基于PSO-DE混合算法的结构可靠性优化设计*

郑灿赫 孟广伟 李锋 周立明 孔英秀

(1.吉林大学 机械科学与工程学院，吉林 长春 130022;2.理科大学 数学力学系，朝鲜 平壤)

在工程结构设计中，往往存在结构的材料参数、几何参数及作用载荷的随机性，而确定性的结构设计方法不能考虑这些随机因素的影响.目前，基于概率可靠性的结构系统优化设计研究已经取得了不少成果［1-8］.基于可靠性的结构系统优化设计是一个嵌套的优化问题，内层是可靠性分析过程，外层是结构的目标函数优化.对于结构系统可靠性优化设计，可靠性分析方法主要包括可靠度的界限估计和点估计方法［1-4］.界限估计方法主要有简单界限法(宽界限法)、高阶界限法(窄界限法)，点估计方法主要有概率网络估算法(PNET 法).简单界限法的计算比较简单，但上下限的范围很宽;高阶界限法和概率网络估算法可以得到较高的计算精度，但计算过程较复杂.传统的外层优化方法主要有序列无约束最小化方法、广义简约梯度法、广义拉格朗日函数法等［5-6］，但这些方法对全局最优解判定困难.

为了解决传统优化方法存在的困难，已将遗传算法(GA)、粒子群优化(PSO)算法、差分进化(DE)算法等启发式智能优化方法应用于结构可靠性的优化设计中.GA 算法是建立在自然遗传学机理基础上的全局优化算法，在结构可靠性优化设计中有诸多应用.有些学者提出了基于混合GA 算法的结构可靠性优化方法和基于改进GA 算法的结构可靠性优化方法等［7-8］，但它们在应用中也存在一些不足，如GA 算法采用二进制编码，搜索时间过长，易发生早熟收敛，最优解的局部寻优能力差等.

Kennedy 等［9-10］提出的PSO 算法操作较简单、易于实现、收敛速度快，是有效求解非线性优化与多目标优化问题的算法.PSO 算法不仅用于处理不可微的、不连续的、多模态目标函数［11］，还应用于结构优化设计中［12-13］，不少学者提出了基于一些变种和混合PSO 算法的工程优化与结构可靠性优化设计方法［14-17］.但这些算法还需要解决早熟收敛问题.

同GA 算法相比，DE 算法群体的多样性及搜索能力的鲁棒性较强，而且采用实数编码，运算时间较快.因此，DE 算法已被广泛应用于较复杂的优化问题，但进化后期的收敛速度较慢［18-19］.

为提高结构可靠性优化设计的效率，文中将PSO-DE 混合算法应用到随机结构可靠性优化问题，建立随机结构系统的可靠性优化模型，提出了一种基于PSO-DE 混合算法的随机结构可靠性优化设计方法，并通过数值算例分析验证该可靠性优化设计方法的可行性和适用性.

1 PSO-DE 混合算法

1.1 PSO 算法

粒子群优化算法的每个粒子和速度为D 维向量，粒子群由N 个粒子组成.以一般桁架结构轻量化计算为例，以桁架横截面尺寸A 为优化设计变量，则群体第i 个粒子的位置以Ai=(Ai，1，Ai，2，…，Ai，D)表示，第i 个粒子的速度以vi=(vi，1，vi，2，…，vi，D)表示.每个粒子都有一个适应度函数(结构质量)m(Ai).Pi=(pi1，pi2，…，piD)为第i 个粒子的曾经经历过的最佳位置，Pb=(pb1，pb2，…，pbD)为整个粒子群到目前为止搜索到的最佳位置.

文中采用收敛速度较快的带压缩因子的粒子群优化算法.在每一次迭代中，群体的每个粒子的速度和位置如下:

式中:χ 为压缩因子;c1和c2为非负常数，c1为认知因子，c2为社会因子;r1和r2为区间［0，1］上的随机数;t 为迭代次数.

1.2 DE 算法

DE 算法是一种基于群体智能的随机搜索算法，该算法包括变异、交叉、选择3 个过程［18-19］.定义群体包含N 个在D 维空间内的个体向量Ai(t);i=1，2，…，N.

式中:i=1，2，…，N;j=1，2，…，D;D 为问题规模;rand［0，1］是［0，1］上满足正态分布的随机数.

对于每个目标向量Ai(t)，变异向量按下式生成:

vi，j(t+1)=Ar1，j(t)+F［Ar2，j(t)－Ar3，j(t)］(4)式中:随机选择的序号r1、r2和r3互不相同，且r1、r2和r3与目标向量序号i 也应不同，故需满足N≥4;变异算子F［0，2］是一个实常数因数.

