Weitzenbock不等式的一个有趣隔离猜想的解决

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(广雅中学 广东广州 510160)

当且仅当△ABC为等边三角形时，等号成立．文献[1]从新的角度给出它的一个有趣隔离如下：

定理1[1]在△ABC中，设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长，相应于顶点A,B,C的中线长为ma,mb,mc，内角平分线长为wa,wb,wc，高线长分别为ha,hb,hc，△ABC的面积记为S，则

当且仅当△ABC为等边三角形时，等号成立．

进而提出如下猜想：

猜想[1]在△ABC中，设a,b,c分别为BC,CA,AB的边长，相应于顶点A,B,C的中线长为ma,mb,mc，内角平分线长为wa,wb,wc，高线长分别为ha,hb,hc，△ABC面积记为S，则

当且仅当△ABC为等边三角形时，等号成立.

经探讨发现，左边不等式不成立，中间和右边不等式成立．

在△ABC中，取a=b=5,c=2，则

ab+bc+ca=5×5+5×2+2×5=45，

下证中间不等式成立，为此，将其加强为

定理2在△ABC中，设a,b,c,s分别为BC,CA,AB的边长和半周长，相应于顶点A,B,C的内角平分线长为wa,wb,wc，高线长分别为ha,hb,hc，△ABC的面积记为S，则

当且仅当△ABC为等边三角形时，等号成立．

(ab+bc+ca)2≥a2(a+b+c)(b+c-a)+b2(a+b+c)(c+a-b)+c2(a+b+c)(a+b-c)

⟺a4+b4+c4-a2b2-b2c2-c2a2≥0⟺2a4+2b4+2c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2≥0

⟺(a2-b2)2+(b2-c2)2+(c2-a2)2≥0.

参 考 文 献

[1] 秦庆雄，范花妹.Weitzenbock不等式的一个有趣隔离[J]．中学教研(数学)，2014(1):41-42.