“次数”，解题中的一个重要抓手

王宏平

摘 要： 本文通过三角、代数、立几等方面的几个例题，较深刻地阐述了“次数”在解题中的重要性，不仅对培养学生分析问题、解决问题的能力有所帮助，对提高学生的思维能力也有很大的促进作用.

关键词： 次数 解题 合情推理

合情推理是指根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.虽然合情推理得到的结论不一定正确，但若是一个问题都不能合乎情理，那么其正确的可能性恐怕就微乎其微了.因此，我们在研究问题时，可以先对解决问题思路和方法的合情合理程度进行思考，通过对问题进行合情猜测与推理，帮助我们有效地寻找到解决问题的途径和方法.分析问题和解决问题是有一个思维过程的，解题者一般需要经历宏观决策、微观处理和反馈修正三个阶段.其中宏观决策包含了分析、猜想和决策及实践操作的过程，当实践证明决策是正确时，就可以转入微观处理阶段，将问题具体地给予解决，而当实践证明决策有误之时，就需要进行反馈修正，重新进行分析、猜想，做出新的决策，直至问题解决为止.

“次数”在分析问题和解决问题的宏观阶段就是众多的考虑因素之一.“次数”是学生在初中学习单项式时就已了解的概念，学生对它的认识是有一定基础的.从一元一次方程，一元二次方程，到一次函数，二次函数，再到指数函数、幂函数，学生在中学数学学习的过程中一直在和“次数”打交道，但学生对次数的理解和认识往往只停留在一个较浅显的层面上，殊不知“次数”在解决某些数学问题时却起到很大的作用.有时“次数”可以帮助我们理清解决问题的头绪，帮助我们找到解决问题的途径和方法，还可以帮助我们判断对问题所进行的变形或转化是否合理，从而帮助我们对于问题的解决做出更好的决策.

分析说明：此题对刚学习了两角和与差的正、余弦的学生而言不会感觉有太大的困难.因为他们这时对三角公式的理解和掌握仅限于两角和与差的正、余弦，所以他们很容易就想到把其中的10°角写成30°-20°，然后利用公式展开、化简，即可得到结果.但是，当学生学习了二倍角公式或是所有三角变换的公式之后，反而会感觉到有一定的难度.具有一定解题经验的学生，首先想到的就是题目中出现了两个非特殊角，而这两个特殊角之间有着一定的关系，所以可以考虑减少非特殊角的个数（消去其中的一个），达到解决问题的目的.但他们解决问题的起步往往是二倍角公式，因为他们更多看到的是20°角是10°角的两倍，但很快就会发现用了二倍角公式之后，此题几乎陷入了一个死胡同，无法继续进行下去.这时，就需要学生学会分析，找出问题的症结，然后才能对症下药.“次数”在此时就起到了很好的判断作用.站在理性的角度分析，不难看出，如果用二倍角公式将20°角展开成10°角的正、余弦，那么分子中就是一个关于10°角余弦的一次式与一个10°角正、余弦的二次式的差，而分母则是一个关于10°角正、余弦的二次齐次式，这样的两个式子相除得到一个常数，既不合情，又不合理.很显然，这种变形的方向不对——决策不对，需要重新分析，重新决策.从“次数”的角度进行分析，不难发现将10°角写成30°-20°的合理性.当我们把10°角写成30°-20°，再利用两角差的余弦展开后，分子就变成了一个关于20°角的正、余弦的一次齐次式，而分母也是一个关于20°角余弦的一次式，这样的两个式子相除得到一个常数是完全合乎情理的.按照这样的思路，将题目中的20°角写成30°-10°，也同样可以使问题得到解决.这样的分析，留给学生的就不仅仅是单纯的这一问题的解决方法，更多的应该是思维层次上的变化.

例2.在△ABC中，已知a-b=ccosB-ccosA，判断△ABC的形状.

分析说明：解决此类问题的方法通常有两种，一种是将条件中的角利用正、余弦定理全部转化为边，然后通过代数变换，得出结论；另一种是将条件中的边全部转化为角，然后通过三角变换，得出结论.一般情况下，两条路都行得通，此题也不例外.若学生采用第一种解法，将角化为边后，面对的是一个繁琐的代数恒等式，没有一定的运算功底是很难得到结果的.但若能指导学生在解题之初先不急于动笔运算，而是很好地观察和分析题目中的条件，进行合情猜想，就不难发现a=b显然是符合题意的.因此将角化为边后，虽然代数运算量大、要求高，但最后的结果中一定包含（a-b）这个因式，因此因式分解的过程只要围绕着（a-b）做文章就可以了.若是学生的思维能达到这个程度，即便是初中因式分解基础稍弱的学生，也可以解决这个问题.否则，学生将会感到困难重重.若学生采用第二种解法，将条件中的边都转化为角，条件就被转化为sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA，接下去的路就很难走下去了，很多学生就此作罢，实在可惜.教师应如何引导？应该说，此刻学生需要的不是解题技巧，而是一种方法上的点拨和指导.“次数”就可以很好地解决这个问题，我们只需引导学生观察等式左、右两边的次数，就不难发现其不对称性.等式的左边是一个关于三角形内角的一次齐次式，而等式的右边则是一个关于三角形内角的二次齐次式，解题的思路必然被引导至“能不能通过已有的知识和方法，将两边的次数变为一致呢？”，换句话说，能否将等式两边都转化为关于三角形内角的同一次数的表达式？顺着这样的思路下去，可以发现，等式右边的二次式要化为关于角A、B、C的一次表达式难度很大，而等式左边则可以通过三角形三个内角之间的关系，将sinA和sinB分别改写成sin（B+C）和sin（A+C）再展开，问题就很容易得到解决.

分析说明：台体的体积公式，并不是教材的重点内容，公式不需要记忆.正因为如此，很多教师在教学这部分内容时，都将它一带而过.实际上，该公式的教学时可以做点小文章，从而让学生在分析问题和解决问题时思维能力得到提高.

在学习台体的体积公式之前，学生已经学习了柱、锥、台三种几何体的侧面积公式，以及柱体和锥体的体积公式.由于柱、锥、台三种几何体之间有着一定的联系，即若将台体的上底拉伸至与下底成全等图形，则台体将变成柱体；而若将台的上底缩成一个点，则台体就变成了锥体.因此，在侧面积公式中，这种关系得到了充分体现.

如今，教师常感叹于学生越来越不会想问题，解题能力也越来越弱，果真如此吗？非也.如果教师能够经常反思自己的教学，在教学中，能够有意识地站在一个较高的层面上对问题加以分析，抓住一切机会对学生进行思维的训练，那么学生在后继学习中所面临的困难可能就会小一些，解决问题的方法有可能就会多一些，思考问题的角度就有可能更多样化，思维的层面也将会更高，进而成长为一个勇于思考并善于思考的智者.