某些双曲方程组关于η(uε)t+q(uε)x的H-1紧性

陈 羿,郝 鹏,陆云光

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

1 正 文

在以下定理中，Murat给出了证明η(uε)t+q(uε)x的H-1紧性的标准方法.

证明过程见参考文献[2].

下面来看如何利用上述的定理证明标量方程关于η(uε)t+q(uε)x的H-1紧性.首先，在标量方程的右端加上黏性项

ut+f(u)x=εuxx,

(1)

存在有界可测初值

u(x,0)=u0(x),

(2)

对每个固定的ε，因为初值在L∞空间中有界，则由抛物型方程的极值原理知，黏性解uε有先验L∞估计：

||uε(x,t)||L∞≤||u0(x)||L∞,

(3)

这表明了t>0时，uε的存在性，见参考文献[2].

(4)

因而,

(5)

对任意熵η∈C2，由方程(1)可得

(6)

其中，q是相应于熵η的熵流.

对于非线性双曲方程组

ut+f(u,v)x=0,vt+g(u,v)x=0,

(7)

我们同样在方程组(7)的右端添加黏性项，接着研究抛物型方程组

ut+f(u,v)x=εuxx,vt+g(u,v)x=εvxx,

(8)

存在有界可测初值

(u(x,0),v(x,0))=(u0(x),v0(x))

(9)

的柯西问题.

对每一个固定的ε，假设解(uuε,vε)一致有界:

|uε|≤M, |vε|≤M.

如果方程组(7)有一严格凸熵η(u,v)，则有

(10)

或者

(11)

其中c0是一个正的常数.运用证明结论(5)的相同技巧，有

(12)

从而对任意光滑的熵-熵流(η,q)，可证明η(uε)t+q(uε)x的H-1紧性.

此处还有些例外.

1.对某些方程组，我们不容易得到一个严格凸熵.

2.对某些方程组，建立的熵-熵流不光滑或者不在C2空间内.

例1研究特殊的二次流方程组

(13)

带有界可测初值

(u(x,0),v(x,0))=(u0(x),v0(x)) (v0(x)≥0)

(14)

的柯西问题广义解的存在性，更多结果见参考文献[3-4].

令映射F:2→2定义为

则

其特征方程为

λ2-4uλ+3u2-v2=0.

于是方程组(13)的两个特征值为

(15)

其相应的右特征向量为

其中s=u2+v2.

方程组(13)的黎曼不变量w(u,v)与z(u,v)为满足

(16)

的函数.方程组(16)的一个解为

经过简单计算,我们有

(17)

因此由式(15)知在(0,0)点λ1=λ2,从而方程组(13)在该点非严格双曲;而且由式(17)知第一、二特征场分别在v=0,u≥0和v=0,u≤0上线性退化.

即

(18)

(19)

由黎曼不变量的定义,容易验证

▽w(u,v)·dF(u,v)=λ2▽w(u,v),▽z(u,v)·dF(u,v)=λ1▽z(u,v).

(20)

(21)

注意到

即得下述形式的熵方程:

(22)

作从(u,v)到(u,s)的变量变换,令

则由链式法则有

于是熵方程(19)变为简单的方程:

ηss=1/4s·ηu u.

(23)

因而相应于熵η的熵流q满足

qu=2uηu+2sηs.

(24)

若函数η=h(s)eku(k∈+)为方程(23)的解,则

(25)

这是经典的Fuchsian方程.

方程(25)具有一个下述级数形式的解:

(26)

其中系数c0为任意正常数,cn满足

于是由二阶线性常微分方程理论知

(27)

为方程(25)的一个与φ1(r)线性无关的解.

若ηk=a(s)φ(r)eku,则由(24)得

从而相应于熵ηk的一个熵流qk为

令η-k=a(s)φ(r)e-ku,则由(24),相应于熵η-k的一个熵流q-k为

关于Fuchsian方程

φ″(r)-(1+c/r2)φ(r)=0 (c∈)

(28)

的两个解φ1(r)和φ2(r)在无穷远处的性态,我们有下述引理:

(29)

(30)

其中c1与c2是适当的正常数.

证明过程见参考文献[2].

