论数列通项公式的存在性与唯一性

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(陇南师范高等专科学校数学系 甘肃成县 742500)

(1)1，2，4，….

这道题，其本质是数列的通项公式！这类问题的目的在于培养学生发现或建构模式的能力.

与小学相比，初中数学中这种类型的题目就更多了，它不仅出现在数学课外作业中、数学奥林匹克竞赛之类的书或练习题中，就连平时测验或期中(期末)考试中都频频出现，也不提“数列”二字，更不提“通项公式”，只给出前几个数或单项式，让学生找出规律.例如，在学生的课外作业中，有这样一道题：观察下列数或单项式，分别写出其中的第n个数或单项式：

(1)3，6，5，….

(2)x，-2x2，4x3，-8x4，….

这道题，其本质也是数列的通项公式！

在高中数学中，一般把“数列”单独设为一章，求数列的通项公式，是十分常见的题型.例题中有此题型，习题中有此题型，数学课外作业中有此题型，平时的测验或中期(期末)考试中有此题型，数学奥林匹克竞赛中有此题型，就连人们关注度最高的高考数学试题中也有此题型.当然，在高中数学中，这类问题的目的是要培养学生从具体项中发现规律，并用公式加以刻画的能力.

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看来，求出数列的通项公式，不仅是高中数学的内容，也是初中数学的内容，更是小学数学的内容.尽管在小学数学与初中数学中不提“数列”与“通项公式”这些词，但数列通项公式的思想与方法已渗透其中.因此，小学数学教师与初中数学教师应该具备数列通项公式的相关知识，这是数学课程与教学对小学和初中数学教师的必然要求.

但是，近几年在数列通项公式的解题中出现了几个问题：

问题1数列通项公式的唯一性问题.

举例来说明，观察规律：1，2，4，…，写出其中的第4个数、第9个数、第100个数(这样的题目常出现在小学数学与初中数学中).

设二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像经过3个已知点(1,1)，(2,2)，(3,4),则

解得

从而

就是前3项为1，2，4的数列的一个通项公式.

到此，我们清楚地看到，数列1，2，4，…的第4项是8是正确的，是7也是正确的，是任何实数都可能是正确的.

在这个意义下，我们从另一个视角又清楚地看到，给出一个数列的前几项(比如前3项)，写出其后的某一项(比如第4项)，这样的题显得其意义和价值就不大了.

从上面的推理得到一个事实：给出一个数列的前几项，其通项公式不唯一.

紧接着的一个问题是：

问题2给出一个数列的前几项，其通项公式有多少个？

设数列：a1,a2,a3,a4,…，令f(x)=b0x3+b1x2+b2x+b3，函数f(x)的图像经过4个已知点(1，a1)，(2，a2)，(3，a3)，(4，a4)，则

即

57a2-26a1)x-a4+10a3+6a2+4a1.

57a2-26a1)n-a4+10a3+6a2+4a1,

从上式可看出：当a1，a2，a3确定，a4不确定(a4取实数)时，f(n)也不确定，即说明，当一个数列给出前3项时，其通项公式存在但不确定.因此，我们可以说：给出一个数列的前几项，其通项公式有无穷多个.

问题3数列通项公式的存在性问题.

举例来说明，观察规律：3，6，5，…，写出其中的第n个数.这是一位初中学生购买的课外练习册中的一道题.这位初中学生不会做，他问一位高中学生，高中学生的回答是：这个数列的通项公式可能不存在！又问其老师，老师也没有认真对待，看了一眼说：这个数列的通项公式可能不存在吧！

那么，这个数列的通项公式究竟存在不存在呢？现在，我们令an=-2n2+9n-4(n=1，2，3，…)，当n=1，2，3时，得到数列的前3项就是3，6，5.这就是说，数列3，6，5，…的通项公式是存在的.

这个例子说明：给出一个数列的前几项，其通项公式是存在的.

其实，更为普遍的一个事实是：任何一个数列，其通项公式是存在的.

首先，我们要弄清楚何谓“数列”、何谓“通项公式”？在高中数学教材中把“按一定次序排列的一列数叫做数列”，“如果一个数列的第n项an与n之间的函数关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫做这个数列的通项公式”.而数列，其严格的数学定义原本就是指一个函数f(n)(n=1,2,3,…)，当n取有限个正整数时为有穷数列，当n取无限个正整数时为无穷数列.从这个定义来看，任何一个数列都有通项公式.

最后，需要说明的一点是，初等数学或中等数学一般不讨论数学的“存在性”问题，一般只讨论“求解”问题.而学过《数学分析》的人都知道，“存在性”是数学的核心问题，若存在了，再讨论是否唯一(即有多少个)，然后才想办法去求解.因此，高中数学教材中对数列通项公式的存在性没有提及，只是求出数列的通项公式，这是已经默认了“任何数列，其通项公式是存在的”前提下，安排教学内容的.

另外，给出一个数列的前几项，求该数列通项公式的例(习)题，严密的叙述应该是“求出该数列的一个通项公式”才是恰当的.