对有效培养学生数感的再思考

洪亮

[摘要]早在2001年《数学课程标准（实验稿）》中描述了数感的主要表现，将“建立初步的数感”列入数学思考目标的首项要求。时过十年有余，审慎观之，不得不正视这样一个问题：数感“被焦点”了，它一直徘徊在教学的边缘。我们的日常教学只关注了标准的程序、方法和技能，却忽视了数学的直觉、敏感和意识，使得学生的学习机械、繁琐，对数的感悟越来越迟钝。这促使我们再次重新思考，什么是数感？怎样才能让数感从教学的边缘走向中心？

[关键词]数感；实践活动；应用意识

《数学课程标准》（2011年）在原来的基础上对数感重新进行了界定：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。

现实生活中的数多是伴以数量的形式出现的，研究单纯的数较少，小学的数学研究也多是以学习新的数学知识来解决生活中的问题作为切入点的，把数与量、数学与生活联系起来，就会使学生更易于理解数的意义。伴随着这样的学习，学生对数的感悟自然也会慢慢得到发展，数学学习的内容也会逐步由具体走向抽象，乃至到达纯数学的研究领域。由此可见，这里的“数感”指的是对数、数量等的感悟，更多的应该是就“数量感”来说的。

数感是建立在明确数的概念和有效进行计算等数学活动的基础之上，有助于理解现实生活中数的意义和具体情境中的数量关系。因此，数感使人眼中看到的世界具有量化的意味，是人的一种基本的数学素养。数感的形成既是现实生活的需要，也是发展数学思考、培养创新精神与实践能力的需要。那么应该如何有效地培养数感？

一、启蒙数感——丰富厚实的生活体验

现实生活是数学的源泉。无论是数与数量，还是数量关系，都来源于现实生活。为此可以学生熟悉的、丰富多彩的现实世界作为学习的背景，引导学生在具体情境中感受数值大小，理解数的意义，促进学生主动建构知识，发展数感。

课例：《分数的意义》

（1）从1到“1”

师：请看，老师往这儿一站，几个人？能用1这个数来表示吗？（板书：1）想想我们周围，还有哪些物体的数量也可以用1来表示？

师：看来，能用1表示的物体还真不少。想想看，除了刚才同学们所列举的一个物体可以用1来表示，还有什么也能用1来表示？

生：（略有迟疑1一个班级也能用1来表示。

师：一个班级可不止1个学生哦，40多个同学能用1来表示吗？谁来评判评判？

生：40多个同学是一个整体.当然可以用1来表示啦。（生：继续举例。）

师：这样下去，能说完吗？（生：不能）看来，小小的1还真是无所不包。（师在1上加双引号）不过，这时的“1”和我们一年级时所认识的1一样吗？

生：不一样。以前认识的1，表示的是1个物体，比如1个人、1瓶水，但现在这个1不但可以表示1个物体，还可以表示由一些物体组成的整体。

师：说得真好！“1”的内涵发生了变化，变得更丰富了。

（2）揭示单位“1”

师：老师这儿还带来了3个苹果，能看作“1”吗？把3个苹果看作的这个“1”有点像以前学过的什么呀？

生：计量单位。

师：是呀，把3个苹果看作的“1”其实不就成了一个计量单位了吗？把它看作一个单位.有几个这样的单位就是几。

师：所以，数学上把这样的“1”给了一个特殊的名称叫“单位1”。

教师创设熟悉的生活情境，唤醒学生已有的数学经验，引导学生在具体情境中经历从实物到数的抽象过程，感受了从1到“1”，再到“单位1”的发展历程，从而建立了“单位1”的概念表象。

数的概念的体验和理解与数感密切相关。数的概念本身是抽象的，学生理解和掌握数的概念要经历一个过程，应注重选择学生感兴趣的、熟悉的情境和实例，通过观察、交流、操作等活动，体验和感受身边事物中具体的数量，使学生加深理解数的意义，形成对数的良好直觉，启蒙学生积极的数感。

二、建立数感——充分多样的探索活动

数量关系是数学研究内容的重要组成部分，对它的感悟是数感的一个重要内涵。具有良好数感的人，在遇到实际问题时，能主动探索具体问题中的数量关系和变化规律，从而顺利选择合理解决问题的方法。教学中引导学生通过分析、概括，认识、理解隐藏在事物之间抽象的本质关系，尝试用数量关系来表达数学情境，通过猜想、概括等思维活动建立相应的关系模型，达到对数与数之间关系的深刻领悟。

