基于模糊数直觉模糊PG算子的多属性决策方法

周晓辉　姚俭　袁清华

摘 要 针对决策信息为三角模糊数直觉模糊数（TFNIFN）且属性间存在相互关联的多属性群决策（MAGDM）问题，提出了一种基于三角模糊数直觉模糊PG（TFNIFPG）算子的决策方法.首先，基于TFNIFN的运算法则和PG（Power Geometric）算子，定义了TFNIFPG算子.然后，研究了该算子的一些性质，建立基于TFNIFPG算子的MAGDM模型，结合排序方法进行决策.最后通过某项目投资算例验证了该算子的有效性与可行性.

关键词 三角模糊数；直觉模糊数； PG算子；三角模糊数直觉模糊PG算子；多属性群决策

中图分类号 C934，O23 文献标识码 A

1 引 言

自Atanassov提出直觉模糊集^[1]（Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS）以来，因IFS综合考虑隶属度、非隶属度和犹豫度3方面的信息，能更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质.众多学者对IFS进行了深入研究.Atanassov等^[2]对IFS进一步推广，提出了区间直觉模糊集（Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets，IVIFS）的概念.徐泽水^[3，4]研究了IVIFS的一些运算法则，并给出了IVIFS的IVIFWA集成算子、IVIFGA集成算子、IVIFOWA集成算子和排序方法.刘峰和袁学海^[5]用三角模糊数表示IFS的隶属函数和非隶属函数，进而对IFS作进一步拓展，提出了TFNIFN概念.汪新凡^[6]给出了TFNIFN的概念，定义了一些运算法则和FIFWG算子、FIFOWG算子和FIFHG算子等几何集成算子，并给出了TFNIFN的记分函数及排序方法.刘於勋^[7]提出TFNIFN的加权算数平均算子和加权几何平均算子，并给出精确记分函数.

Yager^[9]在处理非线性信息加权集结过程中首先提出属性间相互支持的PA算子概念. XU和Yager [10]在PA算子的基础上提出了PG算子，同时并研究了PWG算子、 POG算子、POWG算子、UPG算子和UPOWG算子.在文献[11]中，徐泽水教授将PG算子推广到直觉模糊环境下，结合IFS和IVIFS研究了IFPG算子、IFWPG算子、IVIFPG算子和 IVIFWPG算子，并应用到多属性决策问题中.ZHANG等^[12]将PG进一步推广，研究了GPG算子、GIFPG算子等及其性质，并给出了详细的证明，拓展了PG算子的理论范围，同时应用在MAGDM中，得到了很好地效果.本文在文献[11]的基础上对PG算子进行拓展，将PG算子和TFNIFN结合提出TFNIFPG算子，并研究了相关的性质，并将其运用在MAGDM中，最后数值算例证明了TFNIFPG算子的有效性和可行性.

5 结束语

在实际生活中的MAGDM问题中，决策属性之间往往存在不同程度上的相互关联，针对现有的TFNIFN信息集结算子存在失效的不足，结合PG算子，研究了TFNIFPG算子，并给出了TFNIFPG算子的一些性质，将TFNIFPG算子应用在MAGDM中，算例结果表明了该算子的有效性和正确性.与传统方法对比，该方法考虑了决策属性间的关联性，使决策分析更接近决策问题的实际情况，决策结果更加合理，为解决MAGDM问题提供了新思路.

参考文献

[1] K T ATANASSOV. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）： 87-96.

[2] K T ATANASSOV， G GARGOV. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J] .Fuzzy Sets and Systems，1989，31（3） ： 343-349.

[3] 徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J]. 控制与决策， 2007， 22（2）：215-219.

[4] 徐泽水，陈剑.一种基于区间直觉判断矩阵的群决策方法[J].系统工程理论与实践， 2007， 27（4）：126-133.

[5] 刘锋，袁学海.模糊数直觉模糊集[J].模糊系统与数学， 2007， 21（1）：88-91.

[6] 汪新凡.模糊数直觉模糊几何集成算子及其在决策中的应用[J].控制与决策， 2008， 23（6）：607-612.

