Mathematica在理论力学教学中的应用

杨 硕，谢文海，霍 飒

(大连大学 物理科学与技术学院, 辽宁 大连 116622)

Mathematica在理论力学教学中的应用

杨 硕，谢文海，霍 飒

(大连大学 物理科学与技术学院, 辽宁 大连 116622)

理论力学是很多理工科专业开设的一门必修基础课。理论力学知识内容具有高度的抽象性特点，涉及复杂的高等数学计算。将Mathematica软件引入理论力学教学能简化复杂的高数计算，方便物理图像展示，优化教学过程并提高教学效果。以轻质弹簧连接的两质点的运动和欧拉角为例，讨论Mathematica的符号数值计算和可视化实现在理论力学教学中的运用，探讨如何运用Mathematica软件辅助理论力学教学。

Mathematica;理论力学;教学

0 引言

理论力学[1～2]是研究物体机械运动基本规律的科学。理论力学课程是物理、机械、建筑等理工类专业的一门必修基础课。理论力学相关物理问题的求解多以高等数学为基础工具，例如质点运动描述通常是质点坐标关于时间的二阶常微分方程组；刚体的转动动能和角动量涉及惯量张量的矩阵运算。这些问题的求解需要严密的推导和复杂的数学运算。学生普遍感觉理论力学课程学习枯燥且难度大。学生在理论力学问题求解和理论力学课程学习中表现出两类倾向,一类学生对物理背景理解较深刻，但厌烦繁琐的高数推导计算;另一类学生过于专注于数学推导计算，对物理图像缺乏理解。为增强学生学习兴趣、直观展示物理情景，优化教学过程，很多教师在理论力学教学实践中采用Flash,Matlab,Mathematica等计算机软件辅助教学。Mathematica功能强大，将其运用到理论力学的教学中将有助于提高教学效率和效果[3～6]。

Mathematica[7]是美国Wolfram Research公司开发的数学软件，1988年首次发布，是目前世界上使用最广泛的数学软件之一。Mathematica功能强大，使用方便，除普通数值和符号计算，还能进行微分、积分、向量、矩阵的运算以及方程式求解、运算式的化简和展开、因式分解、数值分析等。Mathematica的绘图功能强大，可以绘出精美的二维和三维图形，也可以进行交互式图形操作，即时显示图形随参数的变化。Mathematica核心设计的通用性使其应用领域不断扩大,目前被广泛地用于数学、物理、工程、生物、金融、统计、商业分析、社会学等领域。Mathematica在科研和教育中起到了重要的作用，许多科技论文的研究基于Mathematica编程运算，很多产品的开发和应用中借助了Mathematica的强大功能，很多教育展示项目和动画基于Mathmatica平台。此外，Mathematica的文档中心、网络资源平台上拥有大量的函数运用实例和丰富的展示作品，还有各类专业应用程序包，方便各类人员使用。

与常用的计算语言和动画设计语言相比，Mathematica辅助理论力学教学和研究具有很多优点。与Fortran和C/C++语言相比，Mathematica能处理复杂的符号运算，编译简单，同时绘图功能和交互功能强大，还可以制作动画。与Matlab软件相比，Mathematica符号运算能力更强，程序书写更接近自然语言和数学符号。与Flash等动画制作软件相比，Mathematica动画制作简单，基于科学计算结果，动画展示科学准确。此外，Mathematica还可以与C/C++等程序进行交互操作。运用Mathematica的符号数值运算、绘图、可视化交互等功能辅助理论力学教学, 能大大简化计算，清晰展示物理图像，有助于创设物理情景，优化教学效果。

本文以轻质弹簧连接的两质点的运动和欧拉角为例，讨论运用Mathematica 的符号数值计算，绘图和可视化交互，辅助理论力学教学。

1 Mathematica符号运算在理论力学教学中应用

理论力学中，落体偏东运算，哈密顿正则变换和牛顿第二定律微分求解等都需要运用高等数学知识解二阶常微分方程，尤其是二元二阶方程组，计算繁琐复杂，耗时较多，有的甚至无法求解析解。运用Mathematica的符号和数值运算功能可以大幅简化计算，也可作为手工计算的检验。在此，我们以轻质弹簧下两质点的运动为例，探讨Mathematica符号运算在理论力学教学中应用。

例:两个质量都为m的质点A和质点B用一根自然长度为L的轻质弹簧相连，置于一光滑水平桌面上，如图1所示，弹簧的劲度系数为k.开始时刻，两质点处于静止状态，弹簧呈自然长度L，而后，质点B沿AB方向受到一大小为kL的恒力作用，分别求出质点A和质点B的运动规律。

图1 轻质弹簧连接的两质点示意图

解：设A点的运动位移x(t)，B点的运动位移y(t)，以A质点为坐标原点，由题可知初始时刻x(0)=0,y(0)=L,x′(0)=0,y′(0)=0,对A，B受力分析得，

(1)

上述为较复杂的二元二阶常微分方程公式组，运用高等数学求解计算繁琐。Mathematica本身具有强大运算功能，可以输入命令DSolve来解决微分方程及微分方程组，使求解变得简单，程序也直观简单。

