全面把握数的内涵,整体建构数的概念

闫云梅 中学高级教师， 北京教育学院石景山分院小学数学教研员，北京市学科带头人。参与人民教育出版社《小学数学教师教学用书》编写工作，20余篇文章获奖，或发表于各级各类教育期刊上。指导教师参加北京市课堂教学评优、教师基本功大赛、教学设计大赛等，多人次荣获一等奖。 认真做事，简单做人，追求快乐、简单而深刻的数学教学。

整数的学习在小学大致分为四个阶段：20以内数的认识，100以内数的认识，万以内数的认识，大数的认识。《万以内数的认识》包含了整数认识的所有要素，在一个完整数级的认识过程中，具有承上启下的重要作用。

一、对数的内涵的理解与认识

《万以内数的认识》编排内容较多，包括数数，数的组成，多角度认识1000，数的读法和写法，数的大小比较，近似数，整百、整千数加减法和用估算解决问题。教材为什么编排这些内容？蕴含其背后的数的概念的本质是什么？这需要我们从数学意义和现实意义两个方面来了解。从数学意义的角度，要追问数的本质结构是什么。刘加霞教授曾写道：“数的本质结构就是‘计数单位与其个数乘积的累加。自然数因为是‘十进制的，所以计数单位是一（个）、十、百……不同计数单位与其个数乘积的累加就构成了全部的自然数。”由此可见，“十进制计数法”是联结本单元教学内容的核心，其中“计数单位”“计数单位之间的十进关系”“位值制”是自然数认识单元的核心，也是计数法的核心。

从现实意义的角度看，数感与估算是其中两个主要方面。为了便于教师理解，将数感的主要内涵概括如下：

（1）对数的现实意义的敏感；

（2）能用多种方式表示数：数的多模式表示并建立联系；

（3）灵活运用数的多模式表示进行口算与估算；

（4）根据数的特点选择合理的算法；

（5）对运算结果的合理性的追问；

（6）喜欢数，对其有积极的情感，并愿意在日常生活中用数进行表达和交流。

因此，《万以内数的认识》教学内容的编排，一是从数的组成去建构；二是联系实际来体会。传统教学偏重前者，新课程则认为这两个角度有机结合起来效果更好。

二、教材编写特点

教材在编写过程中，力求借助多种直观模型，通过数学活动的方式，达成对数的本质结构的认识，并发展学生的数感。具体来说有如下几个特点：

1.运用“齐性”“有结构”的直观模型，帮助学生建立重要的数学概念

所谓“齐性”材料，即每一种材料的物理特征都是相同的，表示的意义也相同；关于材料的结构化，可区分为逻辑的和直观的两种，数系是用位值逻辑地构造而成的。教材中提供的打捆的小棒、第纳斯木块都是“齐性”“直观结构化”的模型；算盘、计数器是“齐性”“逻辑结构化”的直观模型。利用这些直观模型，使学生建立“计数单位”的表象，感悟相邻计数单位间的十进关系，体会“位值”的概念。

2.突出了对数的本质结构的认识

对二年级学生而言，对数的本质结构的认识表现为数的组成。

教材编排分为四个层次。第一个层次呈现问题和点子图，使学生对数量的多少有初步感知；第二个层次是学生用计数单位数数，对数的组成有直观认识，并获得数数的结果；第三个层次要求学生用小棒表示数，用语言叙述数的组成；第四个层次是用计数器表示数，再学习数的读写。这样既体现了对学生数感的培养，又通过将直观学具逐步“结构化”，展现了数出几个百、几个十和几个一的过程，从动作表征（数、圈、摆）到语言表征（说），再到用符号表征（写数），以多种表征方式的转化，使学生达成对数的本质结构的真正理解。

3.设计丰富的数数活动，让学生在活动中感悟数的本质

数是数出来的。教材安排了丰富的数数活动，让学生在数数中加深对计数单位一（个）、十、百、千、万的认识，增强对计数单位间十进关系的感悟。对数数活动的设计，教材也注重层次性和趣味性。有的在计数器上边拨珠边数数；有的脱离计数器，按要求数数；有自主选择合适的计数单位数数的……从形式上看，有边拨珠边数，有边圈画边数，有边数边涂色，有在数线（数轴）上数数，等等。在丰富的数数活动中，学生对“十进位值制”的认识逐步深化，也为数的大小比较、数的计算以及今后大数的认识积累了宝贵经验。

4.加强了数感的培养

低年级是初步建立数感的关键时期。教材中大量利用小棒、点子图、第纳斯木块等帮助学生直观地认识数，增强对数的结构和现实意义的感受。同时专门安排了例3，将点子图模型与数线结合在一起，通过多角度认识1000，发展学生的数感。在练习中还安排有“估一估，数一数”等练习，使学生能结合情境感知数量的多少。同时安排了近似数、估算的内容，都体现了对学生数感的培养。