课例：《图形覆盖规律》

第三阶段的“找”：在抽象中找规律。

（1）师：看来，只要知道什么就可以知道平移的次数？知道平移几次，有什么用呢？（答略）

师：如果平移20次，就有（21）种不同情况。

如果有100种不同情况，就是平移了（99）次。

（2）师：看来，同学们已经初步掌握了某种规律，下面来考考大家。出示花边题。

如果花边有10格，每次给相邻的五个格盖上红色的透明纸，一共有多少种不同的盖法？

生：数出剩下的花边，再加1。

生：总个数一每次盖的个数+1，即10-5+1=6

师：你能试着解释一下吗？

生：10-5表示平移几次.再加上先框住的一次。

师：出示13个花边的图案。生列式13-5+1=9

师：比较这两题，有什么区别吗？

生：虽然每次盖的数相同.但总数不同.所以有几种盖法也不同。

（3）师：结合刚才同学们所做的，你能归纳这其中不变的规律吗？

（4）小组交流汇报。

（5）师：如果用a表示总个数，用b表示每次框的个数，有几种不同情况？该怎样表示呢？

生：a-b+1

第三次“找”是在学生大量感知、丰富积累后，全面的分析、比较、剔除非本质属性，找出数量之间的稳固关系，抽象成数学模型，使感性认识上升到理陛认识。

数感的建立应该是一个不断猜想、验证、思辨的过程。创设多样化的、开放性的探究情境，最大限度地激发学生的思维潜力。这样，学生通过在探究中的多次尝试、思考、追问，逐步揭示数量之间的关系，体会就会越来越深，可以积累更多的科学、丰富的活动经验，对数量关系的感觉就会更灵敏、更严谨。

三、增强数感——逐层深入的估计运算

日常生活中，所需要估算结果的次数往往要多于精确计算，人们经常在自觉不自觉地运用着估算。估算教学中，要引导学生探索不同的估算方法，结合实际生活经验交流对比，掌握估计技巧与方法，优化估算的策略，这样层层递进、逐层深入，增强学生对数据快速判断、敏捷估算的能力。

课例：《估算》

（通过曹冲称象的故事引人，出示6次称石头的质量：328、346、307、377、398、352。单位：千克）

（1）师：你能估计出这头大象大约有多重吗？把估算的过程记下来。

生1：这6个数都是300多，我就把它们估成400，400x6=2400。

师：非常好！你们能不能给他的做法起个名字？本来这些数有大一点的，有小一点的，有中间的，他这是往哪里估啊？

讨论后得出：同看成一个数，把这些数都往大一点的数估，叫大估法。

生2：我把这6个数都估成300.300><6=1800。

学生得出：他是把这些数往小一点的数估，叫小估法。

生3：300+300+300+400+400+400=2100。我是把350看成中间的数.超过350的就把它估成400，低于350的就把它估成300.

师：有的往小一点的估，有的往大一点的估。这方法和前面两位同学有什么不同？

生：前两位同学的整百统一，这种整百不统一。

师：那我们就取名字，叫整百不统一。

生4：我把这6个数都看成整百整十数，接近几十就当成几十。

330+350+310+380+400+350=2120

师：这样的估法，就是我们未来要学习的“四舍五入”。

（2）师：同学们想出了4种估计结果的方法.现在用计算器算一算这6个数相加的和是多少？比较一下，这个和与刚才估算的结果，你想说什么呢？

生说（略）

师：这4种估算方法，你比较喜欢哪一种？能说出理由吗？

从曹冲称象的故事引出估算，使得估算成为解决实际问题的需要，激发了学生估算的愿望。学生在自主探索后出现了多种不同的估算方法，在比较、反思中逐步优化估算策略，体会到尽管这些方法的具体思维过程不同，但估算的策略都是一致的，都采用了“凑整”的策略。

由此可见，估算比较灵活简便，它可使学生运用已经掌握的知识和经验，通过对抽象的数据符号不同角度、不同侧面的观察比较、分析，以敏锐的观察力和迅捷的判断力，对问题作简约推理，接触问题的本质，使问题得以解决。估算意识和习惯的培养，不能一蹴而就，需要教师经常给学生提供估算的机会和创设估算的情境，强化他们的估算意识和估算能力，让他们估算越来越准确，估算方法越来越高明，从而拥有良好的信息感，数据感和量化能力。

四、发展数感——精巧扎实的课外实践

走出课本，到现实生活中去，用数学的眼光去观察、认识周围的事物，用数学的眼睛去发现事物的特征、联系，用数学语言来表达与交流，才会增强数学意识，发展数感。在学习了书本知识后，教师要精心设计课外活动计划，促使学生到社会中去，灵活运用所学知识来解决问题，在实践中再次体验数的感觉、量的直觉。

课例：《（克、千克的认识）实践活动》

（学习了《克、千克的认识》后，教师给学生布置了课外活动事项。）

（1）找一找周围还有哪些物体的质量大约是1克、1千克，自己先掂一掂、猜一猜、估一估，再进行检验。

（2）掂一掂、说一说你周围的一些物品的质量大约是几克、几千克。可请家长配合完成。

（3）到超市里去，掂一掂货架上的商品的质量，再与商标上的质量对照。

（4）到菜场或超市里去，估一估买的菜、水果等大约有几千克。

（5）让家长拿一些物品，学生观察后直接说出物品的质量。

在实践活动中先让学生寻找和体会“手”的感觉，借助手的感觉丰富对实际数量的感知，然后让学生通过“火眼金睛”，凭借对数量和形的敏感度，直接说出物品的质量。

总之，数感是一种感悟。感悟是人的思维产物，只能发生在头脑和心中，不能通过外部的力量来代替。但是数感的体验和建立需要依靠经验的积累和理性的叠加，教学作为学生学习的外部支持力量，应该给学生提供感悟的机会，创造感悟的条件，不要再让数感游离于数学学习的边缘，真正把数感培养拉入到教学的中心，使学生眼中的世界呈现出“量化”的美。

（责任编辑 杨晶晶）