判断函数零点个数的方法

孟庆东

一、利用解方程判断函数零点个数

例1 函数 f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+ln x，x>0的零点个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

解 当x≤0时，令x2+2x-3= 0，解得x=-3；当x> 0时，令-2+ln x=0，解得x=e2.所以，函数 f（x）有2个零点.选C.

二、利用函数图像判断函数零点个数

1.直接观察函数图像与x 轴的交点个数

根据函数零点的定义，可作出函数y= f（x）的图像，它与x轴的交点个数就是函数零点个数.此方法适合容易作出图像的函数.

如例1可直接作出函数图像，如图1所示.由图1可知，此函数有2个零点.

2.一分为二转化为两个函数图像的交点个数

函数F（x）= f（x）-g（x）的零点，即方程f（x）= g（x）的根，也就是函数y= f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.当函数y=F（x）的图像不易作出时，可将F（x）分解成两个相对简单的函数，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）与g（x）的图像的交点个数来判断F（x）的零点个数.

例2 设定义在R上的函数 f（x）是最小正周期为2π的偶函数， f ′（x）是 f（x）的导函数.当x∈[0，π]时，0< f（x）<1；当x∈（0，π）且x≠■时，（x-■）f ′（x）>0，则函数y= f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零点个数为

A.2 B.4 C.5 D.8

解 当x∈（0，π）且x≠■时，（x-■）f ′（x）>0，从而f（x）在（0，■）上单调递减，在（■，π）上单调递增.又x∈[0，π]时，0< f（x）<1，在R上的函数 f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y= f（x）和y=sin x的图像，如图2.由图2可知，y = f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零点个数为4.选B.

3.分离参数转化为两个函数图像的交点个数

通过分离函数f（x）对应方程f（x）=0中的变量x和参数a，方程变形成 g（x）=h（a），将函数f（x）的零点个数问题转化为函数y= g（x）与y=h（a）的图像的交点个数问题.

例3 设函数f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a 为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解 由已知得 g ′（x）= ex - a > 0，即a < ex对x∈（-1，+∞）恒成立，则a≤■.由f（x）=0，得a=■，则函数f（x）的零点个数就是直线y=a与函数h（x）=■的图像的交点个数.令h′（x）=0，得x=e.当x∈（0，e）时，h′（x）>0，h（x）在（0，e）上单调递增；当x∈（e，+∞）时，h′（x）<0，h（x）在（e，+∞）上单调递减.故h（x）的最大值为h（e）=■.又当x∈（0，1）时，h（x）<0；当x∈（1，+∞）时，h（x）>0，作出函数h（x）的图像如图3所示.

由图3知：当a≤0或a=■时， f（x）的零点个数为1；当0

4.整体换元转化为两个函数图像的交点个数

当复合函数y= f [g（x）]不易具体化或简化来分析零点个数时，我们常通过整体换元转化为方程f（t）= 0 与t = g（x）的根的个数，再进一步转化为函数y= f（t）的零点个数以及直线y = t 与函数y = g（x）的图像的交点个数.

例4 若函数y= f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y= f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.设h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函数y= h（x）的零点个数.

解 由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程 f [ f（x）]=c可转化为 f（t）=c.

作y= f（x）的图像如图4所示，且 f（-2）= f（1）= -2， f（-1）= f（2）=2.

当c=-2时，由f（t）=c可知t1=1，t2=-2.当t=t1时，直线y=1与y= f（x）的图像有3个交点；当t=t2时，直线y=-2与y= f（x）的图像有2个交点，故此时方程 f [ f（x）]= c共有5个不同的解.

当c=2时，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.当t=t3时，直线y=2与y= f（x）的图像有2个交点；当t=t4时，直线y=-1与y= f（x）的图像有3个交点，故此时方程 f [ f（x）]= c共有5个不同的解.

当-2

综上所述，当|c|=2时，函数y= h（x）有5个零点；当|c|<2时，函数y= h（x）有9个零点.

三、利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点个数

如果函数y= f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），函数图像是连续不断的一条曲线，且 f（a）· f（b）<0，那么函数y= f（x）在区间（a，b）上有唯一的零点.

例5 已知函数 f（x）=axsin x-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值为■.

（1）求函数 f（x）的解析式.

（2）判断函数 f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明.

解 （1）f（x）=xsin x-■.（解答过程省略）

（2）函数 f（x）在（0，π）内有且只有2个零点.

