从二次函数谈初中数学典型题

金羽，卜繁强，陶元红

摘要：鉴于初中数学习题的多样性，本文从初中数学典型题的研究出发，对初中数学习题进行了研究。本文主要以二次函数为研究中心，采用文献分析等研究方法，对典型例题进行剖析，从而归类梳理并总结方法。

关键词：初中数学；典型题；思想方法；二次函数

中图分类号：O177.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）16-0101-02

实践表明，学生通过理解数学问题之后，首先要判别问题的所属类型，确定该问题所涉及的认知经验结构系统，以便与现有的知识经验发生联系，人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借。解题研究的一代宗师波利亚[1]说过：充足组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。由于初中数学习题是多样的。因此从某种意义上来说，对初中数学的研究，可以从对初中数学典型题的研究出发，例如：研究典型题的问题结构、数学思想方法、解题思路、应用到的知识点、知识与知识之间的联系等。这样可以有助于我们深入理解学生在解题过程中的心理活动[2，3]，从而为学生高效解题提供基本依据和保障。二次函数问题在中学数学中占有重要地位[4]，对其进行总结梳理、系统研究，最大的受益者莫过于考生，这样的分析可以让考生们更全面地了解二次函数的性质和特点，同时更清晰地掌握各类问题的解题方法，对考生们数学思维的培养也会有一定的帮助，能够较大程度地提高他们的解题能力与学习效率；对于教师来说，可以将研究成果用来指导学生参加中考，甚至对于命题者来说，这些成果可以为他们的命题工作给以帮助。中考是被人们广泛关注的，也是考生们足够重视的。而二次函数在中考中有着重要的地位，现有的研究资料虽多却散。本文在前人研究的基础上，结合自身的学习与实践，对历年各地以及各届中考数学题中的二次函数问题进行分析归类；并针对典型题进行解法的总结，从而使学生解题能够高效。

一、主要研究结果与分析

本文主要以分析法为主，归类整理，分析比较，通过典型例题总结解题方法并拓展启发思维。通过研究，笔者认为对于初中数学题的解题思路分析，主要应该采取如下五个步骤。

1.审题。无论遇到什么类型的问题，审题是最关键的一步。审题就是要准确地认清题目的条件，目标及其状态，全面识别信息，并把握目标方向和具备的状态，为解题方案的探索与确定提供必要的信息和灵感。

2.创设情境，调动思维的积极性。在认真审题之后，还需要创设问题情境，用以启发我们的灵感，调动我们思维的积极性，从而为解题的进一步深化和目标实现准备良好的心理条件。在百思不得其解的时候，不妨经常提醒自己，是否已将题目认真读过多遍？条件是什么？结论是什么？已知量是什么？未知量是什么？可以联想到什么或者还能推导出什么结果来？隐含条件挖掘完了吗？等等。通过这样不断设问，再根据设问去思考，也许有一问会触动我们的神经，诱发出灵感。

3.设计解题方案。一个正确的解题途径，一条清晰的解题思路的形成过程是比较复杂的，它需要具有较强的基础知识，丰富的解题经验和解题能力。分析解题思路，寻求解题途径，把所面临的问题逐步靠拢和转化为熟悉的问题，然后利用已知的理论、方法和技巧，实现问题的解决。

4.解题。在解题过程中，经过认真审题、探明解题途径、确定解题方法、明确解题思路后，还要进一步达到正确、合理、简捷、清楚，完美地表达出问题的解决过程，这就要求理顺思路，有理有据地按照逻辑规律由已知条件出发，逐步推演，转化，进行有序、正确的推理，建立起已知到结果的清楚、简明、完善的通路，实现问题解决。

5.回顾与探索，检验与深化。解完题后，要重视回顾与探讨，分析与研究，要对解题的结果和解题的方法进行反省，对解题中的主要思想观点，关键因素及类同问题的解法进行概括、推广，从中提炼出数学的基本思想和基本方法加以总结，成为以后解决问题的工具，还要重视对结果进行检验，推理是否有据、解答是否详尽无漏等。

