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“解题后反思”习惯的培养

2014-08-27林志光

考试周刊 2014年50期
关键词:习惯培养数学教学

林志光

摘 要: 新形势下的数学教学,旨在提高学生的学习效率,培养解题后的反思习惯,帮助学生总结经验,发现规律,形成技能与技巧,还能触类旁通,从而有效提高学习效率.

关键词: 解题后反思 习惯培养 数学教学

解题是数学的精髓,也是学习数学的核心.一个数学问题成功解答,不仅需要学生对有关知识和数学技能的深刻认识和理解,还要与所学知识、数学经验与方法有机结合起来,从而形成并掌握一定的解题策略.在实际的数学教学中,一部分老师和学生往往只注重解题数量,忽视了解题质量,致使部分学生陷入茫茫题海中,且效果不佳.其实,一道数学习题的解答成功与否,不在于数学习题本身的复杂程度,而是取决于是否掌握了正确的思维方法,即探索解题的思维方法和程序.学生解题时常有审题不确,概念不清,忽视条件,套用相近的知识,考虑不周或计算出错等错误,即解题时往往不能保证一次性正确和完善,所以解题后必须对解题过程进行必要的回顾与评价,对结论的正确性和合理性进行验证.一些学生把完成作业当成任务,解完题后就万事大吉,头也不回,扬长而去,由此产生大量谬误,导致学习效率低下.究其原因,就是没有良好的数学思维品质,没有养成解题后反思习惯.美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说:“数学问题的解决仅仅是一半,更重要的是解题之后的回顾.”因此,要有效地培养数学解题能力,解题后反思是一个不可缺少的重要环节,进行解题后反思,能帮助我们总结经验,发现规律,形成技能与技巧,还能触类旁通,有效提高学习效率.那么如何培养学生解题后的反思习惯?

一、让学生明确反思的意义和作用

数学的学习是思维方法的学习,对一道数学习题,学生关心的不是现成的解法或答案,而是关心怎样想到的,怎样才能想到.如果一道习题解答成功了,就要知道是怎样想到的,以后遇到这样的问题应怎样思考.如果解题失败了,就要找出失败的原因,以后遇到这样的问题时应注意什么.反思往往能思出方法,思出技能.因此,解题后反思,实际上是一个知识小结、方法提炼的过程,是一个吸取教训、逐步提高的过程,是一个收获期望的过程.通过解题后反思,能发展数学思维,并能将新的方法和知识构建在已有的知识体系上,通过解后反思,能增强自我学习意识,自我指导,自我批评能力,不断对学习进行纠错、创新,从而有效提高数学思维能力和解题能力.

二、激发学生反思的动力

一是要不断激发学生的内部动力.学生都希望自己的学习成绩优秀,希望能考出令自己、老师、家长满意和令同学嫉妒的成绩,在解题后希望自己的答案是正确的,方法是的新的,因此,对学生的独特、新颖的解法要及时给予激励,对能提出不同解法的学生要不断鼓励,激发他们继续反思与探索;二是给他们一些外部动力,如在上课过程中,在完成例题后留一定的时间让他们反思,在小结过程中让他们反思回顾本节所学内容,在作业错误后让学生及时订正反思等.努力促进他们将外部外力转化为内部动力,主动反思整个解题过程,这样必将大大提高他们的数学思维能力.

三、指导解题后反思方向

解题是获得知识和技能的重要途径,解题后能及时总结反思,必能收到事半功倍之效.那么,解题后怎样反思?反思什么呢?

1.思方法

解题后总结一下解题方法,归纳一下解技巧,有利于牢固掌握这种方法,培养触类旁通、举一反三的能力.

例1:如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证:EO=FO;

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

证明:(1)∵MN∥BC,

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE,∴∠FEC=∠ACE,

∴OE=OC.同理可证OF=OC,∴OE=FO.

(2)当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB,CF平分∠BCA的外角,

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由(1)得OE=OF,又∵O为AC的中点,∴AO=CO.

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠ECF=90°,

∴四边形AECF是矩形.