(31)

而

(32)

进一步，

(33)

由于

(34)

因此

(35)

(36)

(37)

有

(38)

(39)

现在回到式(38)，就有

例2欧拉坐标系下的等熵气体动力学方程组

(40)

带有界可测初值

(ρ(x,0),u(x,0))=(ρ0(x),u0(x)),

(41)

的柯西问题.其中，ρ和u分别表示气体的密度和速度，ρ0(x)>0,P=P(ρ)是压强，详见文[5].

对于多方气体，P取特殊形式P(ρ)=cργ，其中γ>1，c是任意正常数，其任意弱熵可以用以下显式公式表示:

(42)

用(η0ρ,q0ρ)乘下面的抛物型方程组

(43)

有

(44)

其中q0是相应于η0的熵流.然后利用严格凸熵

(45)

我们首先得到

(46)

(47)

现在我们研究更一般压强P(ρ)的H-1下的紧性.我们构造一列正则的双曲方程组

(48)

来接近方程组(40),式(48)中的δ>0表示一个正则扰动常数，而扰动压强

(49)

函数P(ρ)∈C2(0,∞)满足

P′(ρ)>0, 2P′(ρ)+ρP″(ρ)>0, ∀ρ>0.

经过简单计算,方程组(48)的两个特征值为

其相应的右特征向量为

方程组(48)的两个黎曼不变量是

其中m=ρu.此外

因此对固定的δ>0,方程组(48)在区域ρ>2δ内严格双曲而在ρ=2δ上非严格双曲;并且两个特征场都在区域ρ≥2δ上真正非线性.

就光滑解而言，方程组(48)等价于如下系统

(50)

特别地，这两个方程组有着相同的熵-熵流.因此方程组(48)的任一熵-熵流(η(ρ,m),q(ρ,m))满足方程组

(51)

从(51)中消去q得

(52)

考虑相关抛物方程组

(53)

带初值

(ρ(x,0),u(x,0))=(ρ0(x)+2δ,u0(x)).

(54)

的柯西问题.

容易验证方程组(40)或(48)有个凸熵

(55)

及相应的熵流

(56)

ε(ρx,mx)·▽2η*(ρ,m)·(ρx,mx)T

(57)

(58)

(59)

设(η(ρ,u),q(ρ,u)),(η(ρ,u),q1(ρ,u,δ))分别为方程组(40),(48)的熵-熵流，这是因为它们和(53)熵相同但是熵流不同.用(ηρ,ηu)乘(59),得

(60)

如果(40)的弱熵有形式η(ρ,u)=ρH(ρ,u),其中H(ρ,u)是任一光滑函数.所以由熵方程(52)得

(61)

其中g(u)是任一光滑函数.上式两端关于ρ积分有

(62)

这是因为η(0,u)=0.所以

(63)

(64)

把等式(63),(64)代入(60)并利用熵方程(52)得

η(ρε,mε)t+q(ρε,mε)x=I1+I2+I3,

(65)

其中

I1=εη(ρε,mε)xx-(q1(ρε,mε,δ)-q(ρε,mε))x,

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

其中e≥0是常数.利用Vol’pert定理和(70)中给定的极限，有以下估计

(71)

(72)

注1我们只能证明形式为η(ρ,u)=ρH(ρ,u)的弱熵的H-1紧性.对于η(0,u)=0的一般弱熵，H-1紧性仍不明显.

例3研究非线性非严格双曲方程组

(73)

带有界可测初值

(ρ(x,0),u(x,0))=(ρ0(x),u0(x)),ρ0(x)≥0,

(74)

通过简单计算，得到方程组(73)的两个特征值：

λ1=u-θρθ,λ2=u+θρθ

(75)

其相应的右特征量为

r1=(1,-θρθ-1)T,r2=(1,θρθ-1)T;

(76)

其相应的两个黎曼不变量为

z=u-ρθ,w=u+ρθ;

(77)

且

(78)

因此，由式(75)知直线ρ=0上λ1=λ2，从而方程组(73)非严格双曲，由式(78)知γ>3时两个特征场都在ρ=0上线性退化.当1<γ<3时，在ρ=∞上线性退化.

方程组(73)的任一熵-熵流(η(ρ,u),q(ρ,u))满足方程组

(79)

消去q得

ηρρ=θ2ργ-3ηu u.

(80)

现在考虑相关的抛物型方程组

(81)

带初值(74)的柯西问题.

