浅谈转化思想在高中数学解题中的应用

杜素丽

数学学习不仅要熟练掌握基础知识，更要重视对数学思想方法的学习，数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁。在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本、最重要的思想方法，在中学数学学习中占有很重要的地位。数学学习中的转化思想，就是要把新的知识转化成已经学过的知识，把较为复杂的知识转化为简单的知识，从而解决问题。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴涵着重要的数学思想方法，其中“转化思想”是中学数学思想方法的重要思想之一。

转化思想的本质特征是知识和方法的迁移，转化思想可以减化运算、开拓思路，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。新课标下高中数学衔接上呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生学习不适应现象突出，困难重重，师生更应该强化数学思想方法，重视思想方法的教学与应用，只有从思想方法入手，才能教会学生如何学习数学。下面就转化思想在高中数学教学中的应用浅谈几点做法。

一、圆锥曲线中的转化思想

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是学习高等数学的基础，当然也是高考命题的热点——高考数学对圆锥曲线的考查比例通常远远超过了其他知识板块。近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考查学生逻辑推理能力、运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力。圆锥曲线主要以下三类题型。

1.求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力。

2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确地构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

3.直线与圆锥曲线的综合例如，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为■+y■=1，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为2ρcos（θ+■）=3■。求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值。

解析：椭圆■+y■=1的参数方程为x=■cosθy=sinθ，（θ为参数），直线的普通方程为x-■y-3■=0，椭圆上点P（■cosθ，sinθ）到直线的距离d=■=■，转化为三角函数求最值问题，最大值为2■，最小值为■。

圆锥曲线的选择、填空题思路大多数是应用定义转化。在抛物线中若条件是点到焦点距离，就要转化成点到准线距离，而条件是点到准线距离，就要转化成点到焦点距离；在椭圆或双曲线中，点到左焦点的距离与点到右焦点的距离可以互化。当遇到椭圆内求最值问题时，也可利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值问题。

二、导数中的转化思想

高中数学的函数问题内容多而繁，性质复杂且比较抽象，因而很多学生对函数知识的考查极为畏惧，转化是解决导数问题的重要策略，特别是对于难度比较大的导数问题，更加彰显了转化思想的强大功能。

例如，已知函数f（x）=x■■+alnx，（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围。解析：（2）导函数的正负决定了原函数的增减，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是单调增函数，则g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通过构造新函数F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值来确定实数a的取值范围。

在导数习题中，“恒成立问题”与“存在问题”是两类常见题型。a≥f（x）在定义域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定义域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0属于定义域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0属于定义域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。将导数中的“恒成立问题”与“存在问题”转化为求最值问题，避免对含参不等式的讨论，简化运算，是一种很实用的解题方法。

又如，已知f（x）是定义（-∞，+∞）在上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因为不等式f'（x）-f（x）<0，构造新函数F（x）=■。通过新函数在定义域上为减函数来比较大小。

当题目中出现与有关的式子且又无法判断的正负时，需要变换条件形式构造新函数，让新函数的导数符合题目中所给条件，通过新函数的单调性来解不等式或比较大小。

三、解三角形中的转化思想

解三角形一直是高考数学中的热点内容之一，对它的考查也是灵活多样，但在近几年的高考试题中，几乎都可以运用正、余弦定理进行边角互换，这不仅是高考的一个重点也是一个难点，更是转化思想的灵活运用。

例如，ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，则■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R进行边角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的问题中，若条件出现边a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的关系时，只要等式两边a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次数相同，就可以通过正弦定理直接把a、b、c（或sinA、sinB、sinC）替换成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若条件出现sinA、sinB、sinC时，可以通过余弦定理替换成边a、b、c的关系。

俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔。”中学数学思想方法就是钓鱼的杆，捕鱼的网。在高中数学教学中，教师要引导学生将复杂的知识转化为简单的知识，将未知的知识转化为已知的知识，不断培养和训练学生自觉的转化意识，强化转化思想在解题中的应用，提高学生在解决数学问题中的独立思考能力、应变能力、思维能力和解题的技能、技巧。

（责编 田彩霞）

数学学习不仅要熟练掌握基础知识，更要重视对数学思想方法的学习，数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁。在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本、最重要的思想方法，在中学数学学习中占有很重要的地位。数学学习中的转化思想，就是要把新的知识转化成已经学过的知识，把较为复杂的知识转化为简单的知识，从而解决问题。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴涵着重要的数学思想方法，其中“转化思想”是中学数学思想方法的重要思想之一。

