在其中.奇思妙想巧点拨，学以致用标达成.

4分析学习难点，寻找教学突破点

案例4“椭圆的性质”的教学片断

师：有没有同学剪的椭圆纸板是不对称的？

生：没有！

师：是不是可以说任意的椭圆都是对称的呢？

生：必须证明.

师：用什么来表示任意一个椭圆？

生：椭圆的标准方程.

学生口述老师板书：求证椭圆x2a2+y2b2=1关于x轴对称.

证明：在椭圆上任取一点P（x0，y0），它关于x轴的对称点Q（x0，-y0），有x20a2+（-y0）2b2=x20a2+y20b2=1，则点Q（x0，-y0）也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称.同理椭圆关于y轴和原点对称.

师：从这一证明过程，你能根据曲线方程的形式快速判别曲线关于x轴、y轴和原点对称吗？

生：用-y代y方程不变，曲线关于x轴对称；用-x代x方程不变，曲线关于y轴对称；用-x代x，-y代y方程都不变，曲线关于原点对称.

师：如果一个曲线不关于y轴对称，如何判别？

生：举反例！

师：我们从椭圆标准方程x2a2+y2b2=1的角度还能看出椭圆具有哪些性质？大家讨论一下，然后小组交流.

生：椭圆有四个顶点……

生：椭圆上所有点的横纵坐标有范围……

生：存在一个大圆和一个小圆分别与椭圆外切和内切……

教学随想学习难点是指那些太抽象、离学生生活实际太远的、过程太复杂的、学生难于理解和掌握的知识、技能与方法.难点的形成主要有以下几个方面的原因：一是该知识远离学生的生活实际，学生缺乏相应的感性认识；二是该知识较为抽象，学生难以理解；三是该知识包含多个知识点，知识点过于集中；四是该知识与旧知识联系不大或旧知识掌握不牢或因大多数学生对与之联系的旧知识遗忘所致.因此，突破难点，关键在于对造成难点的原因进行分析，原因找准了，对症下药就不难了.案例中，“椭圆的性质”一课的学习难点是利用椭圆的标准方程去发现和证明椭圆的性质，把从具体实物中的发现上升到理论证明，由感性认识到理性思考，这是进行科学研究的必经之路，同时也体现了解析几何的本质：利用代数方法证明几何问题.这里通过教师的引导，精心设计一个个小问题，不断把学生的思维引向深入，把目光从具体的椭圆形状转移到它的方程上来，从直观判断到理性思考，找到了三种对称的本质.这样，不作出曲线同样能从它的方程判断其对称性，对曲线对称性的认识上升到一个新的高度，掌握了问题的本质特性.学生的思维象脱缰的野马，课堂气氛热烈，掀起了一个又一个高潮.学生深刻体会到：应该从曲线的方程去研究曲线的性质，这正是解析几何的本质所在.

5发现课堂意外，抓住教学生成点

案例5“直线的倾斜角与斜率”的教学片断

人教A版必修2“31直线的倾斜角与斜率”的教学

先创设教学情境，导出坐标法研究方式，预设进行两次探究，建立直线的倾斜角与斜率的概念.

探究1“一点能否确定一条直线”，通过几何画板的动画，观察过一点P作多条直线的区别，思考能不能用一个几何量描述直线的倾斜程度，然后引出倾斜角的概念；

探究2“还有什么量能描述直线的倾斜程度”，引导学生联系坡度比，给出斜率的概念，再导出两点间斜率公式.

笔者在引出探究1和观察后，给出这样一个思考：“能不能用一个几何量描述直线的倾斜程度？”教师的设计意图很明显，是想让学生用角来描述.但出人意料的事发生了，一位女同学站起来回答“可以用斜率描述”，学生的回答出乎了教师的预设.如何处理这一“生成性问题”？若按这位学生的回答展开教学，将打乱原先的教学设计；若是“听而不闻”，再让另一个学生回答，但这样处理势必影响这位学生学习的信心，并对她和其他学生的思维产生抑制，所以笔者没有中断她的回答，而是提出：

追问1“斜率是什么？”如果学生按照课本的定义回答斜率是倾斜角α的正切值，教师再追问倾斜角α是什么？自然将学生研究的视角引回到教学预设上来.但是学生的回答又一次出乎教师的预设，学生说“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直线上两点的坐标”.显然学生的回答使教师的教学预设又一次落空，再继续下去必然打乱之前的教学设计.

