基于视频分析软件Tracker测量刚体转动惯量

贾 昱，程敏熙，安 盟，王经淘，李荣妹

(华南师范大学 物理与电信工程学院，广东 广州 510006)

1 引 言

刚体转动惯量是非常重要的物理量，转动惯量的测量是大学物理实验中的基本实验，传统的方法是用落体法进行测量，但随着教学的进步和实验手段的不断更新，如何在原有仪器的条件基础上，增加新的内容和手段，使原实验更具有开放性和创新性，提高实验测量的精确度，是需要思考的问题[1].

Tracker视频分析软件是由美国卡布里洛大学(Cabrillo College)的道格拉开斯·布朗 (Douglas Brown)教授开发的开源软件[2]. 它的特点是能够捕获视频中的位移时间数据并进行分析. Tracker已有相应的中文版提供免费下载使用[2]，最新的版本是4.8，网址是：http://www.cabrillo.edu/～dbrown/tracker/. 在物理实验教学中，运用视频分析，可以呈现实验现象，获取实验数据，展现运动学规律.

本文应用Tracker等技术手段，对测量转动惯量的方法进行了改进：用弹簧代替落体法中下落的砝码，用数码相机(或手机)等数码拍摄装置代替秒表拍摄视频，用Tracker视频分析软件捕获视频文件中的数据，最后用Origin软件进行精确的曲线拟合，从而求出转动惯量. 本文的测量方法在原有的刚体转动惯量测量实验的基础上进行，提高了测量的精度.

2 实验设计原理和方法

在传统的落体法中[3]，塔轮受到细绳的拉力和转轴摩擦力的力矩作用，砝码m以加速度a下落，砝码m由静止开始下落高度h所用的时间为t，得到：

(1)

式中，g为当地重力加速度，r为塔轮的半径和转动角加速度，I为转动系统对转动轴的转动惯量，Mμ为轴承的摩擦力矩，这里视为恒量.

实验过程g≫a中，则又有

(2)

由式(1)和式(2)可知，传统方法忽略了砝码下落的加速度，但这样会导致较明显的误差[4]；在塔轮转动过程中，摩擦力矩也会随塔轮速度增大而增大[5]；下落砝码的质量不同，摩擦力矩也会不同[6]，所以测量时把摩擦力矩看成恒定量是不准确的；测量时用秒表计，存在较大人为误差[5].

本文的设计如图1所示，用弹簧代替下落的砝码，在不远处放置手机等视频拍摄装置. 弹簧一端固定在地面上，一端与细绳连接. 弹簧上附一标记物，颜色与背景有较大的反差，这样便于之后用Tracker软件捕获数据. 把绳子缠绕在塔轮上，拉紧弹簧，使标记物与突出物平齐， 这样标记物到地面的距离与突出物到地面的距离相等. 准备就绪后，释放塔轮，塔轮在弹簧的拉力下开始转动，拍摄弹簧上标记物随弹簧从伸长到恢复原长的下落过程.

图1 新转动惯量实验原理图

刚体受到拉力和摩擦力的力矩作用，有

M=Iβ=F拉r+Mμ，

(3)

其中I为刚体转动惯量，β为刚体旋转的角速度. 拉力为

F拉=-Kx.

(4)

文献[4]中通过实验的方法得出结论：摩擦力矩与角速度在加速度变化不大的情况下，成线性关系，所以有

Mμ=-μω,

(5)

又

(6)

联立上述等式，方程化为[7]

(7)

(8)

可以看出方程(8)是一阻尼振动方程，在实验过程中，弹簧并没有做往复运动，只是向下收缩直到停止，整个过程只有1/4周期. 在本实验中，摩擦阻尼系数较小，所以方程的解为[8]

x=Ae-ntsin (ωt+φ) ,

(9)

3 实验数据处理及结果分析

实验使用普通的手机，型号为：摩托罗拉mb502，带有拍摄视频功能，拍摄像素为352×280，帧率为30帧. 拍摄弹簧上标记物随弹簧从伸长到恢复原长的下落过程(约4～6 s)后，将拍摄装置用数据线连接电脑，接着按照下列步骤进行数据处理.

3.1 用Tracker软件捕x-t获数据

将拍摄装置中的视频文件拖入Tracker界面导入数据，然后建立坐标系，使坐标的x方向指向标记物下落的相反方向，并建立标尺，输入标记物到地面的距离0.75,表示这个距离是0.75 m(这样做的目的是为了给位移x赋予具体的值，在接下来的Origin软件中更方便地进行曲线拟合，因为曲线拟合需要先输入各参量的大致范围，这样才能更快更准确地拟合. 经过曲线拟合就可以得到摩擦阻尼系数和角速度这2个参量的拟合值，从式(9)的结果可以看出，摩擦阻尼系数和角速度这2个参量与高度无关，所以在实验过程中标记物高度的测量不会影响实验结果的准确性). 接着选择标记物下落开始时为起始帧，标记物停止下落为结束帧，进行数据捕获. 最后，打开Tracker的数据工具界面，看到放大的图表和数据表格，如图2所示[9].