转化思想的本质特征是知识和方法的迁移，转化思想可以减化运算、开拓思路，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。新课标下高中数学衔接上呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生学习不适应现象突出，困难重重，师生更应该强化数学思想方法，重视思想方法的教学与应用，只有从思想方法入手，才能教会学生如何学习数学。下面就转化思想在高中数学教学中的应用浅谈几点做法。

一、圆锥曲线中的转化思想

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是学习高等数学的基础，当然也是高考命题的热点——高考数学对圆锥曲线的考查比例通常远远超过了其他知识板块。近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考查学生逻辑推理能力、运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力。圆锥曲线主要以下三类题型。

1.求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力。

2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确地构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

3.直线与圆锥曲线的综合例如，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为■+y■=1，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为2ρcos（θ+■）=3■。求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值。

解析：椭圆■+y■=1的参数方程为x=■cosθy=sinθ，（θ为参数），直线的普通方程为x-■y-3■=0，椭圆上点P（■cosθ，sinθ）到直线的距离d=■=■，转化为三角函数求最值问题，最大值为2■，最小值为■。

圆锥曲线的选择、填空题思路大多数是应用定义转化。在抛物线中若条件是点到焦点距离，就要转化成点到准线距离，而条件是点到准线距离，就要转化成点到焦点距离；在椭圆或双曲线中，点到左焦点的距离与点到右焦点的距离可以互化。当遇到椭圆内求最值问题时，也可利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值问题。

二、导数中的转化思想

高中数学的函数问题内容多而繁，性质复杂且比较抽象，因而很多学生对函数知识的考查极为畏惧，转化是解决导数问题的重要策略，特别是对于难度比较大的导数问题，更加彰显了转化思想的强大功能。

例如，已知函数f（x）=x■■+alnx，（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围。解析：（2）导函数的正负决定了原函数的增减，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是单调增函数，则g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通过构造新函数F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值来确定实数a的取值范围。

在导数习题中，“恒成立问题”与“存在问题”是两类常见题型。a≥f（x）在定义域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定义域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0属于定义域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0属于定义域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。将导数中的“恒成立问题”与“存在问题”转化为求最值问题，避免对含参不等式的讨论，简化运算，是一种很实用的解题方法。

又如，已知f（x）是定义（-∞，+∞）在上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因为不等式f'（x）-f（x）<0，构造新函数F（x）=■。通过新函数在定义域上为减函数来比较大小。

当题目中出现与有关的式子且又无法判断的正负时，需要变换条件形式构造新函数，让新函数的导数符合题目中所给条件，通过新函数的单调性来解不等式或比较大小。

三、解三角形中的转化思想

解三角形一直是高考数学中的热点内容之一，对它的考查也是灵活多样，但在近几年的高考试题中，几乎都可以运用正、余弦定理进行边角互换，这不仅是高考的一个重点也是一个难点，更是转化思想的灵活运用。

例如，ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，则■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R进行边角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的问题中，若条件出现边a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的关系时，只要等式两边a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次数相同，就可以通过正弦定理直接把a、b、c（或sinA、sinB、sinC）替换成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若条件出现sinA、sinB、sinC时，可以通过余弦定理替换成边a、b、c的关系。

俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔。”中学数学思想方法就是钓鱼的杆，捕鱼的网。在高中数学教学中，教师要引导学生将复杂的知识转化为简单的知识，将未知的知识转化为已知的知识，不断培养和训练学生自觉的转化意识，强化转化思想在解题中的应用，提高学生在解决数学问题中的独立思考能力、应变能力、思维能力和解题的技能、技巧。

（责编 田彩霞）

数学学习不仅要熟练掌握基础知识，更要重视对数学思想方法的学习，数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛应用于相关学科和社会生活中。数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁。在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题时经常采用的一种方法，它也是一种最基本、最重要的思想方法，在中学数学学习中占有很重要的地位。数学学习中的转化思想，就是要把新的知识转化成已经学过的知识，把较为复杂的知识转化为简单的知识，从而解决问题。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴涵着重要的数学思想方法，其中“转化思想”是中学数学思想方法的重要思想之一。

