高中数学中的“铁三角”

王新明

在高中化学中，我们知道Fe、Fe3+、Fe2+是铁哥们——“铁三角”关系.其实，在高中数学中，也有这样的“铁三角”——一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式.它们之间唇齿相依.本文撷取几例进行分析.

例1二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则不等式ax2+bx+c>0的解集是.

分析本题常规思路是先求出二次函数的表达式，再解不等式，但如果我们能抓住它们之间的联系，则可使问题的解决简短明快.我们根据表格中所给出的信息不难得到二次函数的图象开口向上，且图象和x轴的两个交点为（-2，0）和（3，0），而要解不等式ax2+bx+c>0，实际上就是要求相应的二次函数值为正（图象在x轴上方）时所对应的自变量x的取值范围.结合二次函数的图象可得不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x>3或x<-2}.

例2若关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0的解集为R，求a的取值范围.

分析由于该不等式二次项系数含有字母，属于假二次不等式，我们应分类讨论.

（1）当a2-1=0时，即a=1或-1.若a=1，原不等式即为-1<0，解集为R；若a=-1，原不等式即为2x-1<0，解集为{x|x<12}，不合题意.（2）当a2-1≠0时，原不等式的解集为R就等价于相应的二次函数y=（a2-1）x2-（a-1）x-1的函数值恒小于0（图象恒在x轴下方），所以便有a2-1<0，Δ<0.解得-35

综合（1）（2）得a的取值范围是-35

例3已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12}，求不等式ax2-bx+c>0的解集.

分析由题意知-2，-12是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标且a<0，也是二次方程ax2+bx+c=0的两个根，故有a<0，-2+（-12）=-ba-2×（-12）=ca，，即a<0，b=52ac=a.，则不等式ax2-bx+c>0可化为ax2-52ax+a>0.因为a<0，所以2x2-5x+2<0，即120的解集为{x|12

例4设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0

分析由于方程的根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标，利用这一关系可使本题迎刃而解.

在高中化学中，我们知道Fe、Fe3+、Fe2+是铁哥们——“铁三角”关系.其实，在高中数学中，也有这样的“铁三角”——一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式.它们之间唇齿相依.本文撷取几例进行分析.

例1二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则不等式ax2+bx+c>0的解集是.

分析本题常规思路是先求出二次函数的表达式，再解不等式，但如果我们能抓住它们之间的联系，则可使问题的解决简短明快.我们根据表格中所给出的信息不难得到二次函数的图象开口向上，且图象和x轴的两个交点为（-2，0）和（3，0），而要解不等式ax2+bx+c>0，实际上就是要求相应的二次函数值为正（图象在x轴上方）时所对应的自变量x的取值范围.结合二次函数的图象可得不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x>3或x<-2}.

例2若关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0的解集为R，求a的取值范围.

分析由于该不等式二次项系数含有字母，属于假二次不等式，我们应分类讨论.

（1）当a2-1=0时，即a=1或-1.若a=1，原不等式即为-1<0，解集为R；若a=-1，原不等式即为2x-1<0，解集为{x|x<12}，不合题意.（2）当a2-1≠0时，原不等式的解集为R就等价于相应的二次函数y=（a2-1）x2-（a-1）x-1的函数值恒小于0（图象恒在x轴下方），所以便有a2-1<0，Δ<0.解得-35

综合（1）（2）得a的取值范围是-35

例3已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12}，求不等式ax2-bx+c>0的解集.

分析由题意知-2，-12是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标且a<0，也是二次方程ax2+bx+c=0的两个根，故有a<0，-2+（-12）=-ba-2×（-12）=ca，，即a<0，b=52ac=a.，则不等式ax2-bx+c>0可化为ax2-52ax+a>0.因为a<0，所以2x2-5x+2<0，即120的解集为{x|12

例4设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0

分析由于方程的根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标，利用这一关系可使本题迎刃而解.

在高中化学中，我们知道Fe、Fe3+、Fe2+是铁哥们——“铁三角”关系.其实，在高中数学中，也有这样的“铁三角”——一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式.它们之间唇齿相依.本文撷取几例进行分析.

例1二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如下表：

x-3-2-101234

y60-4-6-6-406

则不等式ax2+bx+c>0的解集是.

分析本题常规思路是先求出二次函数的表达式，再解不等式，但如果我们能抓住它们之间的联系，则可使问题的解决简短明快.我们根据表格中所给出的信息不难得到二次函数的图象开口向上，且图象和x轴的两个交点为（-2，0）和（3，0），而要解不等式ax2+bx+c>0，实际上就是要求相应的二次函数值为正（图象在x轴上方）时所对应的自变量x的取值范围.结合二次函数的图象可得不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x>3或x<-2}.

例2若关于x的不等式（a2-1）x2-（a-1）x-1<0的解集为R，求a的取值范围.

分析由于该不等式二次项系数含有字母，属于假二次不等式，我们应分类讨论.

（1）当a2-1=0时，即a=1或-1.若a=1，原不等式即为-1<0，解集为R；若a=-1，原不等式即为2x-1<0，解集为{x|x<12}，不合题意.（2）当a2-1≠0时，原不等式的解集为R就等价于相应的二次函数y=（a2-1）x2-（a-1）x-1的函数值恒小于0（图象恒在x轴下方），所以便有a2-1<0，Δ<0.解得-35

综合（1）（2）得a的取值范围是-35

例3已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12}，求不等式ax2-bx+c>0的解集.

分析由题意知-2，-12是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标且a<0，也是二次方程ax2+bx+c=0的两个根，故有a<0，-2+（-12）=-ba-2×（-12）=ca，，即a<0，b=52ac=a.，则不等式ax2-bx+c>0可化为ax2-52ax+a>0.因为a<0，所以2x2-5x+2<0，即120的解集为{x|12

例4设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0

分析由于方程的根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标，利用这一关系可使本题迎刃而解.