浅析高等数学中导数的重要应用
2014-10-20邱进凌
邱进凌
摘 要：高等数学是我国高等教育中的一门公共基础文化课，而导数则在这门课程中发挥着承上启下的作用，是连接初等数学和高等数学的重要纽带，在整个高等数学教育中占据着很重要的位置，是高等教育中学习专业课的理论基础。本文主要介绍导数的定义及其在高等数学中的重要应用。
关键词：高等数学；导数；重要应用
高等数学把导数归纳为极限问题。只有极限问题的存在，导数才会成立。导数问题之后的积分数学习，其实就是求导数的逆运算。因此，导数在整个高等数学中发挥着承前启后的作用，学习好导数有助于学习好整个高等数学。简单来说，导数就是一个连续变量随着另一个连续变量发生变化形成的规律。导数就是质点做变速运动的瞬时速度的抽象表达，它对曲线上某一点处的切线斜率进行近似的表达，这使得导数具有了几何意义，这就是导数的概念。
一、导数的定义
导数的概念描述的逻辑性比较强，定义精准、严密、抽象，尤其是导数概念中的极限思想，更是不容易被理解。本文对导数定义的诠释借助了函数公式，意图把抽象概念具象化。
二、如何求导
1.利用定义求导
通过上面对导数定义的分析，可以发现导数具有一定的连续性，但是连续性可以推出导数是否可以导吗？通过下面例子，我们看一下函数在某个点连续，是否就是一定可导。
例如：判断y=|x-a|在x=a处能否可导。可以做出如下解：
由■x-a=0 ■a-x=0可以得出f（x）在x0处是连续的，
因此，f-′（a）=■■=-1 f+′（a）=■■=1
所以，只有当f-′（a）=f+′（a）时，f′（a）才会存在，在上述例子中，f′（a）就是不存在的。虽然求得函数f（x）在某处可以连续，但还是不一定可导。分辨清楚函数的连续性和可导性之间的关系，对于学习好导数是十分重要的。
2.简化求导
可以使用复合函数的计算法则求■导数，既方便又简单。例如：设y=■求y。
解一：y=（-1）×■（3x+1）-3·■/3x+1=-■（3x+1）-■
解二：y=（3x+1）-■，可得y=-■（3x+1）-■·3=-■（3x+1）-■
把简化求导和定义求导的方法作比较，不难发现简化求导在特定领域相对比较简单容易。
3.利用隐函数求导
利用隐函数求导也是求导方法中比较常用的一种，例如：
xy2-exy+2=0，那么求由方程确定的隐函数的导数。
解：两端同时对x求导
y2+2xyyx-exy（y+xyx）=0
可以得出■=■
三、导数的应用
1.最值的判断
闭区间的极值点处和端点处及时函数在闭区间例的最大值和最小值，极值点为f′（x）=0和f′（x）不存在的点。函数的最值判断要在求出极点和端点处的值，进行比较之后得出，最大者就是最大值，最小者就是最小值。
2.利用洛必达法则求极限
我们在求极限时，可以利用洛必达法则，但是需要注意的是原极限■■一定要满足■型或者■型的未定式，然后就可以为整个分式的分子和分母进行求导，可以得出■■，且F′（x）≠0，当■■无穷大或者存在时，它的值就与■■相同。
综上所述，学习好导数对于以后高等数学的学习有很大的帮助，学习导数等高等数学的目的不仅仅只是学会解题，还要掌握各种灵活运用的方法，更重要的是学会把它运用到实际生活、生产之中，解决各种类型的实际问题。本文用通俗简单的例子，对导数的定义和应用做了简单的介绍，希望可以帮助到大家的学习。
参考文献：
[1]张蕾.浅析高等数学中导数及导数的应用[J].才智，2014（9）：94.
[2]马真真.对导数概念及相关内容学习状况的调查研究[D].北京：首都师范大学，2013.
摘 要：高等数学是我国高等教育中的一门公共基础文化课，而导数则在这门课程中发挥着承上启下的作用，是连接初等数学和高等数学的重要纽带，在整个高等数学教育中占据着很重要的位置，是高等教育中学习专业课的理论基础。本文主要介绍导数的定义及其在高等数学中的重要应用。
关键词：高等数学；导数；重要应用
高等数学把导数归纳为极限问题。只有极限问题的存在，导数才会成立。导数问题之后的积分数学习，其实就是求导数的逆运算。因此，导数在整个高等数学中发挥着承前启后的作用，学习好导数有助于学习好整个高等数学。简单来说，导数就是一个连续变量随着另一个连续变量发生变化形成的规律。导数就是质点做变速运动的瞬时速度的抽象表达，它对曲线上某一点处的切线斜率进行近似的表达，这使得导数具有了几何意义，这就是导数的概念。
一、导数的定义
导数的概念描述的逻辑性比较强，定义精准、严密、抽象，尤其是导数概念中的极限思想，更是不容易被理解。本文对导数定义的诠释借助了函数公式，意图把抽象概念具象化。
二、如何求导
1.利用定义求导
通过上面对导数定义的分析，可以发现导数具有一定的连续性，但是连续性可以推出导数是否可以导吗？通过下面例子，我们看一下函数在某个点连续，是否就是一定可导。
例如：判断y=|x-a|在x=a处能否可导。可以做出如下解：
由■x-a=0 ■a-x=0可以得出f（x）在x0处是连续的，
因此，f-′（a）=■■=-1 f+′（a）=■■=1
所以，只有当f-′（a）=f+′（a）时，f′（a）才会存在，在上述例子中，f′（a）就是不存在的。虽然求得函数f（x）在某处可以连续，但还是不一定可导。分辨清楚函数的连续性和可导性之间的关系，对于学习好导数是十分重要的。
