浅谈几何证明中如何添置辅助线

张文胜

若有一条河横在你面前，阻断你的去路，而在你苦于无法顺利过河时却发现有一座桥，心里肯定万分高兴，因为若没有这座桥，你可能要绕一个大圈子才能到达河的彼岸，甚至过不去.同样，添置辅助线在几何证明中起着过河搭桥的作用，通过添置辅助线，把已知元素和未知元素联想起来，在证明或解题时，就能如鱼得水，得心应手.

添置辅助线的方法虽然千差万别，但总会有规律可循的，并不是“混连瞎碰”.下面笔者谈谈在几何图形中如何添置辅助线.

一、抓“关键点”，连“关键线”，作“关键线”

平面几何图形中，常有不少具备一定特征的点，如：线段的交点、线段的中点、圆心、直线与圆相切的切点、两圆的交点等.这些点经常是证明的“关键点”.如圆的辅助线的作法规律是：弦与弦心距，亲密紧相连；两圆相切，公切线；两圆相交，公共弦；遇切点，作半径；圆与圆，心心连；遇直径，想直角；直角相对（共弦）点共圆.

已知切线的“作”（过点D作DG⊥OB，垂足为G）.只要证明DE=DG（角平分线上的点到其两边的距离相等），从而得证.

二、移出图形，添补图形

有时，为了找到较好的证明或解题的方法，可以添置辅助线或添补一部分图形.如在三角形中，常延长中线一倍，构造成平行四边形或新三角形.有时，利用等底等高的三角形面积相等，等底（两底）等高的梯形面积相等的方法解题.

图3【例3】如图3，已知半圆的直径AB=40cm，点C、D是这个半圆的三等分点.求证：弦AC、AD和弧CD围成的图形的面积S等于半圆面积的三分之一.

分析：求不规则图形的面积时，往往采用化不规则图形为规则图形的方法，利用它们的面积相等求解.弦AC、AD和弧CD围成的图形是不规则图形，是无法用已知条件来计算的，但它的面积S刚好等于扇形OCD的面积，即等于半圆面积的三分之一.

三、和差倍分，截长补短

平面几何证题千姿百态，因而添置辅助线的方法也变化多端.有时同一问题可以找出几种添置辅助线的方法，而使一题多解.

（责任编辑钟伟芳）

若有一条河横在你面前，阻断你的去路，而在你苦于无法顺利过河时却发现有一座桥，心里肯定万分高兴，因为若没有这座桥，你可能要绕一个大圈子才能到达河的彼岸，甚至过不去.同样，添置辅助线在几何证明中起着过河搭桥的作用，通过添置辅助线，把已知元素和未知元素联想起来，在证明或解题时，就能如鱼得水，得心应手.

添置辅助线的方法虽然千差万别，但总会有规律可循的，并不是“混连瞎碰”.下面笔者谈谈在几何图形中如何添置辅助线.

一、抓“关键点”，连“关键线”，作“关键线”

平面几何图形中，常有不少具备一定特征的点，如：线段的交点、线段的中点、圆心、直线与圆相切的切点、两圆的交点等.这些点经常是证明的“关键点”.如圆的辅助线的作法规律是：弦与弦心距，亲密紧相连；两圆相切，公切线；两圆相交，公共弦；遇切点，作半径；圆与圆，心心连；遇直径，想直角；直角相对（共弦）点共圆.

已知切线的“作”（过点D作DG⊥OB，垂足为G）.只要证明DE=DG（角平分线上的点到其两边的距离相等），从而得证.

二、移出图形，添补图形

有时，为了找到较好的证明或解题的方法，可以添置辅助线或添补一部分图形.如在三角形中，常延长中线一倍，构造成平行四边形或新三角形.有时，利用等底等高的三角形面积相等，等底（两底）等高的梯形面积相等的方法解题.

图3【例3】如图3，已知半圆的直径AB=40cm，点C、D是这个半圆的三等分点.求证：弦AC、AD和弧CD围成的图形的面积S等于半圆面积的三分之一.

分析：求不规则图形的面积时，往往采用化不规则图形为规则图形的方法，利用它们的面积相等求解.弦AC、AD和弧CD围成的图形是不规则图形，是无法用已知条件来计算的，但它的面积S刚好等于扇形OCD的面积，即等于半圆面积的三分之一.

三、和差倍分，截长补短

平面几何证题千姿百态，因而添置辅助线的方法也变化多端.有时同一问题可以找出几种添置辅助线的方法，而使一题多解.

（责任编辑钟伟芳）

若有一条河横在你面前，阻断你的去路，而在你苦于无法顺利过河时却发现有一座桥，心里肯定万分高兴，因为若没有这座桥，你可能要绕一个大圈子才能到达河的彼岸，甚至过不去.同样，添置辅助线在几何证明中起着过河搭桥的作用，通过添置辅助线，把已知元素和未知元素联想起来，在证明或解题时，就能如鱼得水，得心应手.

添置辅助线的方法虽然千差万别，但总会有规律可循的，并不是“混连瞎碰”.下面笔者谈谈在几何图形中如何添置辅助线.

一、抓“关键点”，连“关键线”，作“关键线”

平面几何图形中，常有不少具备一定特征的点，如：线段的交点、线段的中点、圆心、直线与圆相切的切点、两圆的交点等.这些点经常是证明的“关键点”.如圆的辅助线的作法规律是：弦与弦心距，亲密紧相连；两圆相切，公切线；两圆相交，公共弦；遇切点，作半径；圆与圆，心心连；遇直径，想直角；直角相对（共弦）点共圆.

已知切线的“作”（过点D作DG⊥OB，垂足为G）.只要证明DE=DG（角平分线上的点到其两边的距离相等），从而得证.

二、移出图形，添补图形

有时，为了找到较好的证明或解题的方法，可以添置辅助线或添补一部分图形.如在三角形中，常延长中线一倍，构造成平行四边形或新三角形.有时，利用等底等高的三角形面积相等，等底（两底）等高的梯形面积相等的方法解题.

图3【例3】如图3，已知半圆的直径AB=40cm，点C、D是这个半圆的三等分点.求证：弦AC、AD和弧CD围成的图形的面积S等于半圆面积的三分之一.

分析：求不规则图形的面积时，往往采用化不规则图形为规则图形的方法，利用它们的面积相等求解.弦AC、AD和弧CD围成的图形是不规则图形，是无法用已知条件来计算的，但它的面积S刚好等于扇形OCD的面积，即等于半圆面积的三分之一.

三、和差倍分，截长补短

平面几何证题千姿百态，因而添置辅助线的方法也变化多端.有时同一问题可以找出几种添置辅助线的方法，而使一题多解.

（责任编辑钟伟芳）