数量关系——问题解决教学的根

马惠燕

【关键词】数量关系 问题解决

小学数学

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）07A-

0035-02

《义务教育数学课程标准》（2011版）把传统的应用题命名为“问题解决”，同时打破了把应用题教学作为一个单独的教学内容的局面，将其融合在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四大领域之中。“问题解决”与“应用题”相比，其呈现的方式、编排体系发生了很大的变化。新课程实施后，教师的教学理念、教学行为、教学方式等也发生了不小的变化，对曾经是应用题教学的核心问题——数量关系产生了困惑，对在“问题解决”教学中是否要突出“数量关系”，是否要加强“数量关系”的分析感到很纠结，老师们也有不同的声音：有的认为不需要，有的认为很有必要。笔者认为，突出数量关系，加强数量关系的分析是很有必要的。因为数学是研究数量关系和空间形式的科学，数量关系是数学问题教学的骨架，它对促进学生的认知“由表及里”“由浅入深”起着重要的作用。尽管新课标教材中的“问题解决”呈现的形式、条件和问题的特点发生了很大的变化，但其“根据已知条件解答相关问题”的本质属性并没有改变。因此，“问题解决”的教学必须重视数量关系的教学。

一、抓好四则运算意义的教学

应用题教学改革的实践告诉我们：概念是数学教学的基石，也是提高学生分析问题和解决问题能力的基石。如果对概念意义不理解，就只能机械化地套公式、抠字眼来解决问题，而这对培养学生的创新意识是非常不利的。新教材编写的一大特点就是将“数与运算”的内容与生活问题情境融合起来，在问题解决过程中注重引导学生对运算意义的理解，进而掌握算法，理解算理。同时，又通过回顾、反思问题解决的过程，有效地促进了学生对运算意义的理解、内化、提升。因此，四则运算意义的教学在问题解决中的作用是极其重要的，是数量关系最基本的模型，是夯实解决实际问题的基础。

如，在教学人教版一年级数学上册《10以内的加法》时，从情境图中可以知道原来有4只小兔在采蘑菇，后来又来了2只小兔。学生借助生活经验很容易提出问题：一共有几只小兔？但为什么用加法，很多学生就不清楚。在教学时，要让学生明白“求一共有几只”实际上就是“要把两部分合起来”，即把4和2合起来得多少，应该用加法计算。又如，在教学人教版一年级数学上册《10以内的减法》时，从情境图中可以知道原来有7只青蛙，跳走了2只，求还剩几只？怎样解答，学生就不明白。因此，在教学中，要引导学生明确，这里实际上是把7只青蛙分成两部分，一部分是已经跳走的2只青蛙，另一部分是剩下的5只青蛙。问题的本质是要从总数里去掉一部分，即从7里去掉2得多少，应该用减法计算。通过抓住运算意义的本质的教学，帮助学生对形如“部分量+部分量=总量、总数-一部分数=另一部分数”等基本数量关系的初步感知，有效地帮助学生积累基本的数量关系，为提高学生解决问题的能力提供平台，奠定坚实的基础。

二、注重常见数量关系的抽象概括

数量关系除了有按加、减、乘、除四则运算的意义的基本数量关系，还有一些密切结合某些实际素材常见的数量关系，如，“速度×时间=路程”“单价×数量=总价”“工作效率×工作时间=工作总量”等。掌握这些数量关系对提高学生的思维能力、问题解决能力是很有帮助的。因此，在教学中，教师要提供给学生一个梳理和归纳数量关系的时间和空间，要鼓励学生在自己对已有知识的理解基础上自主构建“原始”的数量关系。在此基础上，再引导学生从另一个角度来思考，进而构建更为简洁、更为抽象概括的数量关系模型，接着通过对这一数量关系模型的变式运用，实现数量关系结构化的迁移。