此题中有角平分线和平行这两个条件,由这两个条件,得到△OCE和△OCF为等腰三角形,从而得OE=OF.通过这道题我们发现,只要有平行和角平分线这两个条件,一般都可构造出等腰三角形,思出了方法,以后遇到有类似条件的问题,就可以这样联想了.

2.思变化

例2:已知:如图,PA切⊙O于A点,割线PCB交⊙O于C、B两点,D是线段BP上一点,且PD =PB×PC,直线AD交⊙O于E点.

1.求证:AD平分∠BAC;

2.求证:AB×AC=AD×AE.

若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”,则题(2)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

3.思学法

解题之后要及时归纳,要对做过的习题进行归类:把题目相似但解法明显不同甚至截然相反的归为一类,分析解法不同的原因,方法上应怎样进行改进;把题目虽然不同但解法相似的归为一类,分析为什么;还要总结常见题型的常用方法及解题要点:不同题型解法上的差异.有的学生能做对同类型的几道题,可一旦变换解题情景,变换设问角度,便无从下手.这就需要通过分析、反思,总结出解该类型题目的一般思路和方法.

总之,培养学生解题后的反思习惯,能促进学生对所学知识和技能的深化理解,也能促进学生所学知识与能力的相互转化.

参考文献:

[1]数学课程标准解读.

[2]中国数学教育初中版,2011.

[3]中学数学杂志.endprint

摘 要: 新形势下的数学教学,旨在提高学生的学习效率,培养解题后的反思习惯,帮助学生总结经验,发现规律,形成技能与技巧,还能触类旁通,从而有效提高学习效率.

关键词: 解题后反思 习惯培养 数学教学

解题是数学的精髓,也是学习数学的核心.一个数学问题成功解答,不仅需要学生对有关知识和数学技能的深刻认识和理解,还要与所学知识、数学经验与方法有机结合起来,从而形成并掌握一定的解题策略.在实际的数学教学中,一部分老师和学生往往只注重解题数量,忽视了解题质量,致使部分学生陷入茫茫题海中,且效果不佳.其实,一道数学习题的解答成功与否,不在于数学习题本身的复杂程度,而是取决于是否掌握了正确的思维方法,即探索解题的思维方法和程序.学生解题时常有审题不确,概念不清,忽视条件,套用相近的知识,考虑不周或计算出错等错误,即解题时往往不能保证一次性正确和完善,所以解题后必须对解题过程进行必要的回顾与评价,对结论的正确性和合理性进行验证.一些学生把完成作业当成任务,解完题后就万事大吉,头也不回,扬长而去,由此产生大量谬误,导致学习效率低下.究其原因,就是没有良好的数学思维品质,没有养成解题后反思习惯.美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说:“数学问题的解决仅仅是一半,更重要的是解题之后的回顾.”因此,要有效地培养数学解题能力,解题后反思是一个不可缺少的重要环节,进行解题后反思,能帮助我们总结经验,发现规律,形成技能与技巧,还能触类旁通,有效提高学习效率.那么如何培养学生解题后的反思习惯?

一、让学生明确反思的意义和作用

数学的学习是思维方法的学习,对一道数学习题,学生关心的不是现成的解法或答案,而是关心怎样想到的,怎样才能想到.如果一道习题解答成功了,就要知道是怎样想到的,以后遇到这样的问题应怎样思考.如果解题失败了,就要找出失败的原因,以后遇到这样的问题时应注意什么.反思往往能思出方法,思出技能.因此,解题后反思,实际上是一个知识小结、方法提炼的过程,是一个吸取教训、逐步提高的过程,是一个收获期望的过程.通过解题后反思,能发展数学思维,并能将新的方法和知识构建在已有的知识体系上,通过解后反思,能增强自我学习意识,自我指导,自我批评能力,不断对学习进行纠错、创新,从而有效提高数学思维能力和解题能力.

