运用数列观点巧解非数列问题

2014-09-26邱邑峰

高中生·高考指导 2014年9期

关键词：公比编校解方程

邱邑峰

在某些非数列问题中，我们可以看到等差数列或等比数列的雏形，如a+c=2b，ac=b2结构特征的式子，若能巧妙地引入公差或公比，则往往可以找到解决问题的简捷途径.

一、解三角函数题

例1 已知sin α·cos α=■（■<α<■），求sin α和cos α的值.

解由■<α<■，可知sin α>cos α>0.

由sin α·cos α=■=（■）2，可知cos α，■，sin α成等比数列.设cos α=■，sin α=■（q为公比，且q>1），代入sin2α+cos2α=1，得60q4-169q2+60=0，解得q=■，或q=-■（舍去），或q=■（舍去），或q=-■（舍去）.于是可得sin α=■，cos α=■.

二、解无理方程

例2 解方程■+■=1.

解由题设知■，■，■成等差数列，不妨设■=■-d，■=■+d，则x-1=（■-d）2，2-x=（■+d）3.

又（x-1）+（2-x）=1，可得（■-d）2+（■+d）3=1，即（2d-1）（2d+1）（2d+5）=0，解得d1=■，d2=-■，d3= -■.于是可得x1=1，x2=2，x3= 10.

三、解方程组

例3 求三个实数x，y，z，使它们满足：

2x+3y+z=13， ①4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82. ②

解由①得2x+3y=2×■，即2x，■，3y成等差数列.故可设2x=■-d，3y=■+d，代入②整理得3（z-4）2+4（d+■）2=0，解得z=4，d=-■.

于是可得x=3，y=1，z=4.

四、证明不等式

例4 已知a>1，n≥2，n∈■，求证：■-1<■.

证明由a>1，得■-1>0，则要证明的不等式等价于■>n，即■>n.故构造以1为首项、■为公比的等比数列{an}，则an=（■）n-1，Sn=■，从而将问题转化为证明当n≥2时，Sn>n.