德萨格定理与点共线及线共点问题

黄振华

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

德萨格定理与点共线及线共点问题

黄振华

(湖北师范学院 数学与统计学院， 湖北 黄石 435002)

德萨格定理及其逆定理是证明“点共线”和“线共点”问题实用性很强的理论工具，讨论了在“点共线”和“线共点”问题中应用德萨格定理及其逆定理的基本方法与思想。

德萨格定理;点共线;线共点;无穷远元素

高等几何是高等师范类院校数学与应用数学专业的一门重要专业基础课程，对初等几何的教学与研究能居高临下地具有高观点的指导作用和意义。德萨格(Desargues)定理是高等几何课程中的一个重要的定理，德萨格定理的内容从完整的角度讲，包括德萨格定理及其逆定理；是证明“点共线”和“线共点”问题的理论工具。然而，实际教学中发现，许多同学在学习德萨格定理时，应用起来常常遇到这样或那样的困难，针对这一问题，将对如何正确灵活地应用德萨格定理及其逆定理作几点探讨。

1 德萨格定理及应用的基本思想

1.1德萨格定理

德萨格定理[1]如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。

德萨格定理的逆定理[1]如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则对应顶点的连线交于一点。

1.2德萨格定理应用的基本思想

对于解决“点共线”和“线共点”问题的有力工具德萨格定理和它的逆定理，在应用上，具有同样重要的地位和作用。定理本身的条件和结论都十分简明，但在应用中的灵活性很大。有些同学在遇到有关问题时往往无从下手，主要是两个对应三点形的选取上存在一定的难度。正确地确定满足定理条件且符合所证命题结论的两个对应三点形，是解决问题的关键。由于使用定理的角度和出发点不同，从而导致选取对应三点形的不同，具体思路可有以下两种情形。

1)对于三点共线问题，可选用两个解决方式，一是把三点看成两个对应三点形的对应边的交点；二是把三点中的两点看成是两个对应三点形的一对对应顶点(可作为一条连线看待)，剩余的一点看成是另外两对对应顶点连线的交点。显然，前者用德萨格定理，后者用德萨格定理的逆定理。

2)对于三线共点问题，解决此类问题可把三线看成三条线段，也有可选用的二个方式，一是把三条线段分别看成两个对应三点形的对应顶点的连线，而对应顶点就是每条线段的两个端点；二是把其中的两条线段看成是两个对应三点形的两条对应边(它们的交点应在第三条线上)，剩余一条线段的两个端点分别看成是两个对应三点形的另外两对对应边的交点。显然，前者用德萨格定理的逆定理，后者用德萨格定理。

2 应用德萨格定理的基本方法

在应用德萨格定理时，正确地选用适当的两个对应三点形是解决问题之前提，这适当的两个对应三点形往往需要通过分析并调整对应的顶点而得出。

例1 过三角形 的三个顶点任作共点的三条直线AE、BF、CG，分别与对边交于E、F、G，若BC×FG=X，CA×GE=Y，AB×EF=Z，则X、Y、Z三点共线。

分析 如图1：设AE、BF、CG共点O，要证X、Y、Z三点共线，就需将此三点看成两个三点形之对应边交点，且这两个三点形对应顶点的连线须共点。按已知件BC×FG=X，CA×GE=Y，AB×EF=Z，且AE、BF、CG共点O，所以寻找的两个三点形构想应是如图2：

图1 例1示意图

图2 例1示意图

证明 对于△ABC和△EFG:

∵ 它们三对对应顶点的连线AE、BF、CG共点O;

∴ 由德萨格定理，其三对对应边的交点X、Y、Z三点共线。

应用德萨格定理时，关键是准确地找到两个对应的三点形，而且要调整好两个三点形之六点的对应顶点顺序，以便达到证明的目的。

例2 设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，XZ分别交AC、BD于L、M，求证YZ、BL、CM共点。

分析 如图3：要证明YZ、BL、CM共点，就需要把每条直线看成两个点的连线，此六个点分成每三点一组构成两个三点形，且这两个三点形的对应边的交点须共线。为此，通过调整对应的顶点，所以寻找的两个三点形思路应是如图4。

图3 例2示意图

图4 例2示意图

证明 对于△BCZ和△LMY:

∵ 三对对应边的交点BC×LM=X,CZ×MY=D,ZB×YL=A， 共完全四点形的AD边;