分别用(wρ,wu)和(zρ,zu)乘方程(81)，得

(82)

和

(83)

若把(82)和(83)分别视为变量w和z的不等式，则利用极值原理得到估计w(ρε,uε)≤M,z(ρε,uε)≥-M,利用(81)的第一个方程得到ρ≥0.这表明

∑={(ρ,u):w(ρ,u)≤M,z(ρ,u)≥-M,ρ≥0}

是方程组(81)的一个不变域.因此可得到估计0≤ρε≤M1，||uε||≤M1，M1为不依赖于ε的适当常数.

方程组(73)的一类弱熵由

(84)

给出，相应于η0的弱熵流q0则为

(85)

方程组(73)的两类强熵则由如下给出：

(86)

相应于η±的强熵流q±则为

(87)

其中g(ξ)是(-∞,∞)中具有紧支集的光滑函数，且基本解为

(88)

定理2对于柯西问题(81)和(74)的黏性解(ρε(x,t),uε(x,t))，设方程组(73)的熵η(ρ,u)满足

(89)

在0≤ρ≤M1,|u|≤M1上有界，则当ε→0时，

η(ρε(x,t),uε(x,t))t+q(ρε(x,t),uε(x,t))x

(90)

证明利用熵方程(80)可得到方程组(73)的一个凸熵.

(91)

ε(ρx,ux)·▽2η*(ρ,u)·(ρx,ux)T

(92)

(93)

利用熵方程(80)及条件ηρ(0,u)=0，有

(94)

(95)

因此，

(96)

其中M,M2是正常数.

用(η(ρ,u)ρ,η(ρ,u)u)乘(81)得

(97)

利用(96)的第一个估计式和(93)以及ηu的有界性，有

(98)

利用(96)的第二个估计式和(93),并注意到ηu u有界及ηρρ=θ2ργ-3ηu u，有

(99)

定理3对于柯西问题(81)和(74)的黏性解(ρε(x,t),uε(x,t))，当ε→0

ηj(ρε(x,t),uε(x,t))t+qj(ρε(x,t),uε(x,t))x,(j=1,2,3)

(100)

(101)

(102)

η±,η0由(84),(86)给出，qj是相应于ηj的熵流.

证明仅证明(η1,q1)的情况，(ηj,qj),j=2,3的证明过程类似.令τ=ξ-w，则

(103)

因此

(104)

因为-1<2λ<0，所以上式右端第一项当ρ→0时趋于0，在(104)右端的第二项中，令τ=ρθs，则有

(105)

这是由于(ρθ)2λ+1ρ-1=1，所以

(106)

类似地，有

(107)

因此

(108)

所以

(109)

于是把(106)和(109)结合就有η1(ρ,u)ρ|ρ=0=0.显然η1关于变量u光滑，所以利用定理2即得到定理3的证明.

例4带松弛与扩散的一般2×2拟线性守恒律

(110)

带可测初值

(v,u)|t=0=(v0(x),u0(x))

(111)

的柯西问题关于刚性松弛与控制扩散的奇异极限.(110)中的第二个方程包含一个松弛装置，h(v)是u的平衡值，τ是松弛时间；ε是扩散系数.松弛项在一些适当坐标系下的系统中起阻尼作用.

定理4设f,g∈C1(R2),h∈C2(R)且τ=o(ε)(ε→0).如果柯西问题(110)-(111)的解(vε,uε)对任意给定的时间T有先验L∞界：

|(vε,uε)(x,t)|≤M(T), (x,t)∈R×[0,T],

(112)

其中，常数M(T)>0与ε无关，那么存在子列(vεk,uεk)，当εk→0.时，强收敛于(v,u).

当使用补偿列紧方法证明定理4时，主要技巧在于证明以下估计.

引理2若柯西问题(110)-(111)的解有先验L∞界(112)且f,g∈C1(R2),h∈C2(R)，则

(113)

如果M1τ≤ε对某个大常数M1>0.

证明过程见参考文献[2].

定理4的证明我们把方程组(110)中的第一个方程改写为:

vt+f(v,h(v))x=εvxx+(f(v,h(v))-f(v,u))x.

(114)

设(η(v),q(v))是标量方程

vt+f(v,h(v))x=0

的任一熵-熵流,则用η′(v)乘方程(114),我们有

(115)

其中γi(i=1,2)在u与h(v)之间取值.

由(113)中的估计式,在任意紧集Ω⊂×+上有

因此由关于标量方程的紧性框架即得{vε}的强收敛性.再由(113)中的第二个估计可得{uε}的强收敛性.这就完成了定理4的证明.

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