追问2“你是怎么获得的？”“书上有的”，学生们哄堂大笑.此时教师将k=y2-y1x2-x1板书，放弃了原先的教学设计.

追问3“我们说两点确定一条直线，对所有的直线都存在k吗？”让学生共同讨论，并结合几何画板演示，明确只要确定两点，当x1≠x2时都有k的存在.

追问4“我们能不能从几何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有没有表示倾斜特征的量？”

追问5“能不能用坡度（比）来表示倾斜程度呢？坡度（比）能满足我们研究直线的需要吗？它有哪些局限性？”引导学生回忆起坡度问题，通过坡度比与斜率的对比，不断完善斜率的概念.

追问6“所以我们有继续研究斜率k的必要，斜率k取值与P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有关吗？”通过几何画板，在点不断的运动过程中，引导学生理解“坡度”实际就是“α的正切值”，从而引入倾斜角的概念.

教学随想苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中作出相应的变动.”叶澜教授曾经充满诗情画意地说过，“课堂应该是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程.”学生作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、情感参与课堂教学，他们随时都有可能产生意外.教师需要摒弃固守原有的教学设计而不顾及形势的变化的观念，在课堂教学中随机而变，敏锐地发现一些生成点.案例中，学生的回答完全打乱了教师原先的教学设计，至少教学内容的呈现顺序被打乱了，但是教师却在学生“意外回答”中，通过与学生的对话，教师的“问”、“追问”、“进一步追问”，环环相扣、层层递进，指向教学目标，借助“坡度”概念强化斜率的概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义，发展学生对变量数学的认识，增强了课堂教学的有效性.由此说明，教学的技巧并不在于预见课堂中的所有细节，而在于面对“节外生枝”时，能润物细无声地做出巧妙的变动.这同样也是教师的“意外收获”.

“节外生枝”现象在课堂里并不少见，如何看待课堂教学的生成？首先，灵活处置“节外生枝”的内容.如果它与课堂教学内容无关，也无益于发展学生能力，教师可以婉转地告知学生课后再作交流讨论.如果“节外生枝”的内容是很好的一个生成点，对于学生的发展大有益处，那么教师就要把握住这个“枝”，顺藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正确看待预设的教学目标.课堂教学目标是为学生发展服务的，暂时未达成的教学目标可以在后面的教学中达成，不要过分强调一定要在本节课中实现.有经验的教师，也完全可以在生成的课堂中运用自己的智慧，更好地完成教学任务.

总之，教学实践中，是否进行深入的学情分析，常常对一节课的成败起决定性作用.所以教师要通过观察、问卷、谈话等形式进行调研，深入地了解学生.只有用真心去读学生，数学教学才会开创出一片新天地.

5发现课堂意外，抓住教学生成点

案例5“直线的倾斜角与斜率”的教学片断

人教A版必修2“31直线的倾斜角与斜率”的教学

先创设教学情境，导出坐标法研究方式，预设进行两次探究，建立直线的倾斜角与斜率的概念.

探究1“一点能否确定一条直线”，通过几何画板的动画，观察过一点P作多条直线的区别，思考能不能用一个几何量描述直线的倾斜程度，然后引出倾斜角的概念；

探究2“还有什么量能描述直线的倾斜程度”，引导学生联系坡度比，给出斜率的概念，再导出两点间斜率公式.

