论《导数及其应用部分》的教学
2014-08-12李道云程文
李道云 程文
中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02
高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。
课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。
一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述
大纲版教科书是这样定义的：
一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）
课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？
二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？
在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。
近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。
我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。
（责任编辑 刘 馨）
中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02
高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。
课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。
一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述
大纲版教科书是这样定义的：
一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）
课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？
二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？
在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。
近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。
我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。
（责任编辑 刘 馨）
中图分类号：G633.62 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2014）14-0041-02
高中实行新课程改革后，教科书在框架结构和具体内容等方面变化都很大。湖北省也于2008年秋加入到了普通高中新课程改革的行列；无论是先进的教育理念，还是优秀的教材，最终都要落实到课堂上，体现在课堂教学方法和教师教学行为上，新课程的实施需要课堂教学有一个质的变化。而如何落实，如何正确地理解新课程的思想理念成为广大一线高中数学教师普遍存在的问题。微积分作为高中数学与大学数学的衔接内容，两版教科书在内容的呈现方面有哪些变化？对学生的学习主要有哪些影响？有哪些改进与不足？这些问题的研究对加速数学课程改革进程，推动教科书建设，提升学生的综合素质，全面提高教育教学质量都具有重要的意义。
课标版教科书关注学生发展、培养学生创新精神和应用意识的改革是其最大的亮点，但是在教学过程中也发现了个别值得商榷的地方，值得进一步研究。
一、对函数极值理解的处理是否可以将两版教材结合起来，采用课标版的探究，采用大纲版的表述
大纲版教科书是这样定义的：
一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）
课标版是这样来叙述的：如图，以a，b两点为例，我们可以发现，函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f '（a）=0；而且在点x=a附近的左侧f '（x）<0，右侧f '（x）>0。类似地，函数y=f（x）在x=b的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f '（b）=0；而且在点x=b附近的左侧f '（x）>0，右侧f '（x）<0。我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。
大纲版教科书虽然也进行了探究但过程比较粗糙，学生感触不深，理解起来仍然比较模糊，但对极值定义的表述比较严密；课标版教材探究比较细腻，并且对图像的局部特征还做了“特写”，学生理解起来更直观，但如此叙述极值定义会使学生错误的理解为取得极值处的导数一定为0。虽然对于课标版的教科书中所涉及的函数来讲，没有歧义，但这样定义是不严密的。比如y=|x-a|这样的函数，它们在x=a处也有极值，但在x=a处导数不存在，不符合课标版的定义，所以这样来定义极值欠妥。是否能将二者有选择性的有机结合起来，从而既达到容易直观感知又不会使学生产生歧义呢？
二、理解导数到底要不要讲极限？讲多少合适？
在微分学中，导数概念的建立最为关键。从微分学发展的历史可以知道，极限概念是导数概念的核心基础，没有了极限过程也就没有了导数，极限是导数不可回避的概念。肖柏荣老师曾经于1982年在其文章《中学数学中极限、导数和微积分教学初议》中认为“极限是数学中的一个极其重要的概念。”“微积分中的许多重要概念，如函数连续性、导数、定积分以及无穷级数等实际上都是特定形式的极限。”“求导法则和积分法则也都是以极限运算为基础的。”因此，从科学严谨的意义上说，不教极限是没法教导数的。
近年来不少专家学者通过大量实证研究对无极限的中学微积分课程在一些地区的实施情况做了调研。其中宋宝和、房元霞老师于2004年发表在数学教育学报上的文章《逾越形式化极限概念的微积分课程》表明学生和教师对导数设计的变化有明显的反应，课堂气氛活跃，学生学习积极性高，学生称赞导数应用性广泛；但是教师表现出较大的不适应。宋宝和、房元霞、郭兆明老师于2006年发表在《课程·教材·教法》上的文章《变化率思想：高中开设微积分课程的价值》中认为：课标教科书中无极限微积分的课程设计有利于促进学生自主探究、反思，关注学生对导数本质的理解和对微积分思想方法的掌握；宋宝和、房元霞、连茂廷老师最近发表在《数学通报》上的文章《高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较》认为：学过无极限微积分的高中生对导数概念本质的语言表述比两阶段都学过极限和导数的大学生好，将运动和变化问题化归为导数来解决的能力要比大学生强，但是高中生对导数概念形象化理解仅停留在瞬时速度、瞬时变化率、切线斜率三个实例上。
我所在的中学大部分教师都是带过多届大纲版教材的教师，我们一直认为：无极限的导数学生学完后仅仅停留在感知这一阶段，学生对导数的理解是模糊的、机械的，比如很多学生在学习的过程中都追问教科书只给出了函数y=x2，y=x-1，y=求导公式的推证过程，怎么样才能导出函数y=xn的求导公式呢？诸多像这样过去可以借用极限来理解和解释的问题现在都不能实现。那么究竟在这里如何处理好呢？我们认为还是应该讲一些极限，但讲多少合适，这依然是一个值得进一步探讨和研究的问题。
（责任编辑 刘 馨）