交叉操作后，试验向量变为

式中，randb(j)是［0，1］上的均匀随机分布数，rnbr(i)为随机选择的序号，Rc为交叉算子，Rc［0，1］.

将试验向量与当前种群中的目标向量进行比较，决定试验向量是否会成为下一代中的成员.

1.3 PSO-DE 混合算法

PSO 算法早期收敛速度较快，实现容易，但出现早熟停滞现象.DE 算法操作简单，保证种群的多样性，收敛速度快，但在进化后期逐渐减少种群的多样性，收敛速度较慢，甚且容易陷入局部最优点.为了充分发挥PSO 和DE 算法的搜索特性，克服其缺点，文中将PSO 和DE 算法相结合起来.

PSO 算法使个体(粒子)的最佳位置分布在最小值的附近，为了提高收敛性和计算精度，文中采用DE 算法来进化认知经验.在PSO 算法每完成一次迭代后，通过对仅认知经验改善的个体应用DE 算法来提高种群的多样性.DE 算法中的个体经过迭代过程和进化来解得目标函数的最优解.个体最佳位置的集合表示为S={P1，P2，…，PN}.对于集合S 中最佳位置改变的个体，适用一步DE 算法(即变异、交叉和选择操作).

文中提出的PSO-DE 混合算法的步骤如下:

(1)在搜索空间内初始化粒子群;

(2)计算个体适应值，判断约束条件;

(3)根据式(1)、(2)更新群体的位置和速度;

(4)更新认知经验;

(5)若在PSO 过程中认知经验(个体最佳位置)Pi(t)得到改善，则采用DE 算法进化那个粒子的认知经验，即将DE 算法的变异、交叉和选择操作应用于改善的认知经验.

(6)判断终止条件，若满足终止条件，则搜索停止，输出结果，否则转步骤(2).

2 随机结构可靠性优化设计方法

2.1 结构可靠性优化模型

文中采用一种以各元件失效概率为约束条件，使结构质量为最小的优化设计方法.该方法对结构系统可靠度的计算进行简化，从而避开对主要失效模式识别的复杂过程，得到结构系统失效概率的近似解，使得计算量大大减小.

由n 个元件组成的桁架结构的总质量m 为

式中，ρi、li、Ai分别为第i 个元件的密度、长度和横截面积.

结构有M 个载荷，元件i 的功能函数可表示为

式中，Cyi为元件容许应力，bij为载荷pj的载荷系数.Zi的均值和标准偏差分别为

由此可得出可靠性指标βi为

式中，μCyi、分别为容许应力Cyi的均值和方差，分别为载荷pj的均值和方差.

设元件的长度和横截面面积均为确定量，只有材料容许应力和所施加的载荷为随机变量，易知元件i 的失效概率为

失效概率Pfi与可靠性指标βi之间有如下关系:

式中，Φ(·)为标准正态累积分布函数.

限定结构系统的失效概率P*f ，确定该失效概率在各元件中的最优分配，使得在各元件失效概率之和的约束下结构质量最小，结构系统可靠性优化模型可表示为

式中，A=(A1，A2，…，An)为截面设计尺寸，AL为A 的下限，AU为A 的上限，Pfi(A)为元件i 的失效概率.

结构系统的可靠性分析及优化设计通常相当复杂和困难，传统的结构可靠性优化难以平稳而又快速地收敛.为了提高可靠性优化的稳定性和收敛速度，文中将下列组合收敛准则应用于基于PSO-DE混合算法的结构可靠性优化中［20］:

式中，k 为迭代次数，ε1、ε2和ε3是接近于0 的数值，如在10－3～10－4之间.

2.2 随机结构可靠性优化流程

文中将PSO-DE 混合算法应用到结构可靠性优化理论，建立结构系统可靠度约束下最小化结构质量的优化模型，并用于随机结构系统的可靠性优化设计.在该混合算法中，首先用PSO 算法得到各元件的横截面尺寸，然后采用DE 算法对各元件横截面尺寸进化认知经验.基于PSO-DE 混合算法的随机结构可靠性优化设计的具体步骤如下:

(1)设定参数，对每个粒子及其最佳个体位置Pi(t)进行随机初始化.

(2)对于给定的每个粒子，计算目标函数值m(Ai(t))，依照该值进行种群最佳位置Pb(t)的初始化.

(3)利用改进的一次二阶矩法进行结构可靠性分析，判断各粒子的约束条件，若粒子满足约束条件，则更新横截面积Ai(t).

(4)若被更新的Ai(t)不满足式(14)的约束条件，则按照式(1)、(2)重新更新Ai(t)，直至满足式(14)的约束条件为止.

(5)对于Ai(t)，求解优化问题得到的目标函数值m(Ai(t)).

