立体几何教学中培养学生解题反思能力的研究

彭春梅

立体几何是高中数学的一个重要内容，也是学生学习的难点之一。从2007年至2012年全国高考数学试卷来看，每年高考试卷都会至少出现三道立体几何题（选择、填空、解答各一题）共22分，但根据统计，以2012年高考为例，立体几何大题满分12分，理科的平均分是3.33分，文科是2.98分，得分率在整个广西都比较低，说明立体几何的解题能力特别是解答题存在很大问题。如何解决立体几何解题的困难呢？笔者在平时立体几何教学过程中发现很多学生都是在盲目地机械做题，老师反复讲的题型拿在手上还是不懂如何入手，究其原因是学生没有把立体几何相关的公理定理理解好，题型的方法没有真正吃透，只是生搬硬套。解决这些问题需要在立体几何解题教学中培养学生解题反思能力。荷兰数学家与数学教育家弗赖登塔尔认为，“反思是数学思维活动的核心与动力”，反思是数学创新思维发生的必要条件。那么，怎样才能培养学生立体几何解题反思能力呢？ 本人结合立体几何教学经验进行了如下几方面的探讨。

一、立体几何定理公理教学中培养学生的反思能力

立体几何里面的重要的公理定理很多，能不能理解好它是能不能用于解立体几何题的关键，很多学生对于公理定理多半都是停留在机械记忆和想当然的层面上，很少学生会反思公理定理的本质反应的是什么，是用于解决什么问题才用的，所以导致很多学生公理定理记住了但是不懂怎么用。以面面垂直的判定定理为例，一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。学生都知道这个定理是用于证明面面垂直的，但是怎么用？定理的实质是什么？这需要教师在教学时引导学生挖掘定理的内涵和外延，让学生用自己的语言来理解，即要证明两个平面垂直就要证明在这两个平面中的一个面内有一条直线和另一个平面垂直，或者先找出一个平面的垂直再使得另外一个平面经过这条线。由此培养学生对概念公理定理的反思能力，以便更好的运用它来解题。

二、通过立体几何题专题课总结概括反思数学思想方法，举一反三

在实际解题过程中，学生总是根据问题的具体情景来决定解题方法，这种方法就要受具体情景的制约。如果不对它进行提炼、概括，它的适用范围就有局限，不易产生迁移。因此应在解题后让学生反思解题过程，分析具体方法中包含的数学思想方法。在反思问题设计时，应该考虑让学生对具体方法进行再加工，提出提炼数学思想方法的任务。这样可以把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为一个学习过程，从而提高学生分析问题、解决问题的能力，达到融会贯通的境界。

教学片断：

（1）开门见山，展示例题

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求点B1到截面BDC1的距离。

（2）协作交流，探究问题的基本解法

师：求点面距离的实质是什么呢？

生：过该点向所求平面作垂线，垂足与该点的线段长度就是点到面。

师：过点向所求平面作垂线，可以从哪里着手？

生：垂足位置。

师：垂足的具体位置在哪里？请同学们思考。

（学生纷纷拿出纸笔画出了立体图形）

师：（几分钟后）同学们找到了垂足的具体位置没有？

生：在平面BDC1与平面BCC1B1的交线上。

师：为什么？

生：根据面面垂直的性质可以知道。

（3）穷追不舍，反思问题的其他解法

师：解决一个问题的关键是要找到问题的突破口，上面的解法是从垂足位置着手，那么能否避开垂足位置从别的地方着手呢？

（学生思考，沉默。）

师：（趁热打铁提示学生）我们所学知识里面还有哪个只是含有点到面距离的？

生：体积。

师：可是求体积没有方程怎么解出高？

生：三棱锥不管用那个点为顶点体积不变即VB1-BDC1=VC1BDB1即可找到答案。

（众生顿悟：原来点面距离未必要找出垂足位置。）

（5）回顾反思，总结解题方法

师：让我们来总结一下，求点面距离有哪几种方法？

生：等积变换法。

师：等积变换法的好处是什么？

生：可以避免寻找垂足位置。

师：如果要寻找垂足位置，有什么方法可帮助我们寻找。

生：寻找已知平面的垂直平面。

师：能给这个方法起个名字吗？

生：叫垂面法吧！

师：如果我的问题不是问点B1到面BDC1的距离，而是问B1B与面BDC1的角，怎么求？线面角的实质是什么？

生：根据线面角的定义只要求出斜线段长和斜线段上一点到面的距离即可。

师：那和我们上面求点到面的距离有什么联系？

生：实质是一样的，关键都是点面距离。

师：很好，著名数学家、教育家波利亚说过：“如果没有反思，他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面。”因此，我们在解决一个问题时，要从多角度分析，多方面反思，这样就可以举一反三提高解立体几何题的能力了。

3.还课堂给学生，让他们有反思的时间和空间。

上立体几何课，教师往往感觉到没有讲多少个题就下课了，时间很紧，既要画图又要分析，手忙脚乱。学生也是听得一头雾水，收获甚小，还没有领会这个题目的思想方法是什么，就已经结束了。从上面的教学片断看，笔者留给了学生思考的时间和空间，让学生理解了方法的本质，归纳了解此类题的方法，发散了另外的一类题型，最后又回到此题的本质上来，这便使得学生真正掌握了点面距离线面角这两类题型，把课堂真正还给学生，从而让他们有反思的时间与空间。

4.加强对学生反思活动的监督。

在培养学生解题反思的过程中，教师还要对学生学习的实际情况进行适当的监督，这也是培养学生解题反思能力过程中不可或缺的一环。例如在笔者的实际教学过程中，精心挑选课后作业进行批改，在讲评的时候把学生不同的做法进行展示，归纳总结，完成后要求学生必须定期就自己的解题反思过程用日记、错题本或者其他形式记录下来并定期检查。后来的实践结果证明这种方式收到了非常好的效果，学生再遇到类似问题时的出错率大大降低，学生的立体几何解题能力也得到了较大的提高。

总之，数学的习题千变万化，在教学过程中，教师要善于引导学生作题后反思，让学生在解题反思中领悟数学思想方法、数学文化与数学精神，优化解题方法，提高能力。

参考文献

[1]吴开朗等.论汉斯·弗赖登塔尔的数学教育观[J].数学教育学报，1995（8）.

[2]周海川.反思性学习能力在数学教学中的培养途径[J].基础教育研究，2005（8）.

[3]陶兴模.注重培养学生解题后反思的习惯[J].中学数学月刊，2002（2）.

[4]俞成刚.对高中数学解题反思的几点看法[J].考试周刊，2009（41）.

（责任编辑韦淑红）endprint