三、梳理线索，整体建构数的概念

《万以内数的认识》内容较多，需要教师梳理和把握几条主要线索，整体建构数的概念。

1.梳理教学内容与重要数学概念的联系，整体把握教学内容

“计数单位”“十进制”“位值制”是整数认识的核心，教师应理清教学内容与重要概念之间的联系，从更高的站位来把握教学内容。教学内容与重要概念联系如下：

[千、万的认识（例1、例5）&认识计数单位“千”“万”，体会“十进制”&数的组成（例2、例6）&认识数的本质结构&读数、写数（例2、例7、例8）&进一步认识计数单位，了解位值&算盘的认识（例4）&理解“十进制”与“位值制”&数的大小比较（例9）&用计数单位与计数单位的个数比较大小，体会位值&近似数（例10），用估算解决问题（例13）&选择适当的计数单位&整百、整千数加减法（例11、例12）&感知相同计数单位的数才能直接相加、减&]

对重要的数学概念，教师应做到心中有数，但在课堂教学中，应使用学生听得懂的语言和可接受的方式加以渗透。如用“一个一个地数”“十个十个地数”“一百一百地数”来体现一（个）、十、百是计数单位，是用来数数的；用“几个百是一千？一千里面有几个百”来表明相邻计数单位间的十进关系；用在计数器上拨珠并写数，体现“位值”的概念。

2.梳理教学内容与所用直观模型的线索，合理运用直观模型

教材为学生提供了丰富的直观模型，不同模型的特点与价值是什么？怎样合理、有效地利用直观模型？将教学内容与所用的直观模型梳理如下：

[千、万的认识（例1、例5）&第纳斯木块，计数器&数的组成（例2、例6）&点子（星星）图、小棒、第纳斯木块、计数器&多角度认识1000（例3）&点子图、数线&读数、写数（例2、例7、例8）&计数器&算盘的认识（例4）&算盘&近似数（例10）&数线&]

第纳斯木块具有整齐、结构性强的特点，是认识千以内计数单位及其关系的良好模型。建议教师在教学中，除让学生认识独立的计数单位外，还应利用信息技术手段，展现相邻计数单位间“结构化”的过程，使学生直观地认识相邻单位间的十进关系。

在表示万及以上计数单位时，第纳斯木块则不好表现单位间的关系，这时需要借助较为抽象的计数器来帮忙。教学“万的认识”时，先结合10个一千的第纳斯木块模型，初步认识一万，再呈现计数器模型，帮助学生完成由具体到抽象的过渡。另外，第纳斯木块、计数器还可以应用在整百、整千数加减法的学习中（尽管教材中没有出现），让学生借助直观模型，说明计算的过程，理解算理。

在数的组成部分，教材提供的直观模型是最为丰富的。在教学时，应遵循从具体到逐步抽象的原则，使学生通过不同表征方式的转化，沟通不同模型以及数之间的联系，实现对数的本质结构的认识。在练习中，教材还提供了“元、角、分”、打捆的铅笔、打捆的明信片、绘图纸等，教师应充分利用这些模型结构化的特征，逐步深化学生对数的认识。

endprint

点子（星星）图具体形象，需要学生经历数数和圈画的过程，有利于培养学生调整、选择合适计数单位数数和按群计数。

在读数、写数的学习中，计数器是最好的模型，教师应结合计数器上珠子的个数和下面所标的数位，组织学生读数和写数，体会到不同数位上的数表示的意义不同。

数线是帮助学生认识数的顺序和大小关系的重要模型，也是后续学习的重要基础，比较抽象。教学时应将点子图与数线结合在一起，重视数数的起点和方向，帮助学生体会数线上的点所表示的数的大小以及数与数之间的关系。

3.梳理教学内容与数学活动的线索，设计有价值的数学活动

[千、万的认识（例1、例5）&数数、拨珠&数的组成（例2、例6）&数数、圈画、摆小棒、摆木块、拨珠&多角度认识1000（例3）&数数、标数&读数、写数（例2、例7、例8）&拨珠、读数、写数&算盘的认识（例4）&拨珠&数的大小比较（例9）&比一比&]

低年级学生需要通过数数活动来完善对计数单位的认识，并不断地感悟自然数系的结构和规律。因此，数数活动是贯穿于本单元的重要数学活动。为激发学生数数的兴趣，可以采取多种形式，如猜一猜、数一数，边拨珠边数，圈一圈、数一数等。为提高数数活动的实效性，要注意以下三方面的问题：

