高等数学教学中的数学模型思想渗透与学生应用能力培养

张海辉

摘 要： 高等数学是大学数学学习中的一门重要的基础课程，也是理工类等非数学专业学生的必修科目。日常的高等数学教学无太多的实践应用，更侧重于书本知识的传授与讲解。本文从数学模型的角度，阐述了高等数学相关知识点的数学模型的思想渗透与教学实例，为高等数学的学习及教学搭建了一个应用型、实践型平台，探讨了新时期培养学生创新与实践相关能力的一个有效途径。

关键词： 高等数学 概念教学 思想渗透 应用能力培养

《高等数学》是各大院校非数学专业学生的数学类主干课程。一直以来，在高等数学的教与学中，存在若干误区。一方面，教师在讲台上不遗余力，全身心地投入。另一方面，众多学生抛出了数学无用论的语调，认为学习数学根本就没有什么用途与前途，对日后的工作、就业、生活无太多的帮助与作用，认为大学数学、高等数学不需要花太多心思与精力去学习，因为其离自己很远，更有学生形成了学习高等数学无用论的错误观念。

数学建模在近几十年的应用越来越广泛，是数学知识在各个领域运用的最典型的体现。在抽象、严密的数学理论知识与实际应用的一些问题之间架起了桥梁，起到了纽带的作用。数学建模的运用反映了数学的各科知识，又解决了实际问题。越来越多的教师在各个基础学科的教学中开始渗透与运用建模的思想和方法。著名的院士李大潜说过，要将数学建模、数学模型的一些理论、方法、观念、思维和大学数学的一些课程相结合，相融合、相渗透。安排具体的实践课程，构建具体的实践案例应用于实际教学过程。这对于学生提高课堂的参与性、互动性、主动性，对于学生在快乐、愉悦、实际的环境中体会数学的美、数学的乐趣、数学的应用价值，对于学生通过数学与生活的实际结合领会数学知识、学习高等数学相关内容，由此培养学生解决实际应用问题的能力有非常大的促进与推动作用。下面将分类别从几个方面说明数学建模思想在高等数学各个知识点领域的渗透与运用。

1.在高等数学的概念教学中渗透数学建模思想

高等数学的概念教学是大学数学教学中的难点与重点，大学数学学习不同于中学阶段的数学学习，中学数学教学侧重于理解，需要大量的练习辅助。而大学数学教学很多知识点的学习，更侧重的是对于概念的理解与运用，掌握与延伸。譬如，高等数学中的一个模块线性代数的学习，线性代数的线性相关性、线性无关等概念，更侧重的是定义的掌握与性质的理解。而这些，在传统的教学课堂上，学生是不太容易理解和掌握的，甚至学生有的时候不知道你在说什么，讲什么，为什么。因此，具有实际背景的实践与实际应用实例会让学生更有兴趣，对于所学的知识有求知欲，特别是如果能在学习环节穿插或引用这些模型的思想，那就更是恰到好处，事半功倍。

举个实例：在学习介值性定理的时候，对于连续函数，如果在一个连续的区间端点处的函数值异号，则在其区间内部一定存在一个点，这个点的函数值等于零。数学分析或者高等数学以至考研入学试题中经常会出现运用介值定理（或称根的存在性定理）命题。可是很多同学在学习的时候会问：介值性定理到底有什么用，除了能用来解题外，在实际生活中有应用吗？在经典的数学建模教学中，有一个模型：椅子能在不平的地面上放稳吗？这个模型运用的是基本的函数思想，将椅子能在不平的地面上放稳的问题转化为一个与实际应用密切相关的数学问题，最后运用函数的介值性定理解决问题。这就是一个非常好的在日常的概念与知识体系教学中融入数学建模思想的例子。当然，并不是所有的概念都一定要附和一个相关联的数学模型，这不是我们的目的与教学的正确方法，应该有选择性地穿插、引用经典的，或者在授课过程中，根据课堂的气氛、学生反映、学生对知识掌握的程度适当、适时、适度地渗透数学模型的教学，达到有机、合理、互进式的整合。