证明： 由f（0）=-■<0， f（■）=■>0， f（x）在[0，■]上的图像是连续不断的，可知 f（x）在（0，■）内至少存在一个零点.当x∈（0，■）时， f ′（x）=sin x+xcos x>0，可知 f（x）在（0，■）上单调递增，故 f（x）在（0，■）内有且只有1个零点.

当x∈[■，π]时，令 g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由 g（■）=1>0，g（π）=-π <0，g（x）在[■，π]上的图像是连续不断的，故存在m∈（■，π），使得g（m）=0.

由 g ′（x）=2cos x-xsin x，可知当x∈（■，π）时， g ′（x）<0，从而 g（x）在（■，π）上单调递减.

当x∈（■，m）时， g（x）> g（m）=0，即 f ′（x）>0，从而 f（x）在（■，m）上单调递增.当x∈[■，m]时， f（x）≥ f（■）=■>0，故 f（x）在[■，m]内无零点.

当x∈（m，π）时， g（x）< g（m）=0，即 f ′（x）<0，从而 f（x）在（m，π）上单调递减.又f（m）>0， f（π）<0，且 f（x）在[m，π]上的图像是连续不断的，故 f（x）在（m，π）内有且只有1个零点.

综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且只有2个零点.（责任编校/冯琪）

一、利用解方程判断函数零点个数

例1 函数 f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+ln x，x>0的零点个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

解 当x≤0时，令x2+2x-3= 0，解得x=-3；当x> 0时，令-2+ln x=0，解得x=e2.所以，函数 f（x）有2个零点.选C.

二、利用函数图像判断函数零点个数

1.直接观察函数图像与x 轴的交点个数

根据函数零点的定义，可作出函数y= f（x）的图像，它与x轴的交点个数就是函数零点个数.此方法适合容易作出图像的函数.

如例1可直接作出函数图像，如图1所示.由图1可知，此函数有2个零点.

2.一分为二转化为两个函数图像的交点个数

函数F（x）= f（x）-g（x）的零点，即方程f（x）= g（x）的根，也就是函数y= f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.当函数y=F（x）的图像不易作出时，可将F（x）分解成两个相对简单的函数，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）与g（x）的图像的交点个数来判断F（x）的零点个数.

例2 设定义在R上的函数 f（x）是最小正周期为2π的偶函数， f ′（x）是 f（x）的导函数.当x∈[0，π]时，0< f（x）<1；当x∈（0，π）且x≠■时，（x-■）f ′（x）>0，则函数y= f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零点个数为

A.2 B.4 C.5 D.8

解 当x∈（0，π）且x≠■时，（x-■）f ′（x）>0，从而f（x）在（0，■）上单调递减，在（■，π）上单调递增.又x∈[0，π]时，0< f（x）<1，在R上的函数 f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y= f（x）和y=sin x的图像，如图2.由图2可知，y = f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零点个数为4.选B.

3.分离参数转化为两个函数图像的交点个数

通过分离函数f（x）对应方程f（x）=0中的变量x和参数a，方程变形成 g（x）=h（a），将函数f（x）的零点个数问题转化为函数y= g（x）与y=h（a）的图像的交点个数问题.

例3 设函数f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a 为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解 由已知得 g ′（x）= ex - a > 0，即a < ex对x∈（-1，+∞）恒成立，则a≤■.由f（x）=0，得a=■，则函数f（x）的零点个数就是直线y=a与函数h（x）=■的图像的交点个数.令h′（x）=0，得x=e.当x∈（0，e）时，h′（x）>0，h（x）在（0，e）上单调递增；当x∈（e，+∞）时，h′（x）<0，h（x）在（e，+∞）上单调递减.故h（x）的最大值为h（e）=■.又当x∈（0，1）时，h（x）<0；当x∈（1，+∞）时，h（x）>0，作出函数h（x）的图像如图3所示.

由图3知：当a≤0或a=■时， f（x）的零点个数为1；当0

4.整体换元转化为两个函数图像的交点个数

当复合函数y= f [g（x）]不易具体化或简化来分析零点个数时，我们常通过整体换元转化为方程f（t）= 0 与t = g（x）的根的个数，再进一步转化为函数y= f（t）的零点个数以及直线y = t 与函数y = g（x）的图像的交点个数.

例4 若函数y= f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y= f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.设h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函数y= h（x）的零点个数.