二、激发学生反思的动力

一是要不断激发学生的内部动力.学生都希望自己的学习成绩优秀,希望能考出令自己、老师、家长满意和令同学嫉妒的成绩,在解题后希望自己的答案是正确的,方法是的新的,因此,对学生的独特、新颖的解法要及时给予激励,对能提出不同解法的学生要不断鼓励,激发他们继续反思与探索;二是给他们一些外部动力,如在上课过程中,在完成例题后留一定的时间让他们反思,在小结过程中让他们反思回顾本节所学内容,在作业错误后让学生及时订正反思等.努力促进他们将外部外力转化为内部动力,主动反思整个解题过程,这样必将大大提高他们的数学思维能力.

三、指导解题后反思方向

解题是获得知识和技能的重要途径,解题后能及时总结反思,必能收到事半功倍之效.那么,解题后怎样反思?反思什么呢?

1.思方法

解题后总结一下解题方法,归纳一下解技巧,有利于牢固掌握这种方法,培养触类旁通、举一反三的能力.

例1:如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证:EO=FO;

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

证明:(1)∵MN∥BC,

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE,∴∠FEC=∠ACE,

∴OE=OC.同理可证OF=OC,∴OE=FO.

(2)当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB,CF平分∠BCA的外角,

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由(1)得OE=OF,又∵O为AC的中点,∴AO=CO.

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠ECF=90°,

∴四边形AECF是矩形.

此题中有角平分线和平行这两个条件,由这两个条件,得到△OCE和△OCF为等腰三角形,从而得OE=OF.通过这道题我们发现,只要有平行和角平分线这两个条件,一般都可构造出等腰三角形,思出了方法,以后遇到有类似条件的问题,就可以这样联想了.

2.思变化

例2:已知:如图,PA切⊙O于A点,割线PCB交⊙O于C、B两点,D是线段BP上一点,且PD =PB×PC,直线AD交⊙O于E点.

1.求证:AD平分∠BAC;

2.求证:AB×AC=AD×AE.

若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”,则题(2)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

3.思学法

解题之后要及时归纳,要对做过的习题进行归类:把题目相似但解法明显不同甚至截然相反的归为一类,分析解法不同的原因,方法上应怎样进行改进;把题目虽然不同但解法相似的归为一类,分析为什么;还要总结常见题型的常用方法及解题要点:不同题型解法上的差异.有的学生能做对同类型的几道题,可一旦变换解题情景,变换设问角度,便无从下手.这就需要通过分析、反思,总结出解该类型题目的一般思路和方法.

总之,培养学生解题后的反思习惯,能促进学生对所学知识和技能的深化理解,也能促进学生所学知识与能力的相互转化.

参考文献:

[1]数学课程标准解读.

[2]中国数学教育初中版,2011.

[3]中学数学杂志.endprint

摘 要: 新形势下的数学教学,旨在提高学生的学习效率,培养解题后的反思习惯,帮助学生总结经验,发现规律,形成技能与技巧,还能触类旁通,从而有效提高学习效率.

关键词: 解题后反思 习惯培养 数学教学

解题是数学的精髓,也是学习数学的核心.一个数学问题成功解答,不仅需要学生对有关知识和数学技能的深刻认识和理解,还要与所学知识、数学经验与方法有机结合起来,从而形成并掌握一定的解题策略.在实际的数学教学中,一部分老师和学生往往只注重解题数量,忽视了解题质量,致使部分学生陷入茫茫题海中,且效果不佳.其实,一道数学习题的解答成功与否,不在于数学习题本身的复杂程度,而是取决于是否掌握了正确的思维方法,即探索解题的思维方法和程序.学生解题时常有审题不确,概念不清,忽视条件,套用相近的知识,考虑不周或计算出错等错误,即解题时往往不能保证一次性正确和完善,所以解题后必须对解题过程进行必要的回顾与评价,对结论的正确性和合理性进行验证.一些学生把完成作业当成任务,解完题后就万事大吉,头也不回,扬长而去,由此产生大量谬误,导致学习效率低下.究其原因,就是没有良好的数学思维品质,没有养成解题后反思习惯.美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说:“数学问题的解决仅仅是一半,更重要的是解题之后的回顾.”因此,要有效地培养数学解题能力,解题后反思是一个不可缺少的重要环节,进行解题后反思,能帮助我们总结经验,发现规律,形成技能与技巧,还能触类旁通,有效提高学习效率.那么如何培养学生解题后的反思习惯?