如下所示，本文在Mathematica程序中对上例进行求解，

In[1]:=DSolve[{m*x″[t]-k*y[t]+k*L==0,m*y″[t]-k*x[t]-k*2L=0,

x[0]==0,y[0]==L,x′[0]==0,y′[0]==0},{x[t],y[t]},t]

解得的结果为指数形式，运用Mathematica内置的指数三角转换命令ExpToTri可以把结果的指数形式转化成常用的三角函数形式。并可用FullSimplify进一步简化。

根据求得的质点A和B位移随时间变化的函数x(t),y(t).运用求导命令对x(t) 求导，输入

2 Mathematica的可视化实现与可视交互在理论力学教学中的应用

图2 A质点速度曲线(左图)，B质点速度曲线(右图)

可通过Show命令将A、B两质点运动曲线放在一起对比，如图3所示。

图3 A，B两质点速度曲线对比

图4 A，B两质点加速度曲线对比

同理，也可以求出加速度公式及其运动曲线，列举加速度曲线如图4所示。

欧拉角用来描写刚体在三维空间中的一般转动，它是3个独立角参量，由章动角θ、旋进角(即进动角)ψ和自转角Φ组成[1～2]。刚体转动有关教学中，欧拉角是重点和难点，它的理解需要很强的空间想象力，目前缺乏简单有效的教具帮助学生理解。而Mathematica能够建立很好的演示模型，直观展示刚体的转动和欧拉角的变化[8]。

图5 欧拉角变化示意图

如图5.1所示，选取一空间固定坐标系oxyz和另一固定在刚体上的坐标系ox'y'z'，两坐标系原点重合于固定点o.如图5.2-5.4所示，欧拉角θ和Φ确定oz'轴方向，θ是oz轴和oz' 轴夹角，Φ是oz轴与oxy平面和ox'y'平面交线的夹角，ψ确定x'-y'平面绕z'轴转动角。图5.5和5.6展示从不同方位观测到的刚体的转动。通过Mathmeatica演示程序，我们能够直观清晰的观察θ，Φ和ψ三个角度参量的变化，完整的描述刚体绕基点的转动。

图6 角频率ω的改变的动态演示

此外，还可以应用Mathematica的绘图、动画、声音功能，创设多媒体物理教学情境，改革传统的教学模式，使物理现象和过程可视、可控，收到传统教学手段难以达到的教学效果。

3 结论

本文通过轻质弹簧作用下两质点运动，欧拉角动态演示两个实例展示了Mathematica具有强大的数值、符号计算功能和强大的图形绘制、可视交互操作能力，研究探讨了如何通过Mathmatica软件辅助理论力学教学。在理论力学的教学实践过程中，教师通过该软件可以将理论力学计算和结果直观地展现出来，帮助学生理解理论力学的运动过程、物理概念和规律，激发学生对理论力学的探究和学习。Mathematica软件在理论力学教学中作用积极，能够优化教学设计，促进教学质量的提高。

[1]周衍柏.理论力学[M].北京: 高等教育出版社，2009.

[2]陈世民.理论力学简明教程[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]程和平,刘仁臣,许 媛.Mathematica在理论力学教学中的可视化作用[J].黄山学院学报,2008, 10(5)：26～29.

[4]李竞武，胡 文.Mathematica辅助物理教学直观化[J]. 中国科教创新导刊,2010,(35): 196 ～ 198.

[5]于凤梅,王克强,张 麟.运用Mathematica软件辅助大学物理教学[J].中国现代教育装备,2011,(15): 29 ～ 31.

[6]单传家，陈入云，刘继兵,等.Mathematica 8.0.1中文版在量子力学教学中的应用[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2012,32(4):92～96.

[7]Wolfram S.MATHEMATICA[M].赫孝良,周义仓,译．西安: 西安交通大学出版社，2002.

[8]Euler Angles.http://demonstrations.wolfram.com/EulerAngles/.2013—9—24.

ApplicationsofMathematicainteachingandlearningoftheoreticalmechanics

YANG Shuo, XIE Wen-hai, HUO Sa

Theoretical mechanics is a basic class for many majors of theory and engineering. The content of theoretical mechanics is highly abstract, relevant to complicated calculations in mathematics. It is helpful to present physical images, optimize teaching process and improve teaching and learning with Mathematica software. In this paper, we discussed the symbolic and numerical calculations, visual implementation in Mathematica via the examples of the motion of two particles connected with one light spring and Euler angles. And we discussed how to aid teaching and studying of theoretical mechanics using Mathematica software.

mathematica;theoretical mechanics;teaching and learning

2013—09—25

大连大学大学生创新创业训练计划项目(2013260)“运用Mathematica辅助理论力学教学的研究”资助.

杨硕(1982— )，男，辽宁省锦州人，博士，副教授，主要从事粒子物理理论和唯象研究.

O31,O4-39

A

1009-2714(2014)01- 0082- 05

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.017