二、二次函数的典型题分析

二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一，这部分内容是继八年级下期所学的函数部分内容的深入与延伸；是今后后续学习其他初等函数的基础，因此，这部分对学生学习函数内容有着承上启下的作用，对培养和提高学生用函数模型（函数思想）来解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力有着一定的作用。下面通过一道中考典型题的解题分析，来说明如何从典型题提炼解题技巧，从而培养学生分析问题和解决问题的能力。

例题（2010年甘肃省9市联考中考数学试卷第26题）：如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D。（1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

解题分析：本题以抛物线为中心，结合坐标轴，并给出A、B、C三点的坐标。

（1）求的是抛物线的解析式和顶点坐标，由此我们便很快联想到待定系数法设y=ax2+bx+c（a≠0）求其方程，再根据顶点坐标公式-■，■求点D坐标。这个非常简单。当然点D的坐标，我们也可以用数形结合的方法求对称轴x=■=1，再将x=1代入抛物线中，得出y=-4。顶点D的坐标为（1，-4）。

（2）是几何问题，判断以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？此题给的是点的坐标，没有给出具体的角度，因此我们可以考虑线段长度之间的关系，这里需要我们进行转化，将几何问题转化为代数问题，所以联想到了勾股定理。判断结果：以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形。具体做法：过点D分别做x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，经过计算得到BC2+CD2=BD2，所以△BCD为直角三角形。endprint

（3）属于存在性问题，坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？这就需要我们从脑海中提取出基础知识，三角形相似应该满足什么条件，接着再去研究看看满足条件的点是否唯一。研究看似不算太难，但是在解决这类问题时，容易漏解，所以我们应该学会分类讨论，按照P点的不同位置进行分类，进而去解决问题。连接AC，可知Rt△COA～Rt△BCD，得符合条件的点O（0，0）。过A作AP1⊥AC交y轴正半轴与P1，可知Rt△CAP1～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合条件的点为P1（0，■）；再过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合条件的点为P2（9，0）；所以符合条件的点有3个：O（0，0），P1（0，■），P2（9，0）。

总结：此题为二次函数与相似的运动综合题，运动问题既考查运算能力又考查推理能力，因其灵活多变性广受欢迎，几乎所有的中考中都涉及，此类题可以考查等边三角形、平行四边形、等腰梯形、相似三角形、圆以及二次函数最值等几乎所有知识，解决的策略是“动中取静”，找出运动中不变的元素，建立等量关系等。本题体现了数形结合的思想、转化的思想（几何问题转化为代数问题）、分类讨论的思想（按照位置的不同分类），灵活运用这些数学思想是解决本题的关键。

本文通过实例阐明了求二次函数解析式的一般方法，并且举出了二次函数综合题的典型例题，并且举一反三，同时对各题进行解析与分析、思路讲解、总结解题方法。典型题中蕴含着许多的知识点，通过对典型题的研究可以让同学们更深层次的理解和消化知识，并达到举一反三、触类旁通的效果。对典型题进行研究是学好数学的重要方法之一，这将有助于同学们思维能力的训练。所以典型题的研究对中学教学而言是十分必要的。

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

[2]张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆：西南师范大学出版社，1995.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社，2006.

[4]梧静.中学数学竞赛中二次多项式与二次函数问题的研究[D].广东：广州大学，2011.