(6)若目标函数值m(Ai(t))满足m(Ai(t))＜m(Pi(t))和m(Pi(t))＜m(Pb)，则转到步骤(7)，更新个体最佳位置Pi(t)和种群最佳位置Pb(t)，否则转回步骤(2).

(7)若Pi(t)变化位置，则采用DE 算法进化Pi(t).

(8)采用DE 算法的变异操作，由式(4)生成变异向量.

(9)由式(5)、(6)生成试验向量，在试验向量满足约束条件下求解得到目标函数值m(Ai(t)).

(10)若试验向量不满足约束条件，则重新进行变异和交叉操作，若还是不满足约束条件，则返回步骤(2).

(11)若满足m(Ai(t))＜m(Pi(t))和m(Pi(t))＜m(Pb)，则更新最佳个体位置Pi(t)和种群最佳位置Pb(t).

(12)若满足终止条件，则搜索停止，输出结果;否则，返回步骤(2).

3 算例分析

某6 杆超静定桁架结构［3］如图1 所示，该结构的随机变量如下:屈服应力均值为27.6 kN/cm2，变异系数为0.05;载荷p1、p2、p3的均值分别为50、30、20 kN，变异系数为0.2.

图1 6 杆桁架结构Fig.1 Structure of 6-bar truss

l1=120 cm，l2=90 cm，各元件横截面面积初始值为5 cm2，材料密度为2.7 ×10－3kg/cm3，材料弹性模量为7.06 ×103kN/cm2.横截面A 的下限AL=3 cm2，上限AU=7 cm2.结构系统的失效概率P*f=6 ×10－4，ε1=ε3=2 ×10－4，ε2=10－4.在结构可靠度指标条件下，求解结构的最小总质量m 和各杆的横截面积Ai(i=1，2，…，6).

在有代表性的两种不同载荷情况(情况1:p1=46.2253 kN，p2=28.2247 kN，p3=16.0995 kN;情况2:p1=53.8034 kN，p2=23.945 3 kN，p3=19.922 0 kN)下，对6 杆桁架结构进行优化计算.为了对比，在相同的条件下，初始种群的大小为10，对本桁架结构进行基于PSO 算法和PSO-DE 混合算法的结构可靠性优化计算，结果如图2 所示.

从图2(a)可知，PSO-DE 混合算法经过20 代进化就能达到目标函数值6.471 7，而且40 代进化后目标函数值达到6.452 7，但PSO 算法经过40 代进化后才达到目标函数值6.895 6.从图2(b)可知，PSO-DE 混合算法经过25 代进化就能达到目标函数值6.4761，40 代进化后目标函数值达到6.4594，但PSO 算法经过40 代进化后才达到目标函数值6.8165.总之，在两种载荷情况下，PSO-DE 混合算法的收敛速度和精度优于PSO 算法.由此可知，PSO算法的收敛速度尤其是寻优后期的收敛速度变慢，PSO-DE 混合算法的优化结果比PSO 算法好.基于PSO-DE 混合算法的可靠性优化方法，解决了某些粒子在PSO 算法迭代中的过早收敛问题，并提高了收敛速度，优化结果较理想.

图2 两种载荷情况下的迭代过程Fig.2 Iteration history under two cases of load

表1、2 分别为两种载荷情况下基于PSO-DE 混合算法与基于PSO 算法的优化结果.在情况1 下，基于PSO-DE 混合算法的结构质量优化结果为6.4527 kg，基于PSO 算法的结构质量优化结果为6.8956 kg;在情况2 下，基于PSO-DE 混合算法的结构质量优化结果为6.4594kg，基于PSO 算法的结构质量优化结果为6.8165 kg.与PSO 算法相比，PSO-DE混合算法具有相对好的收敛性能.

表1 情况1 下桁架结构的优化结果Table 1 Optimization results of truss structure under case 1

表2 情况2 下桁架结构的优化结果Table 2 Optimization results of truss structure under case 2

从表1、2 可以看出，基于PSO-DE 混合算法的超静定桁架结构可靠性优化结果优于PSO 算法.在满足本桁架结构系统失效概率约束下，最小化结构各元件横截面积，可以节省材料，同时满足可靠性的要求.结果表明，文中算法的收敛速度快，计算精度高.

4 结论

为最小化结构质量，在结构系统失效概率约束下，文中提出了一种基于PSO-DE 混合算法的随机结构可靠性优化设计方法.算例结果表明:

(1)结合PSO 和DE 算法的用于随机结构可靠性优化的PSO-DE 混合算法，可防止PSO 算法的早熟现象，提高算法的收敛速度和计算精度;

(2)与PSO 算法相比，基于PSO-DE 混合算法的随机结构可靠性优化方法的鲁棒性好，易于实现，能适用于较复杂结构系统的可靠性优化设计.

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