解 由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程 f [ f（x）]=c可转化为 f（t）=c.

作y= f（x）的图像如图4所示，且 f（-2）= f（1）= -2， f（-1）= f（2）=2.

当c=-2时，由f（t）=c可知t1=1，t2=-2.当t=t1时，直线y=1与y= f（x）的图像有3个交点；当t=t2时，直线y=-2与y= f（x）的图像有2个交点，故此时方程 f [ f（x）]= c共有5个不同的解.

当c=2时，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.当t=t3时，直线y=2与y= f（x）的图像有2个交点；当t=t4时，直线y=-1与y= f（x）的图像有3个交点，故此时方程 f [ f（x）]= c共有5个不同的解.

当-2

综上所述，当|c|=2时，函数y= h（x）有5个零点；当|c|<2时，函数y= h（x）有9个零点.

三、利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点个数

如果函数y= f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），函数图像是连续不断的一条曲线，且 f（a）· f（b）<0，那么函数y= f（x）在区间（a，b）上有唯一的零点.

例5 已知函数 f（x）=axsin x-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值为■.

（1）求函数 f（x）的解析式.

（2）判断函数 f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明.

解 （1）f（x）=xsin x-■.（解答过程省略）

（2）函数 f（x）在（0，π）内有且只有2个零点.

证明： 由f（0）=-■<0， f（■）=■>0， f（x）在[0，■]上的图像是连续不断的，可知 f（x）在（0，■）内至少存在一个零点.当x∈（0，■）时， f ′（x）=sin x+xcos x>0，可知 f（x）在（0，■）上单调递增，故 f（x）在（0，■）内有且只有1个零点.

当x∈[■，π]时，令 g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由 g（■）=1>0，g（π）=-π <0，g（x）在[■，π]上的图像是连续不断的，故存在m∈（■，π），使得g（m）=0.

由 g ′（x）=2cos x-xsin x，可知当x∈（■，π）时， g ′（x）<0，从而 g（x）在（■，π）上单调递减.

当x∈（■，m）时， g（x）> g（m）=0，即 f ′（x）>0，从而 f（x）在（■，m）上单调递增.当x∈[■，m]时， f（x）≥ f（■）=■>0，故 f（x）在[■，m]内无零点.

当x∈（m，π）时， g（x）< g（m）=0，即 f ′（x）<0，从而 f（x）在（m，π）上单调递减.又f（m）>0， f（π）<0，且 f（x）在[m，π]上的图像是连续不断的，故 f（x）在（m，π）内有且只有1个零点.

综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且只有2个零点.（责任编校/冯琪）

一、利用解方程判断函数零点个数

例1 函数 f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+ln x，x>0的零点个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

解 当x≤0时，令x2+2x-3= 0，解得x=-3；当x> 0时，令-2+ln x=0，解得x=e2.所以，函数 f（x）有2个零点.选C.

二、利用函数图像判断函数零点个数

1.直接观察函数图像与x 轴的交点个数

根据函数零点的定义，可作出函数y= f（x）的图像，它与x轴的交点个数就是函数零点个数.此方法适合容易作出图像的函数.

如例1可直接作出函数图像，如图1所示.由图1可知，此函数有2个零点.

2.一分为二转化为两个函数图像的交点个数

函数F（x）= f（x）-g（x）的零点，即方程f（x）= g（x）的根，也就是函数y= f（x）的图像与函数y=g（x）的图像交点的横坐标.当函数y=F（x）的图像不易作出时，可将F（x）分解成两个相对简单的函数，即F（x）= f（x）-g（x），利用f（x）与g（x）的图像的交点个数来判断F（x）的零点个数.

例2 设定义在R上的函数 f（x）是最小正周期为2π的偶函数， f ′（x）是 f（x）的导函数.当x∈[0，π]时，0< f（x）<1；当x∈（0，π）且x≠■时，（x-■）f ′（x）>0，则函数y= f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零点个数为

A.2 B.4 C.5 D.8

解 当x∈（0，π）且x≠■时，（x-■）f ′（x）>0，从而f（x）在（0，■）上单调递减，在（■，π）上单调递增.又x∈[0，π]时，0< f（x）<1，在R上的函数 f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y= f（x）和y=sin x的图像，如图2.由图2可知，y = f（x）-sin x在[-2π，2π]上的零点个数为4.选B.

