L-拓扑空间中Starplus-紧性的刻画*

李敏静，张彬林，田国华，郭秀颖

(黑龙江工程学院)

0 引言

Gantner等人于1978年在L-拓扑空间中引入α-紧性的概念［1］．凭借 α-紧性，当 L=［0，1］时，Lowen 给出了强模糊紧性的概念［2］．在这之后，Li和 Wang又先后把强模糊紧性的概念推广到一般的模糊集和 L-模糊集［3-5］．Starplus-紧性的概念于2001年被引入到一般的模糊集［6］．Starplus-紧性是一种概括化的强模糊紧性［2］，但是它又不同于强模糊紧性，具体讨论可参考文献［4，7］．尽管在文献［4，7］中提到，Starplus-紧性并不如强模糊紧性那样理想，但它仍有许多良好特性．

Starplus-紧性的定义是建立在这一事实基础上，即假定在［0，1］拓扑中而不是一般拓扑中，文献［8］将Starplus-紧性的定义推广到L-拓扑空间中，并且给出了它的性质及相关理论，可是并没有给出它的本质特征．因此，该文将给出Starplus-紧性的两种刻画．

1 预备知识

设X为一个非空集合，LX为在X上所有L-模糊集的集合，由定义∨、∧、≤当LX继承了点阵L的结构，则它也是一个模糊点阵．在LX中由0和1分别表示最大和最小的元素．在L中，P(L)表示所有非单位素元的集合，M(L)表示所有非零素元的集合．在LX中M(LX)表示所有非零素元的集合．

一个L-拓扑空间也简记为L-ts．假定e≤/P．一个封闭L-模糊集被称作属于e∈M的远邻域．如果U'是一个属于e的R-nbd，则一个开放的L-集U被称作属于e∈M(LX)的半开邻域(或简记为 Q-nbd)．对于每一个 e∈M(LX)，所有封闭的自然数(e)的R-nbd集合表示为n'(e)．

定义1．1［4］对于一个拓扑空间(X，T)，如果WL(T)是所有从(X，T)到L的较低级的不完全连续的(W，WL(T))，那么WL(T)称为在L上的L-拓扑．

定义1．2［9-10］设 A ∈ LX，且 α∈ L，定义:

A(α)={x∈ X|A(x)≥ α}，

A(α)={X ∈ X|A(x)≤ α}．

易知，对于每一个α∈M和每一个A∈LX，可得(A(α))'=(A')(α)．

定义1．3 设(x，δ)是一个L-ts，G∈LX，如果 G(α)在(X，δ(α))对于每一个 α ∈ P(L)，则 G被称为Starplus-紧．如果是Starplus-紧，(X，δ)被称为Starplus-紧．

显然，定义1．3是一种概括化的Starplus-紧性［6］．

定义1．4 对于A∈LX，若∀n∈D，s(n)≤/A'，一个网络系S={S(n)|n∈D}被叫做与A半相符．

定义 1．5 设(X，δ)是一个 L-ts，α ∈M(l)，且 G∈ LX．若对于每一个模糊点 Xα，且α≤G'(x)，属于δ的A的分支A被称作G的Qα-开的半封闭，存在A∈A，且 Xα≤A'．若β⊂A，且β也是G的Qα-开的半封闭，则β被称作A的Qα-开的半准封闭．

2 Starplus-紧性的特征

这一节中，给出了如下Starplus-紧性的刻画．

定理2．1 设(X，δ)是一个 L-ts，且 G∈LX．那么G是Starplus-紧的，当且仅当对每一个α∈M(L)，每个G的Qα-开的半封闭具有有限的Qα-开的半准封闭．

证明 ⇒假定G是Starplus-紧的，且A是个G的Qa-开的半封闭，那么容易证明在(X，δ(α))内，A(α')={A(α')|A ∈ A}是 G(α')的开封闭．根据G的Starplus-紧性，可知A具有有限的亚 β 体系，这样 β(α')={B(α')|B ∈ B}是在(X，δ(α))内的 G(α')的开封闭．这就意味着 β是 A 的有限的Qα-开的半准封闭．