2.简化求导
可以使用复合函数的计算法则求■导数，既方便又简单。例如：设y=■求y。
解一：y=（-1）×■（3x+1）-3·■/3x+1=-■（3x+1）-■
解二：y=（3x+1）-■，可得y=-■（3x+1）-■·3=-■（3x+1）-■
把简化求导和定义求导的方法作比较，不难发现简化求导在特定领域相对比较简单容易。
3.利用隐函数求导
利用隐函数求导也是求导方法中比较常用的一种，例如：
xy2-exy+2=0，那么求由方程确定的隐函数的导数。
解：两端同时对x求导
y2+2xyyx-exy（y+xyx）=0
可以得出■=■
三、导数的应用
1.最值的判断
闭区间的极值点处和端点处及时函数在闭区间例的最大值和最小值，极值点为f′（x）=0和f′（x）不存在的点。函数的最值判断要在求出极点和端点处的值，进行比较之后得出，最大者就是最大值，最小者就是最小值。
2.利用洛必达法则求极限
我们在求极限时，可以利用洛必达法则，但是需要注意的是原极限■■一定要满足■型或者■型的未定式，然后就可以为整个分式的分子和分母进行求导，可以得出■■，且F′（x）≠0，当■■无穷大或者存在时，它的值就与■■相同。
综上所述，学习好导数对于以后高等数学的学习有很大的帮助，学习导数等高等数学的目的不仅仅只是学会解题，还要掌握各种灵活运用的方法，更重要的是学会把它运用到实际生活、生产之中，解决各种类型的实际问题。本文用通俗简单的例子，对导数的定义和应用做了简单的介绍，希望可以帮助到大家的学习。
参考文献：
[1]张蕾.浅析高等数学中导数及导数的应用[J].才智，2014（9）：94.
[2]马真真.对导数概念及相关内容学习状况的调查研究[D].北京：首都师范大学，2013.
摘 要：高等数学是我国高等教育中的一门公共基础文化课，而导数则在这门课程中发挥着承上启下的作用，是连接初等数学和高等数学的重要纽带，在整个高等数学教育中占据着很重要的位置，是高等教育中学习专业课的理论基础。本文主要介绍导数的定义及其在高等数学中的重要应用。
关键词：高等数学；导数；重要应用
高等数学把导数归纳为极限问题。只有极限问题的存在，导数才会成立。导数问题之后的积分数学习，其实就是求导数的逆运算。因此，导数在整个高等数学中发挥着承前启后的作用，学习好导数有助于学习好整个高等数学。简单来说，导数就是一个连续变量随着另一个连续变量发生变化形成的规律。导数就是质点做变速运动的瞬时速度的抽象表达，它对曲线上某一点处的切线斜率进行近似的表达，这使得导数具有了几何意义，这就是导数的概念。
一、导数的定义
导数的概念描述的逻辑性比较强，定义精准、严密、抽象，尤其是导数概念中的极限思想，更是不容易被理解。本文对导数定义的诠释借助了函数公式，意图把抽象概念具象化。
二、如何求导
1.利用定义求导
通过上面对导数定义的分析，可以发现导数具有一定的连续性，但是连续性可以推出导数是否可以导吗？通过下面例子，我们看一下函数在某个点连续，是否就是一定可导。
例如：判断y=|x-a|在x=a处能否可导。可以做出如下解：
由■x-a=0 ■a-x=0可以得出f（x）在x0处是连续的，
因此，f-′（a）=■■=-1 f+′（a）=■■=1
所以，只有当f-′（a）=f+′（a）时，f′（a）才会存在，在上述例子中，f′（a）就是不存在的。虽然求得函数f（x）在某处可以连续，但还是不一定可导。分辨清楚函数的连续性和可导性之间的关系，对于学习好导数是十分重要的。
2.简化求导
可以使用复合函数的计算法则求■导数，既方便又简单。例如：设y=■求y。
解一：y=（-1）×■（3x+1）-3·■/3x+1=-■（3x+1）-■
解二：y=（3x+1）-■，可得y=-■（3x+1）-■·3=-■（3x+1）-■
把简化求导和定义求导的方法作比较，不难发现简化求导在特定领域相对比较简单容易。
3.利用隐函数求导
利用隐函数求导也是求导方法中比较常用的一种，例如：
xy2-exy+2=0，那么求由方程确定的隐函数的导数。
解：两端同时对x求导
y2+2xyyx-exy（y+xyx）=0
可以得出■=■
三、导数的应用
1.最值的判断
闭区间的极值点处和端点处及时函数在闭区间例的最大值和最小值，极值点为f′（x）=0和f′（x）不存在的点。函数的最值判断要在求出极点和端点处的值，进行比较之后得出，最大者就是最大值，最小者就是最小值。
2.利用洛必达法则求极限
我们在求极限时，可以利用洛必达法则，但是需要注意的是原极限■■一定要满足■型或者■型的未定式，然后就可以为整个分式的分子和分母进行求导，可以得出■■，且F′（x）≠0，当■■无穷大或者存在时，它的值就与■■相同。
综上所述，学习好导数对于以后高等数学的学习有很大的帮助，学习导数等高等数学的目的不仅仅只是学会解题，还要掌握各种灵活运用的方法，更重要的是学会把它运用到实际生活、生产之中，解决各种类型的实际问题。本文用通俗简单的例子，对导数的定义和应用做了简单的介绍，希望可以帮助到大家的学习。
参考文献：
[1]张蕾.浅析高等数学中导数及导数的应用[J].才智，2014（9）：94.
[2]马真真.对导数概念及相关内容学习状况的调查研究[D].北京：首都师范大学，2013.