笔者在引出探究1和观察后，给出这样一个思考：“能不能用一个几何量描述直线的倾斜程度？”教师的设计意图很明显，是想让学生用角来描述.但出人意料的事发生了，一位女同学站起来回答“可以用斜率描述”，学生的回答出乎了教师的预设.如何处理这一“生成性问题”？若按这位学生的回答展开教学，将打乱原先的教学设计；若是“听而不闻”，再让另一个学生回答，但这样处理势必影响这位学生学习的信心，并对她和其他学生的思维产生抑制，所以笔者没有中断她的回答，而是提出：

追问1“斜率是什么？”如果学生按照课本的定义回答斜率是倾斜角α的正切值，教师再追问倾斜角α是什么？自然将学生研究的视角引回到教学预设上来.但是学生的回答又一次出乎教师的预设，学生说“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直线上两点的坐标”.显然学生的回答使教师的教学预设又一次落空，再继续下去必然打乱之前的教学设计.

追问2“你是怎么获得的？”“书上有的”，学生们哄堂大笑.此时教师将k=y2-y1x2-x1板书，放弃了原先的教学设计.

追问3“我们说两点确定一条直线，对所有的直线都存在k吗？”让学生共同讨论，并结合几何画板演示，明确只要确定两点，当x1≠x2时都有k的存在.

追问4“我们能不能从几何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有没有表示倾斜特征的量？”

追问5“能不能用坡度（比）来表示倾斜程度呢？坡度（比）能满足我们研究直线的需要吗？它有哪些局限性？”引导学生回忆起坡度问题，通过坡度比与斜率的对比，不断完善斜率的概念.

追问6“所以我们有继续研究斜率k的必要，斜率k取值与P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有关吗？”通过几何画板，在点不断的运动过程中，引导学生理解“坡度”实际就是“α的正切值”，从而引入倾斜角的概念.

教学随想苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中作出相应的变动.”叶澜教授曾经充满诗情画意地说过，“课堂应该是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程.”学生作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、情感参与课堂教学，他们随时都有可能产生意外.教师需要摒弃固守原有的教学设计而不顾及形势的变化的观念，在课堂教学中随机而变，敏锐地发现一些生成点.案例中，学生的回答完全打乱了教师原先的教学设计，至少教学内容的呈现顺序被打乱了，但是教师却在学生“意外回答”中，通过与学生的对话，教师的“问”、“追问”、“进一步追问”，环环相扣、层层递进，指向教学目标，借助“坡度”概念强化斜率的概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义，发展学生对变量数学的认识，增强了课堂教学的有效性.由此说明，教学的技巧并不在于预见课堂中的所有细节，而在于面对“节外生枝”时，能润物细无声地做出巧妙的变动.这同样也是教师的“意外收获”.

“节外生枝”现象在课堂里并不少见，如何看待课堂教学的生成？首先，灵活处置“节外生枝”的内容.如果它与课堂教学内容无关，也无益于发展学生能力，教师可以婉转地告知学生课后再作交流讨论.如果“节外生枝”的内容是很好的一个生成点，对于学生的发展大有益处，那么教师就要把握住这个“枝”，顺藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正确看待预设的教学目标.课堂教学目标是为学生发展服务的，暂时未达成的教学目标可以在后面的教学中达成，不要过分强调一定要在本节课中实现.有经验的教师，也完全可以在生成的课堂中运用自己的智慧，更好地完成教学任务.

总之，教学实践中，是否进行深入的学情分析，常常对一节课的成败起决定性作用.所以教师要通过观察、问卷、谈话等形式进行调研，深入地了解学生.只有用真心去读学生，数学教学才会开创出一片新天地.

5发现课堂意外，抓住教学生成点

案例5“直线的倾斜角与斜率”的教学片断

人教A版必修2“31直线的倾斜角与斜率”的教学

先创设教学情境，导出坐标法研究方式，预设进行两次探究，建立直线的倾斜角与斜率的概念.

探究1“一点能否确定一条直线”，通过几何画板的动画，观察过一点P作多条直线的区别，思考能不能用一个几何量描述直线的倾斜程度，然后引出倾斜角的概念；

探究2“还有什么量能描述直线的倾斜程度”，引导学生联系坡度比，给出斜率的概念，再导出两点间斜率公式.

