不畏浮云遮望眼 只缘身在最高层——浅议三角函数教学中的“反隐形”策略

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(湖州市第二中学 浙江湖州 313000)

张景中院士曾指出：在中学数学课程中，三角的内容至关重要.三角是联系几何与代数的一座桥梁，是沟通初等数学和高等数学的一条通道.函数、向量、坐标、复数等许多重要的数学知识与三角有关，大量的实际问题的解决要用到三角知识.因此，虽然三角函数属于经典数学的范畴，但仍值得教师细细品味.

三角函数题型中经常涉及到隐藏的角度范围和隐藏的角度关系，忽视了这些“隐形”条件，就会出现漏解、增解、错解的现象.因此，如何去突破这些表面的“坚冰”就显得尤其重要.下面笔者就三角函数条件“隐形化”的主要形式和教学策略与同行共同探讨.

1 三角函数条件“隐形化”的主要形式

孙子兵法有云：知己知彼，百战不殆.只有了解对手你才可能战胜他，数学学习也一样.在具体解题的过程中，很多学生由于对“隐形”条件的了解和挖掘不够、经验不足，从而使解题活动陷入困顿，或导致解题失误，或导致思路过于复杂.那么，三角函数中潜藏的“隐形”条件，到底隐在何处呢？首先得了解三角函数题中“隐形”条件的主要存在形式.从大方向归纳，笔者认为主要有2类：一是角度范围的“隐形”；二是角度关系的“隐形”.以下根据几个典型例题来具体说明.

1.1 角度范围的“隐形”

从而 cosβ= cos[(α+β)-α]=

cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=

错解tanα= tan[(α-β)+β]=

从而

于是

因为α,β∈(0,π),所以

2α-β∈(-π,2π),

1.2 角度关系的“隐形”

点评第(1)小题学生往往把2个正弦值展开，计算量相当大，容易导致错误.若能发现2个角度之间的关系，即

利用诱导公式可得

进而可推得

计算就变得相对便捷，从而

再利用倍角公式求得

代入可得

例5已知A,B是钝角三角形的2个锐角，则点P(sinA-cosB,cosA-sinB)是第几象限的点?

由A,B为锐角可得

从而

再把已知条件换个方向得

从而

故可得点P是第二象限的点.

点评第(1)小题可化为

第(2)小题中学生易造成如下误解：

u2=sin2ycos2x=(1-cos2y)·cos2x，

代入原式可得

2 三角函数条件“反隐形”的教学策略

作为西方现代科学和哲学奠基人的笛卡尔主张对每一件事情进行怀疑，去审视知识内部的缺陷，这种“回头审视”的“笛卡尔式怀疑”非常值得我们学习.从上述的分析中可以看出，三角函数中的“隐形”条件往往若明若暗，含而不露，学生必须深入挖掘、仔细思考才能让“隐形”条件“浮出水面”.这就要求学生首先得具备笛卡尔式的怀疑精神,另外还得掌握有效的训练方法.在三角函数解题过程中，经常发现一道题目的真正运算过程往往比较简单，难点在于如何去掌握所有解题的必需条件，因为大部分的问题往往不是给出全部条件，经常隐藏着一些间接条件.在解决问题时，容易把一些知识和经验固化，作为思考解决其他问题的基础.这样的做法往往会产生漏洞，从而导致错误的发生.以下是笔者对提高学生三角函数“反隐形”能力的几点教学建议.

2.1 熟记三角函数特值,培养角度敏感程度

在三角函数章节中，学生需要记忆大量的公式，其中熟记各种特殊角的三角函数值是基础性的工作，如30°,45°,60°的正余弦、正切值，可引导学生理解性记忆，防止死记硬背，可放在直角三角形中体会边长关系或者结合三角函数定义来记忆.如果可能的话，可以进一步要求学生熟记120°,135°,150°等特殊角的三角函数值，这样对提高角度敏感度和计算精度相当有帮助.

2.2 关注条件结构特征,提高角度变换能力

三角函数题型中往往很多都涉及到角度的灵活变换，而且很多变换都是潜藏在题目的已知和结论中，如何才能有效地提高变换能力？这就要求我们首先得积累常见的角度变换经验，比如关于拆并角的变换：

也可以根据具体角和抽象角进行变换，如：

积累常见经验，提高变换意识，就能发现题目中“隐形”的角度关系.

2.3 立足课堂多维训练,改善思维灵活程度

多维思维指的是在思维的总进程中由多个思维指向、多个思维起点、多个逻辑规则、多个评价标准、多个思维结论组成的多渠道逻辑线索的思维模式.课堂多维训练正是基于此思想开展的训练，主要特点是变通，不拘泥常规，善于开拓、变异.主要采用一题多问和一题多变形式，对学生巩固和掌握知识点的内在联系，开阔知识视野，提高分析、探索能力大有裨益.三角函数章节中开展多维思维训练，可以提高学生对条件的“反隐形”能力，达到改善思维缜密程度的目的.

分析可以开展这样的课堂训练：首先训练一题多问多解.由条件平方可得

即

让学生体会到小题解法的轻灵飘逸.

从而

即

故

或者也可化为齐次方程

3 结束语

在学习的过程中，每一个重大隐性条件的发现和明朗化都意味着思维的巨大进步.如果教师在平时的教学中能够做个有心人，采用合理的课堂教学策略，引导学生关注、挖掘题目中的潜在条件和关系，确实提高自己审题、解题的“反隐形”能力，必然能让学生的思维灵活度和缜密度得到很大的提升.正所谓“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”.