基金项目：国家自然科学基金项目（11361065）；吉林省自然科学基金项目（201215239）。

通讯作者：陶元红（1973-），女，博士，副教授。endprint

（3）属于存在性问题，坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？这就需要我们从脑海中提取出基础知识，三角形相似应该满足什么条件，接着再去研究看看满足条件的点是否唯一。研究看似不算太难，但是在解决这类问题时，容易漏解，所以我们应该学会分类讨论，按照P点的不同位置进行分类，进而去解决问题。连接AC，可知Rt△COA～Rt△BCD，得符合条件的点O（0，0）。过A作AP1⊥AC交y轴正半轴与P1，可知Rt△CAP1～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合条件的点为P1（0，■）；再过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合条件的点为P2（9，0）；所以符合条件的点有3个：O（0，0），P1（0，■），P2（9，0）。

总结：此题为二次函数与相似的运动综合题，运动问题既考查运算能力又考查推理能力，因其灵活多变性广受欢迎，几乎所有的中考中都涉及，此类题可以考查等边三角形、平行四边形、等腰梯形、相似三角形、圆以及二次函数最值等几乎所有知识，解决的策略是“动中取静”，找出运动中不变的元素，建立等量关系等。本题体现了数形结合的思想、转化的思想（几何问题转化为代数问题）、分类讨论的思想（按照位置的不同分类），灵活运用这些数学思想是解决本题的关键。

本文通过实例阐明了求二次函数解析式的一般方法，并且举出了二次函数综合题的典型例题，并且举一反三，同时对各题进行解析与分析、思路讲解、总结解题方法。典型题中蕴含着许多的知识点，通过对典型题的研究可以让同学们更深层次的理解和消化知识，并达到举一反三、触类旁通的效果。对典型题进行研究是学好数学的重要方法之一，这将有助于同学们思维能力的训练。所以典型题的研究对中学教学而言是十分必要的。

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

[2]张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆：西南师范大学出版社，1995.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社，2006.

[4]梧静.中学数学竞赛中二次多项式与二次函数问题的研究[D].广东：广州大学，2011.

基金项目：国家自然科学基金项目（11361065）；吉林省自然科学基金项目（201215239）。

通讯作者：陶元红（1973-），女，博士，副教授。endprint

（3）属于存在性问题，坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？这就需要我们从脑海中提取出基础知识，三角形相似应该满足什么条件，接着再去研究看看满足条件的点是否唯一。研究看似不算太难，但是在解决这类问题时，容易漏解，所以我们应该学会分类讨论，按照P点的不同位置进行分类，进而去解决问题。连接AC，可知Rt△COA～Rt△BCD，得符合条件的点O（0，0）。过A作AP1⊥AC交y轴正半轴与P1，可知Rt△CAP1～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合条件的点为P1（0，■）；再过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2，可知Rt△P2CA～Rt△COA～Rt△BCD，求得符合条件的点为P2（9，0）；所以符合条件的点有3个：O（0，0），P1（0，■），P2（9，0）。

总结：此题为二次函数与相似的运动综合题，运动问题既考查运算能力又考查推理能力，因其灵活多变性广受欢迎，几乎所有的中考中都涉及，此类题可以考查等边三角形、平行四边形、等腰梯形、相似三角形、圆以及二次函数最值等几乎所有知识，解决的策略是“动中取静”，找出运动中不变的元素，建立等量关系等。本题体现了数形结合的思想、转化的思想（几何问题转化为代数问题）、分类讨论的思想（按照位置的不同分类），灵活运用这些数学思想是解决本题的关键。

本文通过实例阐明了求二次函数解析式的一般方法，并且举出了二次函数综合题的典型例题，并且举一反三，同时对各题进行解析与分析、思路讲解、总结解题方法。典型题中蕴含着许多的知识点，通过对典型题的研究可以让同学们更深层次的理解和消化知识，并达到举一反三、触类旁通的效果。对典型题进行研究是学好数学的重要方法之一，这将有助于同学们思维能力的训练。所以典型题的研究对中学教学而言是十分必要的。

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.

[2]张庆林.当代认知心理学在教学中的应用[M].重庆：西南师范大学出版社，1995.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社，2006.

[4]梧静.中学数学竞赛中二次多项式与二次函数问题的研究[D].广东：广州大学，2011.

基金项目：国家自然科学基金项目（11361065）；吉林省自然科学基金项目（201215239）。

通讯作者：陶元红（1973-），女，博士，副教授。endprint