一是解决学生“拐弯数”的难点。如：从一百九十八起，一个一个地数到二百零三。

二是突出“千”“万”作为自然数方面的意义。“千”“万”的认识有两个要点：作为自然数，它们是九百九十九添一和九千九百九十九添一得到的一个数；作为一个计数单位，它们是10个百和10个千。考虑到学生对于自然数方面的意义能够通过迁移自主习得，教材在编排中更多地突出了作为计数单位方面的意义。因此，教师在组织学生数数的活动中，可以增加从九百九十五起，一个一个地数到一千，以及从九千九百九十五起，一个一个地数到一万的活动，以此凸显“千”“万”作为自然数方面的意义。

三是组织学生变换不同的计数单位进行数数。学生在已有的生活、学习中，数大数的经验并不多，教学中可增加一些用“十”“百”“千”为单位的数数活动，感悟计数规则，增加对大数的感性认识。

此外，还应结合不同的教学内容，设计有价值的数学活动，如根据给出的数在方格纸中涂色，在算盘上拨数等，还可以安排“摆一摆，想一想”的实践活动。

4.梳理教学内容与数感培养的线索，让学生获得对数全面而丰富的感受

[千、万的认识（例1、例5）&对数的现实意义的敏感&数的组成（例2、例6）&能用多种方式表示数：数的多模式表示并建立联系&读数、写数（例2、例7、例8）&能用多种方式表示数&算盘的认识（例4）&能用多种方式表示数&近似数（例10）&在日常生活中用数表达和交流&整百、整千数加减法（例11、例12）&灵活运用数的多模式表示进行口算，对运算结果的合理性的追问&用估算解决问题（例13）&灵活运用数的多模式表示进行口算与估算&]

在数感的培养上，教材在“用多种方式表示：数的多模式表示并建立联系”方面体现得比较充分，教材提供的多为“齐性”“有结构”的直观材料；对“数的现实意义的敏感”的内容体现并不充分。因此，在教学中应为学生提供更为丰富的、无结构的一些实物、图片等，让学生对身边常见物品的多少有切身感受。同时，鼓励学生在日常生活中收集有关大数的素材，养成用数表达与交流的习惯，逐步发展学生的数感。♪

endprint

点子（星星）图具体形象，需要学生经历数数和圈画的过程，有利于培养学生调整、选择合适计数单位数数和按群计数。

在读数、写数的学习中，计数器是最好的模型，教师应结合计数器上珠子的个数和下面所标的数位，组织学生读数和写数，体会到不同数位上的数表示的意义不同。

数线是帮助学生认识数的顺序和大小关系的重要模型，也是后续学习的重要基础，比较抽象。教学时应将点子图与数线结合在一起，重视数数的起点和方向，帮助学生体会数线上的点所表示的数的大小以及数与数之间的关系。

3.梳理教学内容与数学活动的线索，设计有价值的数学活动

[千、万的认识（例1、例5）&数数、拨珠&数的组成（例2、例6）&数数、圈画、摆小棒、摆木块、拨珠&多角度认识1000（例3）&数数、标数&读数、写数（例2、例7、例8）&拨珠、读数、写数&算盘的认识（例4）&拨珠&数的大小比较（例9）&比一比&]

低年级学生需要通过数数活动来完善对计数单位的认识，并不断地感悟自然数系的结构和规律。因此，数数活动是贯穿于本单元的重要数学活动。为激发学生数数的兴趣，可以采取多种形式，如猜一猜、数一数，边拨珠边数，圈一圈、数一数等。为提高数数活动的实效性，要注意以下三方面的问题：

一是解决学生“拐弯数”的难点。如：从一百九十八起，一个一个地数到二百零三。

二是突出“千”“万”作为自然数方面的意义。“千”“万”的认识有两个要点：作为自然数，它们是九百九十九添一和九千九百九十九添一得到的一个数；作为一个计数单位，它们是10个百和10个千。考虑到学生对于自然数方面的意义能够通过迁移自主习得，教材在编排中更多地突出了作为计数单位方面的意义。因此，教师在组织学生数数的活动中，可以增加从九百九十五起，一个一个地数到一千，以及从九千九百九十五起，一个一个地数到一万的活动，以此凸显“千”“万”作为自然数方面的意义。

三是组织学生变换不同的计数单位进行数数。学生在已有的生活、学习中，数大数的经验并不多，教学中可增加一些用“十”“百”“千”为单位的数数活动，感悟计数规则，增加对大数的感性认识。

