逼近紧Chebyshev集的太阳性

崔云安，赵振兴

(哈尔滨理工大学 应用科学学院，哈尔滨 150080)

逼近紧的定义首先由Jefimow和Stechkin提出，作为Banach空间的一个性质可以保证X中的任意元素x都在非空闭凸集C中有一个最佳逼近元素.1984年，Megginsion证明X是中点局部一致凸当且仅当X的闭球是逼近紧Chebyshev集[1]. 1995年，崔云安证明了在自反，严格凸，具有H性质的Banach空间中，A是弱序列完备子集，则A是逼近紧Chebyshev集的充要条件是A是太阳集[2]. 2007年，陈述涛等证明了X是中点局部一致凸空间，且C是X中的一个闭凸集，则C是逼近紧Chebyshev集当且仅当PC是连续的[3]. 2010年，崔云安，商绍强，付永强可凹点和Banach空间的强光滑性和逼近紧性[4].本文在局部一致凸空间中，证明了逼近紧Chebyshev集与太阳集是等价的.

1 基本概念

设X是Banach空间，S(X)，B(X)分别表示X的单位球面与单位闭球面.B[x,r]={y∈X‖x-y‖≤r}.

定义1[5]设G是X的子集，定义dG(x)=inf{‖x-g‖:g∈G}，则称dG是G的距离函数.若g0∈G,满足‖x-g0‖=dG(x)，则称g0∈G是x在G中的最佳逼近元，其全体记为PG(x).若∀x∈X,PG(x)≠φ,则称G是近迫集.若∀x∈X.PG(x)至多是单点集，则称G是半Chebyshev集.若∀x∈X,PG(x)恰是单点集，则称G是Chebyshev集.

定义2[6]称Banach空间X的近迫集G是太阳集，如果∀x∈X,存在g0∈PG(x)满足g0∈PG(xt)，其中xt=g0+t(x-g0)(t>1).

定义3 Banach空间X称为局部一致凸的，若∀x∈S(X)，{xn}⊆B(X)满足若‖xn+x‖→2，则xn→x.

定义4 Banach空间X称为紧局部一致凸空间的，若∀x∈S(X),{xn}⊆B(X),‖xn+x‖→2,则{xn}是相对紧集.

2 主要成果

引理1[7]设X是紧局部一致凸空间，x,y∈X,z0=x+λ0(x-y)，λ0>0,令Kn=B[x,‖x-y‖+1/n]〗intB[z0,‖z0-y‖]，若gn∈Kn,则序列{gn}是相对紧的.

引理2[5]设G是Banach空间X中的逼近紧Chebyshev集，则G是几乎凸，即对任何与G有正距离的球B(x,r)及r′(>r),必存在球B(x′,r′)使得B(x′,r′)⊃B(x,r);B(x′,r′)∩G=φ

定理：设X是局部一致凸空间，G是逼近紧Chebyshev集的充分必要条件是G是太阳集.

证明：必要性.设x∈X,{gm}⊂X,使‖gm-x‖→dG(x)

由于G是太阳集，故存在y∈PG(x)，即

y∈PG(y+λ(x-y)),λ>0

令z0=x+λ0(x-y)=y+(λ0+1)(x-y),

λ0>0，则y∈PG(z0)

令Kn=B[x,‖x-y‖+1/n]intB[z0,‖z0-y‖]

由于‖gm-x‖→‖x-y‖，所以存在{gmn}，使得‖x-y‖≤‖gmn-x‖≤‖x-y‖+1/n

而‖gmn-z0‖=‖gmn-(x+λ0(x-y)‖

‖gmn-x-λ0(x-y)‖

≥‖x-y‖+λ0‖x-y‖=

(1+λ0)‖x-y‖=‖z0-y‖

故{gmn}∈Kn由引理1及G是近迫的(G是闭的)，可知，存在{gmn}的子列在G中收敛，即G是逼近紧集.

充分性.反设G是X中的逼近紧的Chebyshev集，但G不是太阳集，从而存在x∈XG,g0∈PG(x),及t0>1,使PG(xt0)=PG(g0+t(x-g0)≠g0

令t1=sup{t>0,PG(xt0)=g0}

由于PG(x)是连续的，故

PG(xt)=g0∀t≤t1

PG(xt)≠g0∀t>t1

不妨设t1=1，从而对∀t>1,PG(xt)≠g0

设dG(x)=r(r>0)

由引理2可知G是几乎凸及B(x,r-1/n)∩φ,知存在xn∈X,B(xn,2r)，使得

B(xn,2r)⊃B(x,r-1/n)

B(xn,2r)∩G=φ

所以‖xn-x‖≤r+1/n

因此

2r-1/n

再由dG(xn)的连续性得

故 g0=PG(2x-g0)=PG(g0+2(x-g0)

即g0=PG(xt2),t2=2>1,矛盾.

故G 是太阳集.

参考文献：

[1]MEGGINSONRE.AnintroductiontoBanachspaces[M].NewYork:Springer-Verlag, 1998.

[2] 崔云安.Banach空间的K-M逼近 [J]. 应用数学, 1995, 8(4):409-413.

[3]CHENST,HUDZIKH,KOWALEWSKIW, et al.ApproximativecompactnessandcontinuitymetricprojectorinBanachspacesandapplications[J].ScienceinChinaSeriesA:Mathematics, 2008, 51(2):293-303.

[4]SHANGSQ,CUIYA,FUYQ.DentablepointandstronglysmoothnessandapproximativecompactnessinBanachspaces[J].ActaMathApplSinica, 2010, 53:1217-1224.

[5] 徐士英,李 冲,杨文善.Banach空间中的非线性逼近理论[M].北京:科学出版社, 1998.

[6]DIETRICHB.NonlinearApproximationTheory[M].Berlin,Heidelberg,NewYork,London,Paris,Tokyo:Springer-Verlag,1986.

[7] 程 燕. 弱紧局部一致凸空间中的度量投影[J].工科数学, 1999, 15(1):36-40.