角度决定深度

陶惠民++吕重明

在高中数学《正弦定理的运用》的研究课中，如何多角度地对问题“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”进行探讨，我深有体会.这个问题是正弦定理应用的诸多问题中最复杂的一个，学生不容易掌握.而通常，只要记住一组边角关系式（见后文）就可以判断满足条件的三角形解的个数.但是通过多年、多次、多班级课后的检测发现，很多学生是记不住教师所介绍的一组判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式的.为什么记不住呢？原因在于学生对“判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式”不理解或理解不深刻.硬性记忆边角关系式，时间一长就忘记了，况且就是记住了公式也会因字母的变化而不能灵活使用，最终还是解决不了问题.那么，怎样才能让学生比较容易地去掌握“判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式”又能灵活地去运用呢？我作了如下实践.

一、引入探究

问题1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，则满足条件的三角形解的情况如何？

有学生在黑板上板书如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以满足条件的三角形的个数有两个.

这个问题的呈现让学生复习了正弦定理的简单应用，顺便订正了个别学生由sinB=32仅得到B=60°的错误结论.

问题2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，则满足条件的三角形解的情况如何？

学生很快解答完毕.我将一个学生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以满足条件的三角形的个数有两个.

教师提问：B可以等于150°吗？学生甲纠正：不可以！理由是：∵b

上面两道题是这类问题中最关键的两个问题，我让学生思考这两道题的联系与区别，并要求简要小结判断的方法与步骤：（1）由正弦定理求出另一边所对角的正弦值；（2）比较已知两边的大小，再由“大角对大边”原理，求出另一个角的大小.（把这个内容写到黑板上）

看来，直接解三角形似乎可以解决“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”这一问题.

六、回顾反思

回顾从多方面、多角度对问题“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”探究的整个过程，我们发现最完美的解决方法是从“形”这个角度来研究.在以形助数的情境下，学生理解深刻、记忆长久.由此可见，在认识问题的过程中，积极思考、躬行实践是学问的一个方面，然而，思维的角度能够决定解决问题的速度、认识问题的深度以及对问题理解记忆的持久度，所以选择好思考问题的角度有时更为重要.

（责任编辑黄桂坚）

在高中数学《正弦定理的运用》的研究课中，如何多角度地对问题“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”进行探讨，我深有体会.这个问题是正弦定理应用的诸多问题中最复杂的一个，学生不容易掌握.而通常，只要记住一组边角关系式（见后文）就可以判断满足条件的三角形解的个数.但是通过多年、多次、多班级课后的检测发现，很多学生是记不住教师所介绍的一组判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式的.为什么记不住呢？原因在于学生对“判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式”不理解或理解不深刻.硬性记忆边角关系式，时间一长就忘记了，况且就是记住了公式也会因字母的变化而不能灵活使用，最终还是解决不了问题.那么，怎样才能让学生比较容易地去掌握“判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式”又能灵活地去运用呢？我作了如下实践.

一、引入探究

问题1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，则满足条件的三角形解的情况如何？

有学生在黑板上板书如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以满足条件的三角形的个数有两个.

这个问题的呈现让学生复习了正弦定理的简单应用，顺便订正了个别学生由sinB=32仅得到B=60°的错误结论.

问题2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，则满足条件的三角形解的情况如何？

学生很快解答完毕.我将一个学生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以满足条件的三角形的个数有两个.

教师提问：B可以等于150°吗？学生甲纠正：不可以！理由是：∵b

上面两道题是这类问题中最关键的两个问题，我让学生思考这两道题的联系与区别，并要求简要小结判断的方法与步骤：（1）由正弦定理求出另一边所对角的正弦值；（2）比较已知两边的大小，再由“大角对大边”原理，求出另一个角的大小.（把这个内容写到黑板上）

看来，直接解三角形似乎可以解决“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”这一问题.

六、回顾反思

回顾从多方面、多角度对问题“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”探究的整个过程，我们发现最完美的解决方法是从“形”这个角度来研究.在以形助数的情境下，学生理解深刻、记忆长久.由此可见，在认识问题的过程中，积极思考、躬行实践是学问的一个方面，然而，思维的角度能够决定解决问题的速度、认识问题的深度以及对问题理解记忆的持久度，所以选择好思考问题的角度有时更为重要.

（责任编辑黄桂坚）

在高中数学《正弦定理的运用》的研究课中，如何多角度地对问题“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”进行探讨，我深有体会.这个问题是正弦定理应用的诸多问题中最复杂的一个，学生不容易掌握.而通常，只要记住一组边角关系式（见后文）就可以判断满足条件的三角形解的个数.但是通过多年、多次、多班级课后的检测发现，很多学生是记不住教师所介绍的一组判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式的.为什么记不住呢？原因在于学生对“判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式”不理解或理解不深刻.硬性记忆边角关系式，时间一长就忘记了，况且就是记住了公式也会因字母的变化而不能灵活使用，最终还是解决不了问题.那么，怎样才能让学生比较容易地去掌握“判断满足条件的三角形解的个数的边角关系式”又能灵活地去运用呢？我作了如下实践.

一、引入探究

问题1：在△ABC中，若a=1，b=3，A=30°，则满足条件的三角形解的情况如何？

有学生在黑板上板书如下：由正弦定理ba=sinBsinA，有sinB=basinA=32，B∈（0，π），∴B=60°或120°，所以满足条件的三角形的个数有两个.

这个问题的呈现让学生复习了正弦定理的简单应用，顺便订正了个别学生由sinB=32仅得到B=60°的错误结论.

问题2：在△ABC中，若a=3，b=1，A=60°，则满足条件的三角形解的情况如何？

学生很快解答完毕.我将一个学生的解答投影到黑板上：由正弦定理易得：sinB=basinA=12，B∈（0，π），∴B=30°或150°，所以满足条件的三角形的个数有两个.

教师提问：B可以等于150°吗？学生甲纠正：不可以！理由是：∵b

上面两道题是这类问题中最关键的两个问题，我让学生思考这两道题的联系与区别，并要求简要小结判断的方法与步骤：（1）由正弦定理求出另一边所对角的正弦值；（2）比较已知两边的大小，再由“大角对大边”原理，求出另一个角的大小.（把这个内容写到黑板上）

看来，直接解三角形似乎可以解决“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”这一问题.

六、回顾反思

回顾从多方面、多角度对问题“已知三角形的两边以及其中一边的对角，如何判断满足条件的三角形解的情况”探究的整个过程，我们发现最完美的解决方法是从“形”这个角度来研究.在以形助数的情境下，学生理解深刻、记忆长久.由此可见，在认识问题的过程中，积极思考、躬行实践是学问的一个方面，然而，思维的角度能够决定解决问题的速度、认识问题的深度以及对问题理解记忆的持久度，所以选择好思考问题的角度有时更为重要.

（责任编辑黄桂坚）