图2 Tracker的数据工具界面

3.2 用Origin拟合曲线

把Tracker软件中数据工具中表格的数据复制到Origin中. 利用Origin的高级拟合工具[10]进行非线性拟合，在公式栏输入A*exp (B*t)*sin (C*t+D),A，B，C，D分别代表振幅、摩擦阻尼系数、角速度和相位差. 经过数秒，就得到准确的拟合数值，如表1所示.

表1 Origin转件的拟合结果

把拟合结果得到的B，C值，代入原结果，

(10)

得刚体转动惯量为

摩擦阻力系数为

μ=2nI=1.69×10-4kg·m2/s.

又根据误差传递公式，转动惯量的误差为

2.23×10-5kg·m2.

最后结果表示为：I=(1.36±0.02)×10-3kg·m2,而用传统方法测得的转动惯量为I=(1.59±0.04)×10-3kg·m2.

传统方法的误差来源是：a.系统误差，忽略加速度a带来的误差，将摩擦力矩视为恒定带来的误差;b.随机误差，砝码的质量测量误差，秒表人工计时的误差，砝码下落高度测量误差，塔轮直径测量的误差.

实验误差来源是：弹簧劲度系数的误差，塔轮直径测量误差，拟合曲线误差(根据最小二乘法等算法得到结果的误差).

从结果来看，本方法的测量值比传统测量值略小，减少了一定的系统误差，即传统方法忽略了砝码下落的加速度a，会导致转动惯量偏大[4]，与文献中的描述一致，同样下落砝码质量越大，摩擦力矩越大，传统方法把不同砝码下落的摩擦力矩视为恒定，导致了计算结果中摩擦力矩偏小，转动惯量偏大[11].

相对误差较传统的测量方法的误差也有减小，原因在于新的实验方法没有秒表计时的人为误差，而是通过软件捕获数据，较为精确；不必精确测量下落高度h的值，因为角速度是通过拟合的方式得到的，与高度h无关，所以也避免了一定的误差[12]；把摩擦力矩近似为变量，而不是恒定值，也提高了一定的精确度.

4 结 论

本文采用了拍摄视频的方法，减少了实验的系统误差，对摩擦力矩与角速度的关系的描述更加科学准确. 使用有拍摄视频功能的普通手机即可进行实验，并降低了实验的人为因素的影响，可重复性强. 实验过程时间较短，操作容易掌握，在原有仪器上进行，拓展了原实验的内容.

参考文献：

[1] 王海林,司嵘嵘,李相银. 落体法测量刚体转动惯量实验中引起测量值偏离的因素分析[J]. 物理实验,2012，32(5)：25.

[2] 李玉峰，熊建文,杨友源. 视频分析软件在物理实验中的应用[J]. 实验室研究与探索,2009，28(4)：62-64.

[3] 朱俊孔. 普通物理实验[M]. 济南：山东大学出版社，2001：71-74.

[4] 刘丽君,李学金,李兵. 刚体转动惯量实验误差分析[J]. 大学物理实验,1999，12(2):46-48.

[5] 张艳亮. 刚体转动惯量测定实验中阻力矩与角速度关系的研究[J]. 大学物理实验,2012，25(5)：51-53.

[6] 班丽英. 刚体转动惯量实验中影响阻力矩因素研究[J]. 煤矿机械,2006，27(4)：37-39.

[7] 漆安慎，杜禅英. 普通物理学教程(力学)[M]. 北京：高等教育出版社，2005:309-312.

[8] 同济大学应用数学系. 高等数学[M]. 北京： 高等教育出版社，2002:37-39.

[9] 丁晓彬，董晨钟. 基于2D开源视频分析和建模软件Tracker研究抛体运动实验[J]. 大学物理,2012，31(7):34-36.

[10] 武新，张永胜. Origin在曲线拟合中的应用[J]. 计算机工程与应用,2005，17(41):206-207.

[11] 杨涛，任明放. 刚体转动惯量实验中时间测量的改进方法[J]. 大学物理,2005，24(4):37-39.

[12] 郭长立，李三庆. 落体法测刚体转动惯量的测量方法比较[J]. 大学物理,2004 ，27(3):37-39.

[13] 李静，厉志明. 普通物理实验[M]. 广州：华南理工大学出版社，1994：11-12.