例如，在教学人教版五年级数学下册34页的例1“做一个微波炉的包装箱（如图），至少要用多少平方米的硬纸板”时，要先提供给学生独立思考的时间和空间，接着引导学生想一想：要求至少要用多少平方米的硬纸板，实际上就是求这个长方体包装箱的什么？（表面积）怎样求出它的表面积？它的表面积指哪几个面的面积总和？这些面的形状是怎样的？如何求这些面的面积？接着让学生尝试用自己的语言说出自己列式计算的依据。即让学生在理解的基础上用自己的语言表述出其所运用的数量关系：因为长方体相对的两个面的面积相等，所以只要先求出3组相对的面的面积，再相加就可以了，即长×宽×2+长×高×2+宽×高×2；接着教师再引导学生改变思考的角度，因为长方体相对的两个面的面积相等，所以可以将长方体的6个面分为相同的2组（每组有三个面），然后计算出三个（上、前、左）面的面积之和，再乘上2，由此产生新的数量关系式，即（长×宽+长×高+宽×高）×2。像这样引导学生从不同的角度思考问题，学生就能较快地找出两种数量关系式，掌握两种数量关系之间的本质联系，这对发展他们的数学思维、提高思维的灵活性和敏捷性是很有利的。由此可见，培养学生对数量关系的提炼、抽象概括是非常必要的。

三、教给学生分析数量关系的方法

俗话说得好：“授之以鱼，不如授之以渔。”从这句俗语中不难看出方法的重要性。因此，在教学中，教师要注意教给学生分析数量关系的方法。

（一）找关键句的方法

要让学生学会分析数量关系，首先就要让学生明白怎样在题目中找出数量关系，因为只有正确找出并理解题中的数量关系，才能对问题进行正确分析，从而正确解题。因此，在教学中，要注意引导学生自主探究并总结归纳出找数量关系的方法，特别要学会找关键句。如，人教版五年级上册66页的练习十二的第3题：故宫的面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。天安门广场的面积是多少万平方米？这道题中的“比天安门广场面积的2倍少16万平方米”就是题目中的关键句。它表示的数量关系是：天安门广场面积×2-16=故宫的面积。

又如，在教学人教版六年级上册37页的例1：

（1）小明的体重是多少千克？

（2）小明的爸爸体重是多少千克？

要让学生明白，题中的关键句就是“儿童体内的水分占体重的”和“我的体重是爸爸的”，从这两句关键句可分别列出如下的数量关系式：“小明的体重×=小明体内水分的质量”；“爸爸的体重×=小明的体重”。

（二）思考的方法和画图表的方法

分析法、综合法和画图法是传统应用题教学分析数量关系时经常用到的方法，对提高学生的思维能力和问题解决的能力都很有帮助。因此，在教学中，教师要注意引导学生掌握分析与综合的思考方法，掌握借助画分析示意图、列图表、画线段图等辅助手段来帮助理解题意和分析数量关系。如，在教学“一个玩具厂做一个毛绒兔原来需要3.8元的材料费。后来改进了制作方法，每个只需3.6元的材料费。原来准备做180个毛绒兔的材料，现在可以做多少个”时，可引导学生用如下的树状图表示：

从这个树状图学生很快就能找到解题的方法。

又如，在教学人教版六年级数学上册39页的例2（航模小组有多少人）时，可引导学生画出如下的线段。

通过画线段图，学生很快就能找到如下的数量关系式：航模小组人数+美术小组比航模小组多的人数=美术小组人数，根据所列的数量关系式很快就能列出正确的算式。

总之，数量关系是解决问题的关键，学生能否找出正确的数量关系式，会直接影响到学生的思维和解题思路，找出正确的数量关系式是列出正确算式的依据。同时，学生在问题解决过程中也需要数量关系作为思维支撑，而数量关系的教学却是一个由浅入深、循序渐进、逐步积累和感悟、提升的过程。因此，在教学中要抓好“问题解决”教学的根——数量关系，切实提高学生问题解决的能力。

（责编 林 剑）