此外，还应结合不同的教学内容，设计有价值的数学活动，如根据给出的数在方格纸中涂色，在算盘上拨数等，还可以安排“摆一摆，想一想”的实践活动。

4.梳理教学内容与数感培养的线索，让学生获得对数全面而丰富的感受

[千、万的认识（例1、例5）&对数的现实意义的敏感&数的组成（例2、例6）&能用多种方式表示数：数的多模式表示并建立联系&读数、写数（例2、例7、例8）&能用多种方式表示数&算盘的认识（例4）&能用多种方式表示数&近似数（例10）&在日常生活中用数表达和交流&整百、整千数加减法（例11、例12）&灵活运用数的多模式表示进行口算，对运算结果的合理性的追问&用估算解决问题（例13）&灵活运用数的多模式表示进行口算与估算&]

在数感的培养上，教材在“用多种方式表示：数的多模式表示并建立联系”方面体现得比较充分，教材提供的多为“齐性”“有结构”的直观材料；对“数的现实意义的敏感”的内容体现并不充分。因此，在教学中应为学生提供更为丰富的、无结构的一些实物、图片等，让学生对身边常见物品的多少有切身感受。同时，鼓励学生在日常生活中收集有关大数的素材，养成用数表达与交流的习惯，逐步发展学生的数感。♪

endprint

点子（星星）图具体形象，需要学生经历数数和圈画的过程，有利于培养学生调整、选择合适计数单位数数和按群计数。

在读数、写数的学习中，计数器是最好的模型，教师应结合计数器上珠子的个数和下面所标的数位，组织学生读数和写数，体会到不同数位上的数表示的意义不同。

数线是帮助学生认识数的顺序和大小关系的重要模型，也是后续学习的重要基础，比较抽象。教学时应将点子图与数线结合在一起，重视数数的起点和方向，帮助学生体会数线上的点所表示的数的大小以及数与数之间的关系。

3.梳理教学内容与数学活动的线索，设计有价值的数学活动

[千、万的认识（例1、例5）&数数、拨珠&数的组成（例2、例6）&数数、圈画、摆小棒、摆木块、拨珠&多角度认识1000（例3）&数数、标数&读数、写数（例2、例7、例8）&拨珠、读数、写数&算盘的认识（例4）&拨珠&数的大小比较（例9）&比一比&]

低年级学生需要通过数数活动来完善对计数单位的认识，并不断地感悟自然数系的结构和规律。因此，数数活动是贯穿于本单元的重要数学活动。为激发学生数数的兴趣，可以采取多种形式，如猜一猜、数一数，边拨珠边数，圈一圈、数一数等。为提高数数活动的实效性，要注意以下三方面的问题：

一是解决学生“拐弯数”的难点。如：从一百九十八起，一个一个地数到二百零三。

二是突出“千”“万”作为自然数方面的意义。“千”“万”的认识有两个要点：作为自然数，它们是九百九十九添一和九千九百九十九添一得到的一个数；作为一个计数单位，它们是10个百和10个千。考虑到学生对于自然数方面的意义能够通过迁移自主习得，教材在编排中更多地突出了作为计数单位方面的意义。因此，教师在组织学生数数的活动中，可以增加从九百九十五起，一个一个地数到一千，以及从九千九百九十五起，一个一个地数到一万的活动，以此凸显“千”“万”作为自然数方面的意义。

三是组织学生变换不同的计数单位进行数数。学生在已有的生活、学习中，数大数的经验并不多，教学中可增加一些用“十”“百”“千”为单位的数数活动，感悟计数规则，增加对大数的感性认识。

此外，还应结合不同的教学内容，设计有价值的数学活动，如根据给出的数在方格纸中涂色，在算盘上拨数等，还可以安排“摆一摆，想一想”的实践活动。

4.梳理教学内容与数感培养的线索，让学生获得对数全面而丰富的感受

[千、万的认识（例1、例5）&对数的现实意义的敏感&数的组成（例2、例6）&能用多种方式表示数：数的多模式表示并建立联系&读数、写数（例2、例7、例8）&能用多种方式表示数&算盘的认识（例4）&能用多种方式表示数&近似数（例10）&在日常生活中用数表达和交流&整百、整千数加减法（例11、例12）&灵活运用数的多模式表示进行口算，对运算结果的合理性的追问&用估算解决问题（例13）&灵活运用数的多模式表示进行口算与估算&]

在数感的培养上，教材在“用多种方式表示：数的多模式表示并建立联系”方面体现得比较充分，教材提供的多为“齐性”“有结构”的直观材料；对“数的现实意义的敏感”的内容体现并不充分。因此，在教学中应为学生提供更为丰富的、无结构的一些实物、图片等，让学生对身边常见物品的多少有切身感受。同时，鼓励学生在日常生活中收集有关大数的素材，养成用数表达与交流的习惯，逐步发展学生的数感。♪

endprint