2.在应用型知识与问题教学中渗透数学建模思想

在高等数学学习中，很多科目的学习本身就与实践有着紧密联系，譬如常微分方程、概率等的学习，我们在学习过程中本身就会接触很多实际问题。只不过这些问题或作业或练习的目的是为了教材上知识点的逻辑推理与运用的掌握。在相关教学环节，教师应该全面而充分地了解与把握教材中相关问题的应用背景，让学生了解并知晓这些问题的实用价值。对于一些本身就涉及与关联实际生活或相关应用领域的例题和习题，通过引导、通过对这些问题的实际探讨，使学生深刻体会到这其中所用的数学知识、方法和思想，同时结合各学科学生所学专业的实际问题，如物理、化学、生物、经济等学科的实际背景，渗透数学建模思想。例如在讲解高等数学的变化率的时候，可以结合实际生活中的经济现象，在经济管理专业的课程中，引入蛛网模型及相应的敏感度分析，让学生与自己的学科相联系，加深对问题的理解，进一步拓宽知识面。又如，对工科学生讲变力做功时，就要用到定积分知识的数学建模，对于管理专业的学生，在安排生产、车辆调度时要应用到线性规划模型。这样结合学生所学专业的实际问题渗透数学建模思想，使数学知识直接应用于学生今后的专业学习中，有效地调动学生学习的积极性，极大地提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。

3.在教学与课后作业环节适度运用数学软件

多媒体的教学手段在现代教学中起到了不可或缺的推动作用。课堂上的多媒体教学对教师的教与学生的学起到明显的促进与提升作用。学生学习环境的改善与学习相关资源的丰富、教学的硬件的提高为我们在日常的课堂教学中或课堂之后的学生的个人学习生活中进行数学建模思想的渗透与潜移默化的应用提供了现实的可能。在国外，很多学生并不会算复杂无比的算式，但他们会娴熟地运用电脑软件辅助课后学习，在学习与软件使用的过程中发现相关的规律并更好、更深刻地理解了所学知识。如，在讲解一些导数、方程、函数、我们可以借助软件描绘相关的图形、动态演示相关的变化过程，通过这样一些建模与模型的主动渗透的意识主动性地借助于便捷、形象、生动的客观软件载体深化学习，更好地提高对实际问题的转化与解决能力。

综上，高等数学教学是大学学习数学教学中的最基础最重要的一环，学好这门基础课程对于掌握相关数学基础知识及后续课程的学习有着非常重要的作用。教学的一个重要任务是培养学生运用数学解决实际问题的能力。数学建模在建立和处理相关数学问题的过程，实际上就是将相关的数学理论知识应用于实践解题过程。任课老师应该在平时的日常教学组织管理中有意识地体现相关的数学模型、数学建模的思想，在教学过程中着力培养学生相关的数学模型意识，提高学生的兴趣，强化求知意识，潜移默化地培养学生应用数学知识的能力、实践及创造的能力。这对于培养新一代应用型大学生有很重大的现实意义。

参考文献：

[1]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006，1：9-11.

[2]张芝华.数学建模在高等数学中的应用[J].教育教学论坛，2014，2（9）：244-245.

[3]曹燕.数学建模思想在高等数学课程教学中的渗透[J].科学大众：科学教育，2013，727（5）：137，165.

[4]杨四香.浅谈数学文化在高等数学教学中的渗透[J].保山学院学报，2012，31（5）：71-74.

[5]朱长青.将数学建模引入高等数学教学中的典型案例[J].价值工程，2014，33（3）：258-259.

[6]曹俊峰.高等数学教学中培养学生的数学能力和数学素养的探讨[J].科教文汇，2013，3：36-37.

[7]刘银萍，王宪昌.高等数学创新性思维教学的策略优化[J].大学数学，2006，22（3）：35-39.

[8]吴怡.数学概念的教学策略初探[J].教学与管理，2009，9：129-130.

[9]刘锋.高等数学课程教学改革研究与实践——数学建模向高等数学课程的渗透与探索[J].大学数学，2004，20（4）：38-43.

[10]何伟.在高等数学教学中如何体现数学建模的思想[J].数学的实践与认识，2003，33（10）：142-144.

现主持国家自然科学基金数学天元基金（项目号：11226285）。endprint