笔者在引出探究1和观察后，给出这样一个思考：“能不能用一个几何量描述直线的倾斜程度？”教师的设计意图很明显，是想让学生用角来描述.但出人意料的事发生了，一位女同学站起来回答“可以用斜率描述”，学生的回答出乎了教师的预设.如何处理这一“生成性问题”？若按这位学生的回答展开教学，将打乱原先的教学设计；若是“听而不闻”，再让另一个学生回答，但这样处理势必影响这位学生学习的信心，并对她和其他学生的思维产生抑制，所以笔者没有中断她的回答，而是提出：

追问1“斜率是什么？”如果学生按照课本的定义回答斜率是倾斜角α的正切值，教师再追问倾斜角α是什么？自然将学生研究的视角引回到教学预设上来.但是学生的回答又一次出乎教师的预设，学生说“斜率k=y2-y1x2-x1，其中x1、y1，x2、y2表示直线上两点的坐标”.显然学生的回答使教师的教学预设又一次落空，再继续下去必然打乱之前的教学设计.

追问2“你是怎么获得的？”“书上有的”，学生们哄堂大笑.此时教师将k=y2-y1x2-x1板书，放弃了原先的教学设计.

追问3“我们说两点确定一条直线，对所有的直线都存在k吗？”让学生共同讨论，并结合几何画板演示，明确只要确定两点，当x1≠x2时都有k的存在.

追问4“我们能不能从几何角度研究k=y2-y1x2-x1？日常生活中，有没有表示倾斜特征的量？”

追问5“能不能用坡度（比）来表示倾斜程度呢？坡度（比）能满足我们研究直线的需要吗？它有哪些局限性？”引导学生回忆起坡度问题，通过坡度比与斜率的对比，不断完善斜率的概念.

追问6“所以我们有继续研究斜率k的必要，斜率k取值与P1（x1，y1），P2（x2，y2）先后有关吗？”通过几何画板，在点不断的运动过程中，引导学生理解“坡度”实际就是“α的正切值”，从而引入倾斜角的概念.

教学随想苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中作出相应的变动.”叶澜教授曾经充满诗情画意地说过，“课堂应该是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的风景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程.”学生作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、情感参与课堂教学，他们随时都有可能产生意外.教师需要摒弃固守原有的教学设计而不顾及形势的变化的观念，在课堂教学中随机而变，敏锐地发现一些生成点.案例中，学生的回答完全打乱了教师原先的教学设计，至少教学内容的呈现顺序被打乱了，但是教师却在学生“意外回答”中，通过与学生的对话，教师的“问”、“追问”、“进一步追问”，环环相扣、层层递进，指向教学目标，借助“坡度”概念强化斜率的概念，让学生体验数形结合思想和转化思想的意义，发展学生对变量数学的认识，增强了课堂教学的有效性.由此说明，教学的技巧并不在于预见课堂中的所有细节，而在于面对“节外生枝”时，能润物细无声地做出巧妙的变动.这同样也是教师的“意外收获”.

“节外生枝”现象在课堂里并不少见，如何看待课堂教学的生成？首先，灵活处置“节外生枝”的内容.如果它与课堂教学内容无关，也无益于发展学生能力，教师可以婉转地告知学生课后再作交流讨论.如果“节外生枝”的内容是很好的一个生成点，对于学生的发展大有益处，那么教师就要把握住这个“枝”，顺藤摸瓜，以取得意想不到的效果.其次，正确看待预设的教学目标.课堂教学目标是为学生发展服务的，暂时未达成的教学目标可以在后面的教学中达成，不要过分强调一定要在本节课中实现.有经验的教师，也完全可以在生成的课堂中运用自己的智慧，更好地完成教学任务.

总之，教学实践中，是否进行深入的学情分析，常常对一节课的成败起决定性作用.所以教师要通过观察、问卷、谈话等形式进行调研，深入地了解学生.只有用真心去读学生，数学教学才会开创出一片新天地.