转化思想的本质特征是知识和方法的迁移，转化思想可以减化运算、开拓思路，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。新课标下高中数学衔接上呈现“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点，学生学习不适应现象突出，困难重重，师生更应该强化数学思想方法，重视思想方法的教学与应用，只有从思想方法入手，才能教会学生如何学习数学。下面就转化思想在高中数学教学中的应用浅谈几点做法。

一、圆锥曲线中的转化思想

圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是学习高等数学的基础，当然也是高考命题的热点——高考数学对圆锥曲线的考查比例通常远远超过了其他知识板块。近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考查学生逻辑推理能力、运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力。圆锥曲线主要以下三类题型。

1.求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考查学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力。

2.与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确地构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。

3.直线与圆锥曲线的综合例如，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为■+y■=1，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为2ρcos（θ+■）=3■。求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值。

解析：椭圆■+y■=1的参数方程为x=■cosθy=sinθ，（θ为参数），直线的普通方程为x-■y-3■=0，椭圆上点P（■cosθ，sinθ）到直线的距离d=■=■，转化为三角函数求最值问题，最大值为2■，最小值为■。

圆锥曲线的选择、填空题思路大多数是应用定义转化。在抛物线中若条件是点到焦点距离，就要转化成点到准线距离，而条件是点到准线距离，就要转化成点到焦点距离；在椭圆或双曲线中，点到左焦点的距离与点到右焦点的距离可以互化。当遇到椭圆内求最值问题时，也可利用椭圆的参数方程转化为三角函数求最值问题。

二、导数中的转化思想

高中数学的函数问题内容多而繁，性质复杂且比较抽象，因而很多学生对函数知识的考查极为畏惧，转化是解决导数问题的重要策略，特别是对于难度比较大的导数问题，更加彰显了转化思想的强大功能。

例如，已知函数f（x）=x■■+alnx，（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围。解析：（2）导函数的正负决定了原函数的增减，若g（x）=f（x）+■在[1，+∞）上是单调增函数，则g'（x）=2x+■-■≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥■-2x■.通过构造新函数F（x）=■-2x■，求F（x）在x∈[1，+∞）上的最大值来确定实数a的取值范围。

在导数习题中，“恒成立问题”与“存在问题”是两类常见题型。a≥f（x）在定义域上恒成立，即a≥f（x）的最大值；a≤f（x）在定义域上恒成立，即a≤f（x）的最小值。若存在x0属于定义域，a≥f（x0）成立，即a≥f（x）的最小值；若存在x0属于定义域，a≤f（x0）成立，即a≤f（x）的最大值。将导数中的“恒成立问题”与“存在问题”转化为求最值问题，避免对含参不等式的讨论，简化运算，是一种很实用的解题方法。

又如，已知f（x）是定义（-∞，+∞）在上的函数，导函数f'（x）满足f'（x）

A.f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0）

B.f（2）e2012f（0）

C.f（2）>e2f（0），f（2012）

D.f（2）

解析：因为不等式f'（x）-f（x）<0，构造新函数F（x）=■。通过新函数在定义域上为减函数来比较大小。

当题目中出现与有关的式子且又无法判断的正负时，需要变换条件形式构造新函数，让新函数的导数符合题目中所给条件，通过新函数的单调性来解不等式或比较大小。

三、解三角形中的转化思想

解三角形一直是高考数学中的热点内容之一，对它的考查也是灵活多样，但在近几年的高考试题中，几乎都可以运用正、余弦定理进行边角互换，这不仅是高考的一个重点也是一个难点，更是转化思想的灵活运用。

例如，ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=■a，则■=

解析：利用正弦定理■=■=■=2R进行边角互化，sinAsinAsinB+sinBcos■A=■sinA。

在解三角形的问题中，若条件出现边a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的关系时，只要等式两边a、b、c（或sinA、sinB、sinC）的次数相同，就可以通过正弦定理直接把a、b、c（或sinA、sinB、sinC）替换成sinA、sinB、sinC（或a、b、c）。若条件出现sinA、sinB、sinC时，可以通过余弦定理替换成边a、b、c的关系。

俗话说：“授之以鱼，不如授之以渔。”中学数学思想方法就是钓鱼的杆，捕鱼的网。在高中数学教学中，教师要引导学生将复杂的知识转化为简单的知识，将未知的知识转化为已知的知识，不断培养和训练学生自觉的转化意识，强化转化思想在解题中的应用，提高学生在解决数学问题中的独立思考能力、应变能力、思维能力和解题的技能、技巧。

（责编 田彩霞）