3.分离参数转化为两个函数图像的交点个数

通过分离函数f（x）对应方程f（x）=0中的变量x和参数a，方程变形成 g（x）=h（a），将函数f（x）的零点个数问题转化为函数y= g（x）与y=h（a）的图像的交点个数问题.

例3 设函数f（x）=ln x-ax，g（x）=ex -ax，其中a 为实数.若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解 由已知得 g ′（x）= ex - a > 0，即a < ex对x∈（-1，+∞）恒成立，则a≤■.由f（x）=0，得a=■，则函数f（x）的零点个数就是直线y=a与函数h（x）=■的图像的交点个数.令h′（x）=0，得x=e.当x∈（0，e）时，h′（x）>0，h（x）在（0，e）上单调递增；当x∈（e，+∞）时，h′（x）<0，h（x）在（e，+∞）上单调递减.故h（x）的最大值为h（e）=■.又当x∈（0，1）时，h（x）<0；当x∈（1，+∞）时，h（x）>0，作出函数h（x）的图像如图3所示.

由图3知：当a≤0或a=■时， f（x）的零点个数为1；当0

4.整体换元转化为两个函数图像的交点个数

当复合函数y= f [g（x）]不易具体化或简化来分析零点个数时，我们常通过整体换元转化为方程f（t）= 0 与t = g（x）的根的个数，再进一步转化为函数y= f（t）的零点个数以及直线y = t 与函数y = g（x）的图像的交点个数.

例4 若函数y= f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y= f（x）的极值点.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点.设h（x）= f [ f（x）]-c，其中c∈[-2，2]，求函数y= h（x）的零点个数.

解 由已知得a=0，b= -3.令t = f（x），方程 f [ f（x）]=c可转化为 f（t）=c.

作y= f（x）的图像如图4所示，且 f（-2）= f（1）= -2， f（-1）= f（2）=2.

当c=-2时，由f（t）=c可知t1=1，t2=-2.当t=t1时，直线y=1与y= f（x）的图像有3个交点；当t=t2时，直线y=-2与y= f（x）的图像有2个交点，故此时方程 f [ f（x）]= c共有5个不同的解.

当c=2时，由f（t）=c可知t3=2，t4=-1.当t=t3时，直线y=2与y= f（x）的图像有2个交点；当t=t4时，直线y=-1与y= f（x）的图像有3个交点，故此时方程 f [ f（x）]= c共有5个不同的解.

当-2

综上所述，当|c|=2时，函数y= h（x）有5个零点；当|c|<2时，函数y= h（x）有9个零点.

三、利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点个数

如果函数y= f（x）在区间[a，b]上单调递增（减），函数图像是连续不断的一条曲线，且 f（a）· f（b）<0，那么函数y= f（x）在区间（a，b）上有唯一的零点.

例5 已知函数 f（x）=axsin x-■（a∈R），且在[0，■]上的最大值为■.

（1）求函数 f（x）的解析式.

（2）判断函数 f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明.

解 （1）f（x）=xsin x-■.（解答过程省略）

（2）函数 f（x）在（0，π）内有且只有2个零点.

证明： 由f（0）=-■<0， f（■）=■>0， f（x）在[0，■]上的图像是连续不断的，可知 f（x）在（0，■）内至少存在一个零点.当x∈（0，■）时， f ′（x）=sin x+xcos x>0，可知 f（x）在（0，■）上单调递增，故 f（x）在（0，■）内有且只有1个零点.

当x∈[■，π]时，令 g（x）= f ′（x）=sin x+xcos x.由 g（■）=1>0，g（π）=-π <0，g（x）在[■，π]上的图像是连续不断的，故存在m∈（■，π），使得g（m）=0.

由 g ′（x）=2cos x-xsin x，可知当x∈（■，π）时， g ′（x）<0，从而 g（x）在（■，π）上单调递减.

当x∈（■，m）时， g（x）> g（m）=0，即 f ′（x）>0，从而 f（x）在（■，m）上单调递增.当x∈[■，m]时， f（x）≥ f（■）=■>0，故 f（x）在[■，m]内无零点.

当x∈（m，π）时， g（x）< g（m）=0，即 f ′（x）<0，从而 f（x）在（m，π）上单调递减.又f（m）>0， f（π）<0，且 f（x）在[m，π]上的图像是连续不断的，故 f（x）在（m，π）内有且只有1个零点.

综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且只有2个零点.（责任编校/冯琪）