一、让学生明确反思的意义和作用

数学的学习是思维方法的学习,对一道数学习题,学生关心的不是现成的解法或答案,而是关心怎样想到的,怎样才能想到.如果一道习题解答成功了,就要知道是怎样想到的,以后遇到这样的问题应怎样思考.如果解题失败了,就要找出失败的原因,以后遇到这样的问题时应注意什么.反思往往能思出方法,思出技能.因此,解题后反思,实际上是一个知识小结、方法提炼的过程,是一个吸取教训、逐步提高的过程,是一个收获期望的过程.通过解题后反思,能发展数学思维,并能将新的方法和知识构建在已有的知识体系上,通过解后反思,能增强自我学习意识,自我指导,自我批评能力,不断对学习进行纠错、创新,从而有效提高数学思维能力和解题能力.

二、激发学生反思的动力

一是要不断激发学生的内部动力.学生都希望自己的学习成绩优秀,希望能考出令自己、老师、家长满意和令同学嫉妒的成绩,在解题后希望自己的答案是正确的,方法是的新的,因此,对学生的独特、新颖的解法要及时给予激励,对能提出不同解法的学生要不断鼓励,激发他们继续反思与探索;二是给他们一些外部动力,如在上课过程中,在完成例题后留一定的时间让他们反思,在小结过程中让他们反思回顾本节所学内容,在作业错误后让学生及时订正反思等.努力促进他们将外部外力转化为内部动力,主动反思整个解题过程,这样必将大大提高他们的数学思维能力.

三、指导解题后反思方向

解题是获得知识和技能的重要途径,解题后能及时总结反思,必能收到事半功倍之效.那么,解题后怎样反思?反思什么呢?

1.思方法

解题后总结一下解题方法,归纳一下解技巧,有利于牢固掌握这种方法,培养触类旁通、举一反三的能力.

例1:如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.

(1)求证:EO=FO;

(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论.

证明:(1)∵MN∥BC,

∴∠FEC=∠BCE.

∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE,∴∠FEC=∠ACE,

∴OE=OC.同理可证OF=OC,∴OE=FO.

(2)当O运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.

∵CE平分∠ACB,CF平分∠BCA的外角,

∴∠ECF=∠ECA+∠FCA= ×180°=90°.

由(1)得OE=OF,又∵O为AC的中点,∴AO=CO.

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵∠ECF=90°,

∴四边形AECF是矩形.

此题中有角平分线和平行这两个条件,由这两个条件,得到△OCE和△OCF为等腰三角形,从而得OE=OF.通过这道题我们发现,只要有平行和角平分线这两个条件,一般都可构造出等腰三角形,思出了方法,以后遇到有类似条件的问题,就可以这样联想了.

2.思变化

例2:已知:如图,PA切⊙O于A点,割线PCB交⊙O于C、B两点,D是线段BP上一点,且PD =PB×PC,直线AD交⊙O于E点.

1.求证:AD平分∠BAC;

2.求证:AB×AC=AD×AE.

若把题中条件“D是线段BP上一点”改为“D是线段BP延长线上一点”,则题(2)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

3.思学法

解题之后要及时归纳,要对做过的习题进行归类:把题目相似但解法明显不同甚至截然相反的归为一类,分析解法不同的原因,方法上应怎样进行改进;把题目虽然不同但解法相似的归为一类,分析为什么;还要总结常见题型的常用方法及解题要点:不同题型解法上的差异.有的学生能做对同类型的几道题,可一旦变换解题情景,变换设问角度,便无从下手.这就需要通过分析、反思,总结出解该类型题目的一般思路和方法.

总之,培养学生解题后的反思习惯,能促进学生对所学知识和技能的深化理解,也能促进学生所学知识与能力的相互转化.

参考文献:

[1]数学课程标准解读.

[2]中国数学教育初中版,2011.

[3]中学数学杂志.endprint

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