[7] 刘於勋. 基于直觉模糊集改进算子的多目标决策方法[J]. 计算机应用， 2009， 29（5）：1273-1275.

[8] 苏杭，钱伟懿. 基于TOPSIS的模糊数直觉模糊多属性决策方法[J]. 渤海大学学报（自然科学版）， 2012， 33（1）：6-10.

[9] R R YANGER. The power average operator [J]. IEEE Transactions on Systems， Man， Cybernetics-Part A： Systems and Humans， 2001， 31（6）：724-731.

[10]Zeshui XU， Power-geometric operators and their use in group decision making [J].IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS， 2010，18（1） ：94-105.

[11]Zeshui XU， R R YANGER. Approaches to multiple attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy power aggregation operators [J]. Knowledge-Based Systems， 2011， 24（6） ：749-760.

[12]Zhiming ZHANG. Generalized Atanassov's intuitionistic fuzzy power geometric operators and their application to multiple attribute group decision making [J]. Information fusion， 2013， 14（4）： 460-486.

[13]周晓辉，姚俭，吴天魁等. 三角模糊数直觉模糊Bonferroni平均算子及其应用[J]. 计算机应用研究，2015， 32（3）：671-676.

[14]卫贵武. I-FIFOWA算子及其在群决策中的应用[J]. 管理学报，2010， 7（6）：903-908.endprint

摘 要 针对决策信息为三角模糊数直觉模糊数（TFNIFN）且属性间存在相互关联的多属性群决策（MAGDM）问题，提出了一种基于三角模糊数直觉模糊PG（TFNIFPG）算子的决策方法.首先，基于TFNIFN的运算法则和PG（Power Geometric）算子，定义了TFNIFPG算子.然后，研究了该算子的一些性质，建立基于TFNIFPG算子的MAGDM模型，结合排序方法进行决策.最后通过某项目投资算例验证了该算子的有效性与可行性.

关键词 三角模糊数；直觉模糊数； PG算子；三角模糊数直觉模糊PG算子；多属性群决策

中图分类号 C934，O23 文献标识码 A

1 引 言

自Atanassov提出直觉模糊集^[1]（Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS）以来，因IFS综合考虑隶属度、非隶属度和犹豫度3方面的信息，能更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质.众多学者对IFS进行了深入研究.Atanassov等^[2]对IFS进一步推广，提出了区间直觉模糊集（Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets，IVIFS）的概念.徐泽水^[3，4]研究了IVIFS的一些运算法则，并给出了IVIFS的IVIFWA集成算子、IVIFGA集成算子、IVIFOWA集成算子和排序方法.刘峰和袁学海^[5]用三角模糊数表示IFS的隶属函数和非隶属函数，进而对IFS作进一步拓展，提出了TFNIFN概念.汪新凡^[6]给出了TFNIFN的概念，定义了一些运算法则和FIFWG算子、FIFOWG算子和FIFHG算子等几何集成算子，并给出了TFNIFN的记分函数及排序方法.刘於勋^[7]提出TFNIFN的加权算数平均算子和加权几何平均算子，并给出精确记分函数.

Yager^[9]在处理非线性信息加权集结过程中首先提出属性间相互支持的PA算子概念. XU和Yager [10]在PA算子的基础上提出了PG算子，同时并研究了PWG算子、 POG算子、POWG算子、UPG算子和UPOWG算子.在文献[11]中，徐泽水教授将PG算子推广到直觉模糊环境下，结合IFS和IVIFS研究了IFPG算子、IFWPG算子、IVIFPG算子和 IVIFWPG算子，并应用到多属性决策问题中.ZHANG等^[12]将PG进一步推广，研究了GPG算子、GIFPG算子等及其性质，并给出了详细的证明，拓展了PG算子的理论范围，同时应用在MAGDM中，得到了很好地效果.本文在文献[11]的基础上对PG算子进行拓展，将PG算子和TFNIFN结合提出TFNIFPG算子，并研究了相关的性质，并将其运用在MAGDM中，最后数值算例证明了TFNIFPG算子的有效性和可行性.