∴由德萨格定理的逆定理，其三对对应顶点的连线YZ、BL、CM共点。

3 应用德萨格定理的灵活性

在应用德萨格定理解决问题时，两个对应三点形的选择不一定是唯一的。灵活地正确选用适当的两个对应三点形显得尤其重要。

例3 设ABCD是一个四面体，点X在BC上，一直线过X分别交AB，AC于P，Q，另一直线过X，分别交DB，DC于R，S求证：PR与QS的交点E在AD上。

分析1 如图5：要证明PR与QS的交点E在AD上，即要证明PR、QS、AD共点E。

证法1 在△PQA和△RSD中，对应边交点PQ×RS=X，QA×SD=C，AP×DR=B，

∵X、B、C共线，

∴由德萨格定理的逆定理得PR、QS、AD三直线共点E，所以，PR与QS的交点E在AD上。

分析2 如图5：要证明PR与QS的交点E在AD上，即要证明A、D、E三点共线，

太谷县没有出台饮用水水源地保护的相关办法，仅由水库编制了《庞庄水库水源地保护管理办法》报水务局，没有形成正式条文。水源地保护未明确相关责任部门及责任人。水库权限有限，对污染水源、破坏防护设施行为只能采取教育、劝戒手段，不能采取有效制裁措施，起不到威慑作用。未建立水源地安全保障部门联动机制，不能实现信息互享，不能保障应急突发事件的及时处置和安全解决。

证法2 对于△BPR与△CQS，由于三对对应顶点连线BC，PQ，RS共点X，由德萨格定理可知，其对应边交点BP×CQ=A，BR×CS=D,PR×QS=E共线，所以，PR与QS的交点E在AD上。

分析3 如图5：要证明PR与QS的交点E在AD上，只需证明AE通过D即可。

证法3 对于△ABC与△ERS，对应边交点AB×ER=P,BC×RS=X,AC×ES=Q，

∵X、P、Q共线，

∴ 由德萨格定理的逆定理得BR、CS、AE三直线共点，又BR、CS交于D，所以，AE通过D，即E在AD上。

例4 设OX,OY,OZ为三条定直线，A,B为两定点，R为OZ上的动点，直线RA,RB分别与OX,OY交于P,Q，求证PQ经过AB上的一个定点。

分析 因为R是动点，作R的另一个位置R′，相应地得到P′,Q′，设P′Q′,PQ交于点C，只要证明A、B、C三点共线，本题得证；由OX,OY,OZ共点于O，只要找到一对对应的两个三点形，其三对对应顶点分别在OX,OY,OZ上且三对对应边交点恰为A、B、C三点即可。

4 应用推广

定理1 如果两个三点形对应顶点的连线都平行，则对应边的交点在一直线上。

证明 ∵ 两个三点形对应顶点的连线都平行，即这三连线共一无穷远点，

∴由德萨格定理得两个三点形对应边的交点在一直线上。

定理2 如果两个三点形三对对应边分别平行，则对应顶点的连线交于一点。

证明 ∵ 两个三点形对应边分别平行，即两个三点形每一对对边的交点都是无穷远点，

∴共无穷远直线，

∴由德萨格定理的逆定理得对应顶点的连线交于一点。

例5 求证:△ABC的外心O、垂心E、重心D三点共线。

证明 如图7:设F、G分别为BC、CA边上的中点，连结OF、FG、GO、AE、EB， 在两个三点形ABE与FGO中，三对对应边

AE∥OF(平面内垂直于同一直线的两直线平行)

BE∥OG(平面内垂直于同一直线的两直线平行)

AB∥FG(三角形的中位线平行于第三边)

∴由定理2知:两个三点形的对应顶点连线AF、BG、EO共点。

∴D=AF×BG与E、O三点共线。

总之，应用德萨格(Desargues)定理或逆定理去解决一些“点共线”和“线共点”问题时，不单需要综合分析已知条件和所证结论等因素，还需要熟练地掌握选择两个恰当的三点形这一关键的基本方法和思想，这样，问题解决起来就非常简捷、方便、灵活。在应用方面，德萨格定理的逆定理与德萨格定理具同样的应用方法和价值。德萨格定理蕴含丰富的数学思想方法，对具体问题的处理方法具有独特性，是证明“点共线”和“线共点”问题实用性很强的理论工具。

图5 例3示意图

图6 例4示意图

图7 例5示意图

[1]梅向明，刘增贤.高等几何[M].北京:高等教育出版社，2008.

[2]梅向明，刘增贤.高等几何学习指导与习题选解[M].北京:高等教育出版社，2003.

[3]赵临龙，郭玲玲.Desargues三角形定理及其逆定理的关系与应用[J]. 牡丹江师范学院学报(自然科学版)，2012，(2)：6～7.

Desarguestheoremandthecollinearpointsandlinesoftheconcurrentproblem

HUANG Zheng-hua

(College of Mathematics and Statistics, Hubei Normal University, Huangshi 435002,China)

Desargues theorem and its converse therom are practical theoretical tools to prove the collinear points and concurrent lines.this paper discuss the application of Desargues theorem and its converse therom in proving collinear points and concurrent lines problems.

desargues theorem；collinear points；concurrent lines；infinite element

2013—09—19

黄振华(1960— )，男，黄石人，副教授，从事几何教学与研究.

O185.1

A

1009-2714(2014)01- 0111- 04

10.3969/j.issn.1009-2714.2014.01.024