人教A版和北师大版教材“三视图”比较研究

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(北京师范大学数学科学学院 北京 100875)

教材是进行教学设计的主要依据，自2004年普通高中使用《新课程标准》以来，高中数学教材呈现出了非常好的多样性和丰富性.这些不同版本的教材各具特色，异彩纷呈.如何开发不同版本教材的优质资源，发现其中的特色素材，用于教学设计，提高教学效率，真正做到“用教材教，而不是教教材”，这就需要教师对不同版本教材进行深入地比较研究[1].

三视图是高中数学新课标教材的新增内容之一，学习三视图对于培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力和运用图形语言进行交流表达的能力具有重大意义.不同版本的教材对此有不同的表述和处理方式.为了更好地理解和把握教材，以便更好地实施于教学，本文以人教A版和北师大版教材必修2中“三视图”内容作为研究对象，就2个版本教材的整体以及概念的引入、知识内容和例题、习题配置等方面进行比较研究，探悉2个版本教材的特色，为一线教师的教学以及备考提供建议.

1 对教材的比较

1.1 整体比较

人教A版将空间几何体的三视图和直观图安排在第1章第2节.本节分3个小节，分别为中心投影与平行投影、空间几何体的三视图、空间几何体的直观图.从篇幅上来看，空间几何体的三视图部分不到6页，共1课时.从内容上来看，空间几何体的三视图部分又分柱、锥、台、球的三视图和简单组合体的三视图.其中穿插安排有观察、思考、旁批、阅读与思考等栏目以及练习与习题，其整体结构流程大致是：

其中练习不分组，习题分为2组.

北师大版将三视图单独安排在第1章第3节.从篇幅上来看，三视图部分共9页，2个课时.从内容上来看，本节又分为2个小节，分别为简单组合体的三视图和由三视图还原成实物图.其中穿插安排实例、思考交流、练习和习题，其整体上的结构流程大致是

其中练习不分组，习题分为2组.

从以上可以看出2套教材在三视图内容的整体布局上既有共性又有差异，共性是人教A版和北师大版都将空间几何体的三视图分为2个小节，且都有一小节是简单组合体的三视图，并以练习和习题来落实和巩固学习效果.整体结构上最大的差异是人教A版将空间几何体的三视图和直观图共同作为一节，并且插入了中心投影与平行投影的内容来辅助学习，北师大版是将直观图安排在了前一节，没有柱、锥、台、球的三视图内容，而是将由三视图还原成实物图作为单独的一节出现，人教A版只是将这部分内容作为一个思考的问题.比较而言，笔者认为北师大版这种安排不仅突出了由三视图还原成实物图的重要性，而且使得本节的知识层次更加分明，在教与学的过程中师生更容易从整体上把握教材.

1.2 概念引入的比较

概念的引入方式对学生理解数学概念有着先入为主的作用，学生对一个新的数学概念的认识往往是从回忆相关的具体实例和已经掌握的知识开始的[1].2套教材对三视图概念的引入可谓千差万别.

人教A版引入为了将空间几何体画在纸上用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习视图的有关知识，进而说明常用三视图和直观图表示空间几何体.然后教材用了将近一页的版面介绍了2种投影方法：中心投影和平行投影.有了这些铺垫才开始正式学习三视图的概念，并给出了正视图、侧视图、俯视图和三视图的完整定义，并以长方体为例，画出了长方体的三视图.

北师大版引入与人教A版严格给出三视图定义不同的是，北师大版教材的引入非常简洁，仅仅用一句话(在初中，我们已经学过基本几何体(直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球)的三视图)、一幅图(正六棱柱的三视图)，就过渡到学习简单组合体的三视图.

事实上，在九年级数学(下)教材中，无论是人教版还是北师大版，都已经有了中心投影和平行投影以及三视图概念的学习.也学习了基本几何体(直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球)的三视图，习题中还有部分组合体的三视图，并且对“实物中的不可见轮廓线和棱用虚线画出”也有清楚地说明.而人教A版却花了很大的篇幅介绍中心投影和平行投影以及三视图的概念(约占三视图篇幅的37%).若教师缺乏对教材连续性的研究，仅仅依赖教材，则很容易使得本节课的教学内容很大部分是九年级内容的再现.这对于学生来说毫无新鲜感，学生的认知水平并没有得到提高，而是处于原地踏步状态.人教A版教材强调螺旋式上升的本意是好的，但这种大面积重复，反而会使得知识螺旋而没有上升，使得课堂教学效率不高.北师大版则建立在初中所学三视图的基础上，以正六棱柱的三视图为例来回顾基本几何体的三视图.教师在教学中只需适当地引导学生，回忆初中所学直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等基本几何体的三视图即可，从而把教学重点放在简单组合体的三视图.

1.3 知识内容的比较

《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)对三视图的具体要求是：能画出简单几何体(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，会使用材料(如纸板)制作模型[2].在具体知识内容编写方面，虽然2套教材都紧扣《标准》规定的内容，也都突出了培养和发展学生的空间想象能力、几何直观能力和运用图形语言进行交流表达的能力.但在编写方式上存在明显的风格差异，体现出2套教材不同的特色追求.

人教A版更加注重内容结构呈现方式的多样化.通过“观察”、“思考”等栏目将问题抛给学生，这种设计能够很好地激发学生探究的欲望.如在给出长方体的三视图后，通过“观察”栏目，让学生观察、思考长方体的正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系.进而总结出一般结论，即一个几何体的侧视图和正视图高度一样， 俯视图和正视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样.在学完简单几何体的三视图后，教材又通过“思考”栏目，给出一个几何体(圆台)的三视图，要求说出对应几何体的名称(在简单组合体的三视图内容中还有根据杠铃的三视图画出示意图等)，从而顺利将问题转化为根据几何体的三视图还原实物图.但仅仅作为一个思考的问题提出，未免将这部分内容过于弱化.事实上，进行几何体与其三视图之间的相互转化是提高学生空间想象能力的重要途径，应作为教学中的一个重点.比较而言，北师大版将其单独作为一节的安排显得更为合理.