5 结束语

在实际生活中的MAGDM问题中，决策属性之间往往存在不同程度上的相互关联，针对现有的TFNIFN信息集结算子存在失效的不足，结合PG算子，研究了TFNIFPG算子，并给出了TFNIFPG算子的一些性质，将TFNIFPG算子应用在MAGDM中，算例结果表明了该算子的有效性和正确性.与传统方法对比，该方法考虑了决策属性间的关联性，使决策分析更接近决策问题的实际情况，决策结果更加合理，为解决MAGDM问题提供了新思路.

参考文献

[1] K T ATANASSOV. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）： 87-96.

[2] K T ATANASSOV， G GARGOV. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J] .Fuzzy Sets and Systems，1989，31（3） ： 343-349.

[3] 徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J]. 控制与决策， 2007， 22（2）：215-219.

[4] 徐泽水，陈剑.一种基于区间直觉判断矩阵的群决策方法[J].系统工程理论与实践， 2007， 27（4）：126-133.

[5] 刘锋，袁学海.模糊数直觉模糊集[J].模糊系统与数学， 2007， 21（1）：88-91.

[6] 汪新凡.模糊数直觉模糊几何集成算子及其在决策中的应用[J].控制与决策， 2008， 23（6）：607-612.

[7] 刘於勋. 基于直觉模糊集改进算子的多目标决策方法[J]. 计算机应用， 2009， 29（5）：1273-1275.

[8] 苏杭，钱伟懿. 基于TOPSIS的模糊数直觉模糊多属性决策方法[J]. 渤海大学学报（自然科学版）， 2012， 33（1）：6-10.

[9] R R YANGER. The power average operator [J]. IEEE Transactions on Systems， Man， Cybernetics-Part A： Systems and Humans， 2001， 31（6）：724-731.

[10]Zeshui XU， Power-geometric operators and their use in group decision making [J].IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS， 2010，18（1） ：94-105.

[11]Zeshui XU， R R YANGER. Approaches to multiple attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy power aggregation operators [J]. Knowledge-Based Systems， 2011， 24（6） ：749-760.

[12]Zhiming ZHANG. Generalized Atanassov's intuitionistic fuzzy power geometric operators and their application to multiple attribute group decision making [J]. Information fusion， 2013， 14（4）： 460-486.

[13]周晓辉，姚俭，吴天魁等. 三角模糊数直觉模糊Bonferroni平均算子及其应用[J]. 计算机应用研究，2015， 32（3）：671-676.

[14]卫贵武. I-FIFOWA算子及其在群决策中的应用[J]. 管理学报，2010， 7（6）：903-908.endprint

摘 要 针对决策信息为三角模糊数直觉模糊数（TFNIFN）且属性间存在相互关联的多属性群决策（MAGDM）问题，提出了一种基于三角模糊数直觉模糊PG（TFNIFPG）算子的决策方法.首先，基于TFNIFN的运算法则和PG（Power Geometric）算子，定义了TFNIFPG算子.然后，研究了该算子的一些性质，建立基于TFNIFPG算子的MAGDM模型，结合排序方法进行决策.最后通过某项目投资算例验证了该算子的有效性与可行性.

关键词 三角模糊数；直觉模糊数； PG算子；三角模糊数直觉模糊PG算子；多属性群决策

中图分类号 C934，O23 文献标识码 A

1 引 言

自Atanassov提出直觉模糊集^[1]（Intuitionistic Fuzzy Sets，IFS）以来，因IFS综合考虑隶属度、非隶属度和犹豫度3方面的信息，能更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质.众多学者对IFS进行了深入研究.Atanassov等^[2]对IFS进一步推广，提出了区间直觉模糊集（Interval-valued Intuitionistic Fuzzy Sets，IVIFS）的概念.徐泽水^[3，4]研究了IVIFS的一些运算法则，并给出了IVIFS的IVIFWA集成算子、IVIFGA集成算子、IVIFOWA集成算子和排序方法.刘峰和袁学海^[5]用三角模糊数表示IFS的隶属函数和非隶属函数，进而对IFS作进一步拓展，提出了TFNIFN概念.汪新凡^[6]给出了TFNIFN的概念，定义了一些运算法则和FIFWG算子、FIFOWG算子和FIFHG算子等几何集成算子，并给出了TFNIFN的记分函数及排序方法.刘於勋^[7]提出TFNIFN的加权算数平均算子和加权几何平均算子，并给出精确记分函数.