⇐假定对于每一个α∈M(L)，每个G的Qα-开的半封闭具有有限的Qα-开的半准封闭，且μ是个G(α')的半封闭，那么存在一个δ的亚科A，这样μ ={A(α')|A∈A}．显而易见，A是 G的Qα-开的半封闭．所以，A具有有限的Qα-开的半准封闭 β．由此可知 β(α')={B(α')|B ∈ B}是个μ的有限的开准封闭．这就意味着在(X，δ(α))内G(α')是紧的．因此，G是Starplus-紧．

定理2．2 设(X，δ)是一个 L-ts，且 G∈LX．那么G是Starplus-紧的，当且仅当对每一个α∈M(L)，每个与G连续的半符合α-网格具有一个簇点Xα与G半符合．

证明 ⇐假定对于每一个α∈M(L)，每个和G的半符合连续的α-网格具有一个簇点Xα与G半符合．为了证明G是Starplus-紧的，将一个网格系统{S(n)}n∈D放入 G(b)，b ∈ P(L)，那么{S(n)}n∈D是与G半符合的连续的b'-网格系统，其中，{S(n)}b'表示受点和高b'支持的一个模糊点．这样，它就具有一个与G半符合的簇点xb'，显然，x∈G(b)．现在证明x是一个在(X，δ(b))，中的{S(n)}∈D的簇点:假设A是在(X，δ(b))中的x开邻域，那么存在一个在(X，δ)内的开L-集U，这样A=U(b)．显然，U是xb'的开半邻域．既然xb'是一个{S(n)}n∈D的簇点，{S(n)}n∈D经常与 U 半符合，这就意味着{S(n)}n∈D时常在U(b)=A中．所以，x是一个在(X，δ(b))中的{S(n)}n∈D的一个簇点，这表明G(b)是紧性，因此，G是Starplus-紧．

⇒假定G是Starplus-紧的，α∈M(L)，且{S(n)}n∈D是与G半符合的连续的δ-网格系统．那么，{S(n)}n∈D是在 G(α')内的一个网格系统．由于G是 Starplus-紧，可知，G(α')是紧的．这样，{S(n)}n∈D有一个簇点x∈G(α')．由此，xα是在(X，δ)内的{S(n)}n∈D的一个簇点，且它与G半符合．

［1］ Gantner T E，Steinlage R C，Warren R H．Compactness in fuzzy topological spaces［J］．J Math Appl，1978，62:547-562．

［2］ Lowen R A．Comparison of different compactness notions in fuzzy topological spaces［J］．J Math Appl，1978，64:446-454．

［3］ Li Z F．Compactness in fuzzy topological spaces［J］．Bulletin in China，1984，29:321-323．

［4］ Wang G J．Theory of L-fuzzy topological spaces［M］．Xian:Shanxi Normal University Publisher，1988．

［5］ Wang G J．Generalized topological molecular lattices［J］．Science in China，1983，A，26(12):1063-1072．

［6］ Kohli J K，Prasannan A R．Starplus-compactness and Starplus-compact open fuzzy topological on function spaces［J］．J Math Anal Appl，2001，254:87-100．

［7］ Liu Y M，Luo M K．Fuzzy topology［M］．Singapore:World Scientific Publishing，1997．

［8］ Shan J．Starplus-Compactness In L-topological spaces［J］．Natural Sciences Journal of Harbin Normal University，2005，21(5):11-13．

［9］ Shi F G．Theory of-nested sets and-nested sets and applications［J］．Fuzzy Systems and Mathematics，1995，9(4):65-72．

［10］ Shi F．G．L -Fuzzy set and prime element nest［J］．J Mathematical Research and Exposition，1996，16(3):398-402．