北师大版更强调层次分明以及知识的讲解.先学简单组合体的三视图，再学由三视图还原成实物图.具体学习中主要以例题贯穿全篇，在学习简单组合体的三视图时配有5道例题，学习由三视图还原成实物图时配有2道例题，并且每道例题都配有实物图与三视图，以及详细的解答.

2套教材均体现出三视图的教学，主要应当通过学生自己动手作图来完成.人教A版通过“思考”、“探究”栏目提出问题，北师大版通过给出具体的例题，引导学生动手作图，让学生在动手实践的过程中学会三视图的作法，体会三视图的作用.对于简单组合体，2版教材都提醒学生在作图之前细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图.

人教A版过多地重复了初中内容，但在举例画长方体的三视图时，标出了长方体长、宽、高的长度，并在对应的三视图中也标出了各边的长度，这不失为一大亮点.因为这体现了三视图的本质用途：将三视图量化来刻画空间几何体的结构特征.标出长度有助于学生更好地理解正视图、侧视图和俯视图在形状、大小方面的关系，这远远胜于教师反复强调“长对正、高相等、宽平齐”的九字诀[3].

人教A版将三视图与直观图放在同一节学习，先学习三视图再学习直观图，并且学习直观图时将二者联系起来.如课本第18页的例3和第19页的探究都是基于三视图想象空间几何体的结构特征，然后画出空间几何体的直观图.在练习、习题中也将三视图与直观图结合起来考查，如第20页练习5、第 21页习题5、第22页习题1.这不仅有助于知识的前后联系，更多的还能让学生明白：我们根据三视图在脑海中想象出的实物图，在纸上需要用直观图画出来.而北师大版将二者分开，在前一节学了直观图，而在学习三视图时却没有将二者联系起来，在练习、习题中也没有涉及.事实上，北师大版若能在学习由三视图还原实物图时，做到前后照应，提出由三视图画出几何体的直观图，并在练习、习题中加以训练，比人教A版显得更自然.

图形语言是重要的数学语言之一，特别是对三视图的学习.人教A版多采用生活中常见的几何体模型为例，如长方体、圆锥、饮料瓶及其他简单组合体，且既有实物图(6幅，包含练习、习题所配图，下同)又有直观图(6幅).而北师大版多用实物图(28幅)，且实物图相对人教A版来讲更加复杂(如螺栓、轴承架的模型).仅在本节开始处用了2幅直观图(正六棱柱和正五棱锥).相比较而言，北师大版不仅图的总数(总30幅)要远远多于人教A版(总12幅)，并且多为实物模型图(近93.3%)，极大地增强了几何直观，有助于培养学生的空间想象能力和几何直观能力.但人教A版兼用实物图和直观图(各占50%)，为后续学习直观图作了很好的铺垫.同时也有助于学生后续学习“利用三视图画出实物模型的直观图”，培养学生运用图形语言进行交流表达的能力.

1.4 例题、习题配置的比较

例题、习题是中学数学课本的重要组成部分，例题、习题配备得好不好，直接影响到学生学习质量的高低.蔡上鹤先生认为:教科书是由正文、例题和习题三部分有机组成的[4].波利亚也曾指出：一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现[5].可见，例题、习题在数学学习中具有非常重要的作用.

人教A版虽然没有直接标明例题，但通过正文以及“观察”、“思考”等栏目，给出了生活中常见实物模型的“例题”(如给出了长方体、饮料瓶等的三视图，由圆台、杠铃的三视图画出示意图),却仅有50%的“例题”给出了解答.北师大版以例题为主线进行知识讲解，例题丰富，所选用实物模型也更复杂(如轴承架)，且每道例题均有详细的解答.

人教A版与北师大版的课后习题都由练习题和习题2个部分组成.练习题与习题都紧扣基本概念，注重知识的巩固和练习，以画几何体的三视图和根据几何体的三视图画实物图为主，习题分为2组，难度较练习题有所增加.笔者对2套教材的课后习题数量进行了统计.

统计数据表明：2套教材练习、习题总量相差不大.人教A版中，画三视图的题量(约占42%)与画实物图的题量(约占58%)差别不是很大.而北师大版中约有86%的题为画三视图，仅有约14%的题为根据三视图画实物图，这与北师大版教材将“由三视图还原成实物图”单独作为一节的编排不相符合.比较而言，人教A版在课后习题的配置上突出了根据三视图画出示意图的重要性，弥补了教材正文的不足.

从题型上来看，人教A版中还设有实际动手操作题(利用硬纸制作实物模型)，北师大版中还设有改错题.

2 比较后的一点思考

通过对人教A版和北师大版教材“三视图”的比较，笔者发现人教A版教材的特色主要有：注重对学生的引导，力求让学生自己去观察、思考、探究、发现；重视引导方式和教学方式的改进.北师大版的特色主要是：以例题为主，注重知识的讲解，重视知识的复习巩固以及学生的动手实践意识.在此，结合教科书的特色，对教学有如下建议：

2.1 加强对教材连续性的研究，实现教学的螺旋式上升

初中阶段已经有了比较完整的三视图的学习，高中阶段的教学不应停留在“能画出简单组合体的三视图”，而应放眼更高的要求“能根据几何体的三视图想象它们的几何结构特征，画出直观图”.教师应该加强对教材连续性的研究，做到哪些内容以前学过，学到什么程度，要求程度如何，才能有针对性的教学，真正做到教学内容和学生认知水平的螺旋式上升.