Yager^[9]在处理非线性信息加权集结过程中首先提出属性间相互支持的PA算子概念. XU和Yager [10]在PA算子的基础上提出了PG算子，同时并研究了PWG算子、 POG算子、POWG算子、UPG算子和UPOWG算子.在文献[11]中，徐泽水教授将PG算子推广到直觉模糊环境下，结合IFS和IVIFS研究了IFPG算子、IFWPG算子、IVIFPG算子和 IVIFWPG算子，并应用到多属性决策问题中.ZHANG等^[12]将PG进一步推广，研究了GPG算子、GIFPG算子等及其性质，并给出了详细的证明，拓展了PG算子的理论范围，同时应用在MAGDM中，得到了很好地效果.本文在文献[11]的基础上对PG算子进行拓展，将PG算子和TFNIFN结合提出TFNIFPG算子，并研究了相关的性质，并将其运用在MAGDM中，最后数值算例证明了TFNIFPG算子的有效性和可行性.

5 结束语

在实际生活中的MAGDM问题中，决策属性之间往往存在不同程度上的相互关联，针对现有的TFNIFN信息集结算子存在失效的不足，结合PG算子，研究了TFNIFPG算子，并给出了TFNIFPG算子的一些性质，将TFNIFPG算子应用在MAGDM中，算例结果表明了该算子的有效性和正确性.与传统方法对比，该方法考虑了决策属性间的关联性，使决策分析更接近决策问题的实际情况，决策结果更加合理，为解决MAGDM问题提供了新思路.

参考文献

[1] K T ATANASSOV. Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems， 1986， 20（1）： 87-96.

[2] K T ATANASSOV， G GARGOV. Interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J] .Fuzzy Sets and Systems，1989，31（3） ： 343-349.

[3] 徐泽水.区间直觉模糊信息的集成方法及其在决策中的应用[J]. 控制与决策， 2007， 22（2）：215-219.

[4] 徐泽水，陈剑.一种基于区间直觉判断矩阵的群决策方法[J].系统工程理论与实践， 2007， 27（4）：126-133.

[5] 刘锋，袁学海.模糊数直觉模糊集[J].模糊系统与数学， 2007， 21（1）：88-91.

[6] 汪新凡.模糊数直觉模糊几何集成算子及其在决策中的应用[J].控制与决策， 2008， 23（6）：607-612.

[7] 刘於勋. 基于直觉模糊集改进算子的多目标决策方法[J]. 计算机应用， 2009， 29（5）：1273-1275.

[8] 苏杭，钱伟懿. 基于TOPSIS的模糊数直觉模糊多属性决策方法[J]. 渤海大学学报（自然科学版）， 2012， 33（1）：6-10.

[9] R R YANGER. The power average operator [J]. IEEE Transactions on Systems， Man， Cybernetics-Part A： Systems and Humans， 2001， 31（6）：724-731.

[10]Zeshui XU， Power-geometric operators and their use in group decision making [J].IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS， 2010，18（1） ：94-105.

[11]Zeshui XU， R R YANGER. Approaches to multiple attribute group decision making based on intuitionistic fuzzy power aggregation operators [J]. Knowledge-Based Systems， 2011， 24（6） ：749-760.

[12]Zhiming ZHANG. Generalized Atanassov's intuitionistic fuzzy power geometric operators and their application to multiple attribute group decision making [J]. Information fusion， 2013， 14（4）： 460-486.

[13]周晓辉，姚俭，吴天魁等. 三角模糊数直觉模糊Bonferroni平均算子及其应用[J]. 计算机应用研究，2015， 32（3）：671-676.

[14]卫贵武. I-FIFOWA算子及其在群决策中的应用[J]. 管理学报，2010， 7（6）：903-908.endprint